কনটেন্টে যান

স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিকতা

এই অধ্যায়ে FrontISTR-এ ব্যবহৃত স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক গঠনমূলক সম্পর্কের কাঠামো আলোচনা করা হয়েছে। ব্যবহারভেদ ও ইনপুট নির্ধারণের বিস্তারিত ফাংশন অংশের 03_material-এ দেখুন।

ঘটনা (প্লাস্টিক বিকৃতি)

TBD (পরবর্তী পর্যায়ে মূল পাঠ লেখা হবে)।

গঠনমূলক সম্পর্কের কাঠামো

FrontISTR-এ সংশ্লিষ্ট প্রবাহ বিধি অনুসরণকারী স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক গঠন-সমীকরণ ব্যবহৃত হয়। এই গঠন-সমীকরণ Kirchhoff পীড়নের Jaumann হার ও বিকৃতি-হার টেনসরের সম্পর্ক প্রকাশ করে এবং বিকৃতি বিশ্লেষণে updated Lagrange পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়।

স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক বস্তুর ফলন শর্ত নিচের মতো দেওয়া আছে ধরা যাক।

প্রাথমিক ফলন শর্ত:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

পরবর্তী ফলন শর্ত:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

এখানে,

  • \(F\): ফলন ফাংশন
  • \(\sigma_{y_0}\): প্রাথমিক ফলন পীড়ন
  • \(\sigma_y\): পরবর্তী ফলন পীড়ন
  • \(\sigma\): পীড়ন টেনসর
  • \(e\): ক্ষুদ্র স্ট্রেন টেনসর
  • \(e^p\): প্লাস্টিক স্ট্রেন টেনসর
  • \(\overline{e}^p\): সমতুল্য প্লাস্টিক স্ট্রেন

ফলন পীড়ন-সমতুল্য প্লাস্টিক স্ট্রেন সম্পর্ককে একঅক্ষীয় অবস্থায় পীড়ন-প্লাস্টিক স্ট্রেন সম্পর্কের সঙ্গে অভিন্ন ধরা হয়।

একঅক্ষীয় অবস্থায় পীড়ন-প্লাস্টিক স্ট্রেন সম্পর্ক

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

এখানে \(H'\) হলো স্ট্রেন-কঠিনীভবন সহগ।

সমতুল্য পীড়ন-সমতুল্য প্লাস্টিক স্ট্রেন সম্পর্ক

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

পরবর্তী ফলন ফাংশন সাধারণত তাপমাত্রা ও প্লাস্টিক স্ট্রেন কাজের ফাংশন, তবে সরলতার জন্য এখানে একে শুধু সমতুল্য প্লাস্টিক স্ট্রেন \(\overline{e}^p\)-এর ফাংশন ধরা হয়। প্লাস্টিক বিকৃতি চলাকালে \(F = 0\) অব্যাহতভাবে পূরণ হতে হয়, তাই

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

হতে হবে। এখানে \(\dot{F}\) দ্বারা \(F\)-এর সময় অন্তরক বোঝায়; এরপর কোনো রাশি \(A\)-এর সময় অন্তরক \(\dot{A}\) দিয়ে লেখা হবে।

এখন প্লাস্টিক বিভব \(\Theta\) বিদ্যমান ধরা হয় এবং প্লাস্টিক স্ট্রেন হারকে

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

রূপে লেখা হয়, যেখানে \(\dot{\lambda}\) একটি সহগ।

আরও ধরে নেওয়া হয় যে প্লাস্টিক বিভব \(\Theta\) ফলন ফাংশন \(F\)-এর সমান। তখন সংশ্লিষ্ট প্রবাহ বিধি

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

হয়। এই সমীকরণকে সামঞ্জস্য শর্তে বসালে

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

পাওয়া যায়। এখানে \(D\) হলো স্থিতিস্থাপকতা ম্যাট্রিক্স এবং

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক পীড়ন-স্ট্রেন সম্পর্ককে

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

রূপে লেখা যায়। স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক পদার্থের ফলন ফাংশন \(F\) জানা থাকলে এই সমীকরণ থেকে তার গঠন-সমীকরণ পাওয়া যায়।

ফলন ফাংশন

নিচে FrontISTR-এ ব্যবহৃত স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক ফলন ফাংশনগুলো দেওয়া হলো।

Von Mises ফলন ফাংশন

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

এখানে \(J_2\) হলো বিচ্যুতি পীড়ন টেনসরের দ্বিতীয় অপরিবর্তক।

Mohr-Coulomb ফলন ফাংশন

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

এখানে \(\sigma_1, \sigma_3\) সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রধান পীড়ন, \(c\) সংযোজন বল এবং \(\phi\) অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ কোণ।

Drucker-Prager ফলন ফাংশন

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

এখানে পদার্থ ধ্রুবক \(\alpha\) ও \(\sigma_y\) পদার্থের সংযোজন বল ও ঘর্ষণ কোণ থেকে নিচের মতো গণনা করা হয়।

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

সংশ্লিষ্ট বিষয়