কনটেন্টে যান

রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা

এই অধ্যায়ে রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থের গঠনমূলক সম্পর্ক (Hooke-এর সূত্র) আলোচনা করা হয়েছে। ব্যবহার ও ইনপুট নির্দিষ্টকরণের বিস্তারিত ফাংশন রেফারেন্স 03_material-এ দেখুন।

ঘটনা (রৈখিক স্থিতিস্থাপক প্রতিক্রিয়া)

রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থ বলতে এমন পদার্থকে বোঝায়, যেখানে লোডের ফলে স্ট্রেন যথেষ্ট ছোট সীমায় থাকলে পীড়ন ও স্ট্রেনের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক থাকে এবং লোড সরালে সব স্ট্রেন মূল অবস্থায় ফিরে যায়; অর্থাৎ প্রতিক্রিয়া প্রত্যাবর্তনযোগ্য ও ইতিহাস-স্বাধীন। প্লাস্টিসিটি বা ক্রিপের বিপরীতে, এর অবস্থা নির্দেশকারী কোনো অভ্যন্তরীণ চলক (যেমন প্লাস্টিক স্ট্রেন বা সান্দ্র স্ট্রেন) থাকে না এবং বর্তমান স্ট্রেন থেকেই পীড়ন এককভাবে নির্ধারিত হয়।

ক্ষুদ্র বিকৃতি অঞ্চলে Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) ও ক্ষুদ্র স্ট্রেন \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ব্যবহার করা হয়; সসীম বিকৃতি অঞ্চলে (বড় ঘূর্ণন থাকলেও স্ট্রেন নিজে ছোট এমন সমস্যা) দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) ও Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\) ব্যবহার করা হয় (St.Venant-Kirchhoff পদার্থ)।

গঠনমূলক সম্পর্ক

সমদিকীয় রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থ

ক্ষুদ্র বিকৃতি অঞ্চলে সমদিকীয় Hooke-এর সূত্র Lamé ধ্রুবক \(\lambda, \mu\) ব্যবহার করে

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

হিসেবে প্রকাশ করা হয়। উপাংশ আকারে

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

এবং স্ট্রেনের সঙ্গে দ্বিগুণ সংকোচনে \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) পাওয়া যায়। Lamé ধ্রুবকের সঙ্গে Young-এর মডুলাস \(E\) ও Poisson অনুপাত \(\nu\)-এর সম্পর্ক হলো:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt নোটেশনে স্ট্রেন ভেক্টর \(\hat{\varepsilon}\) ও পীড়ন ভেক্টর \(\hat{\sigma}\)-এর সম্পর্ক \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) এবং 3 মাত্রিক পদার্থ ম্যাট্রিক্স \(D\) হলো

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(বাস্তবায়নে এই ম্যাট্রিক্স রূপই ব্যবহৃত হয়)।

লম্বদিকীয় অ্যানিসোট্রপিক রৈখিক স্থিতিস্থাপক পদার্থ

প্রধান অক্ষভেদে স্থিতিস্থাপক ধ্রুবক ভিন্ন এমন পদার্থের জন্য 9টি স্বাধীন ধ্রুবকসহ লম্বদিকীয় অ্যানিসোট্রপিক মডেল ব্যবহার করা হয়: প্রধান অক্ষের Young-এর মডুলাস \(E_1, E_2, E_3\), প্রধান অক্ষগুলোর মধ্যবর্তী Poisson অনুপাত \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) এবং শিয়ার মডুলাস \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)। \(D\) ম্যাট্রিক্সের নির্দিষ্ট রূপ সাধারণ তথ্যসূত্রে দেখুন।

সসীম বিকৃতি অঞ্চল: St.Venant-Kirchhoff পদার্থ

বড় ঘূর্ণন থাকলেও স্ট্রেন নিজে ছোট এমন সমস্যায় দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) ও Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\)-এর মধ্যে রৈখিক স্থিতিস্থাপক সূত্র হিসেবে St.Venant-Kirchhoff পদার্থ ব্যবহার করা হয়:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé ধ্রুবক \(\lambda, \mu\)-এর সংজ্ঞা ক্ষুদ্র বিকৃতির ক্ষেত্রের মতোই। তবে পীড়ন ও স্ট্রেনের সংজ্ঞায় ব্যবহৃত জোড়া ভিন্ন হওয়ায় এটি ক্ষুদ্র বিকৃতির Hooke-এর সূত্র থেকে পৃথক গঠনমূলক সম্পর্ক।

হাইপোইলাস্টিক পদার্থ

Updated Lagrange পদ্ধতিতে আপেক্ষিক Kirchhoff পীড়ন টেনসরের Jaumann হার \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) এবং বিকৃতি-হার টেনসর \(\boldsymbol{D}\)-এর মধ্যে রৈখিক স্থিতিস্থাপক সূত্র

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ব্যবহারকারী হাইপোইলাস্টিক পদার্থ ব্যবহৃত হয়। এখানেও Lamé ধ্রুবক দ্বারা \(\boldsymbol{C}\)-এর সংজ্ঞা উপরের মতোই, কিন্তু পীড়ন–স্ট্রেন জোড়া আলাদা হওয়ায় এটি পৃথক গঠনমূলক সম্পর্ক। সময় সমাকলনের পদ্ধতি (সামনের Euler সমাকলন ও কেন্দ্রীয় পার্থক্য আনুমানিকীকরণ) দিয়ে \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) হালনাগাদের বিস্তারিত tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex-এ দেখুন।

2 মাত্রিক বিশ্লেষণ ও শেল উপাদানে সরলীকরণ

সমতল পীড়ন (\(\sigma_{33} = 0\))

পাতলা প্লেট বা শেলের লোড বোঝাতে ব্যবহৃত সমতল পীড়ন অবস্থায় \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) ধরা হয় এবং সমতলের বাইরে স্ট্রেন উপাংশ \(\varepsilon_{33}\) বীজগাণিতিকভাবে অপসারণ করে সংক্ষিপ্ত \(D\) ব্যবহার করা হয়:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

সমতল স্ট্রেন (\(\varepsilon_{33} = 0\))

পুরুত্বের দিকে আবদ্ধ দীর্ঘ কাঠামোর ক্রস-সেকশন বোঝাতে ব্যবহৃত সমতল স্ট্রেন অবস্থায় \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) ধরা হয়:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

অক্ষসমমিত

নলাকার স্থানাঙ্ক \((r, \theta, z)\)-এ \(\theta\) দিক বরাবর সমসত্ত্ব সমস্যা বিবেচনাকারী অক্ষসমমিত বিশ্লেষণে \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\)—এই 4টি উপাংশ রাখা হয় এবং

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

হয়।

শেল উপাদান (সমতল পীড়ন + আনুভূমিক শিয়ার)

শেল উপাদানে সমতলের ভেতরের পীড়নকে সমতল পীড়ন হিসেবে বিবেচনা করা হয়; পাশাপাশি আনুভূমিক শিয়ার স্ট্রেন উপাংশ \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)-এর জন্য শিয়ার সংশোধন সহগ \(\kappa\) (সাধারণত \(\kappa = 5/6\)) যুক্ত \(\kappa\, G\) ব্যবহার করা হয়। প্রতিটি উপাদানের নির্দিষ্ট সূত্রায়ন উচ্চ-কর্মক্ষম উপাদান সূত্রায়ন-এ দেখুন। ফাংশন রেফারেন্স 03_material-এর “শেল উপাদানে কেবল রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা সমর্থিত” বৈশিষ্ট্যটি সমতলের ভেতরের অংশকে সমতল পীড়ন হিসেবে বিবেচনার এই সরলীকরণের উপর ভিত্তি করে।

তাপমাত্রা-নির্ভরতা

Young-এর মডুলাস \(E\), Poisson অনুপাত \(\nu\) এবং রৈখিক তাপীয় প্রসারণ সহগ \(\alpha\) সাধারণত তাপমাত্রা \(T\)-এর ফাংশন হিসেবে নির্দিষ্ট করা যায়। FrontISTR-এ সীমিত সংখ্যক তাপমাত্রা বিন্দু \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\)-এর জন্য মান ইনপুট করা হয় এবং গণনার তাপমাত্রা \(T\)-এ পার্শ্ববর্তী বিন্দুর মধ্যে রৈখিক ইন্টারপোলেশন দিয়ে মূল্যায়ন করা হয়। সীমার বাইরের তাপমাত্রায় (\(T < T_1\) অথবা \(T > T_n\)) নিকটতম প্রান্তের \(T_1\) অথবা \(T_n\)-এর মান ব্যবহার করে বহিঃপ্রক্ষেপণ করা হয় (ধ্রুব বহিঃপ্রক্ষেপণ)।

তাপ ও তাপ পরিবহন ধর্মের (ঘনত্ব, সুনির্দিষ্ট তাপধারণ ক্ষমতা, তাপ পরিবাহিতা) তাপমাত্রা-নির্ভরতার জন্য তাপীয় ধর্ম দেখুন। ইন্টারপোলেশন নিয়ম এগুলোর ক্ষেত্রেও একই।

সংশ্লিষ্ট বিষয়