কনটেন্টে যান

আকৃতি ফাংশন ও সসীম উপাদান আসন্নীকরণ

ভার্চুয়াল কাজের নীতি-এর দুর্বল রূপ কম্পিউটারে সমাধান করার জন্য বস্তুর অঞ্চলকে সসীম সংখ্যক উপাদানে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি উপাদানের ভেতরের বস্তুবিন্দুর স্থানাঙ্ক, স্থানচ্যুতি ও পরীক্ষণ ফাংশনকে নোডের মান ও আকৃতি ফাংশনের মাধ্যমে অন্তর্বর্তী করা হয়। আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরকের জন্য আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক, দুর্বল রূপের বিচ্ছিন্নীকরণের জন্য অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ, এবং প্রতিটি উপাদান-ধরনের আকৃতি ফাংশনের নির্দিষ্ট রূপের জন্য উপাদান নম্বর পদ্ধতি ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি ও পরবর্তী অংশ দেখুন।

অঞ্চল বিভাজন ও উপাদানভিত্তিক সমাকলনের যোগফল

রেফারেন্স বিন্যাসের অঞ্চল \(\Omega_0\) এবং বর্তমান বিন্যাসের অঞ্চল \(\Omega\)-কে যথাক্রমে উপাদান \(\Omega^e_0\) ও \(\Omega^e\)-এর সম্মিলন দিয়ে আসন্নীকরণ করা হয়:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(এখানে \(e\) উপাদান নম্বর; পার্শ্ববর্তী উপাদানগুলো তাদের সীমানা ভাগ করে)। ফলে ভার্চুয়াল কাজের নীতি-তে উপস্থিত আয়তন ও পৃষ্ঠ সমাকলনকে উপাদানভিত্তিক সমাকলনের যোগফলে ভাঙা যায়:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(বর্তমান বিন্যাসেও একইভাবে \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) প্রতিস্থাপন করা হয়)। এরপর দুর্বল রূপের মূল্যায়ন উপাদানভিত্তিক সমাকলন গঠনে নেমে আসে।

নোডের মান ও আকৃতি ফাংশন দিয়ে অন্তর্বর্তীকরণ (আইসোপ্যারামেট্রিক উপাদান)

প্রতিটি উপাদান \(\Omega^e_0\)-এ \(n_e\)টি নোড নির্ধারিত থাকে। উপাদান নোড \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-এর রেফারেন্স-বিন্যাস স্থানাঙ্ক ও নোডীয় স্থানচ্যুতিকে \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ধরা যাক। এগুলো সাজিয়ে গঠিত উপাদান নোড ভেক্টর \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) এবং \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) হলো সমস্ত নোডের ভেক্টর \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) থেকে (যেখানে \(n_g\) মোট নোডসংখ্যা) উপাদান \(e\) গঠনকারী নোডগুলোর উপাংশমাত্র বের করে নেওয়া ভেক্টর।

উপাদানের স্থানীয় স্থানাঙ্ক প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\)-কে প্যারামিটার হিসেবে নেওয়া আকৃতি ফাংশন \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ব্যবহার করে উপাদানের ভেতরের বস্তুগত স্থানাঙ্ক, স্থানচ্যুতি ও পরীক্ষণ ফাংশন একই আকৃতি ফাংশনে অন্তর্বর্তী করা হয় (আইসোপ্যারামেট্রিক উপাদান ও Galerkin পদ্ধতি):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

আকৃতি ফাংশনকে নিচের দুটি ধর্ম পূরণ করার মতো করে গঠন করা হয় এবং প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক থেকে বস্তুগত স্থানাঙ্কে মানচিত্র \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) যেন উপাদানের ভেতরে এক-এক হয়, সে অনুযায়ী উপাদানের আকৃতি নির্বাচন করা হয়:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(এখানে \(\boldsymbol{r}_\alpha\) নোড \(\alpha\)-এর প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের বিন্দু এবং \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker ডেল্টা)। প্রথম সমীকরণটি দৃঢ়-বস্তুর স্থানান্তর পুনরুৎপাদন নিশ্চিত করে এবং দ্বিতীয়টি নিশ্চিত করে যে নোডে অন্তর্বর্তী মান নোডের মানের সমান। প্রতিটি উপাদান-ধরনের \(n_e\) ও \(N_\alpha^e\)-এর নির্দিষ্ট রূপ উপাদান নম্বর পদ্ধতি ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি ও পরবর্তী অংশে দেখানো হয়েছে। প্রতীককে অপ্রয়োজনীয় জটিলতা থেকে বাঁচাতে উপাদান-ধরনের নির্ভরতা উপাদানভিত্তিক ঊর্ধ্বলিখিত সূচক \(e\) দিয়ে প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

এই অন্তর্বর্তীকরণ নিয়মের ফলে দুর্বল রূপের সমাকল্যকে কেবল উপাদান নোডের মান \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) এবং \(N_\alpha^e\) দিয়ে প্রকাশ করা যায়। অন্যদিকে স্ট্রেন আসে অন্তর্বর্তীকৃত স্থানচ্যুতি ও স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি সম্পর্ক থেকে, আর পীড়ন আসে সেই স্ট্রেন ও পদার্থের গঠনমূলক সম্পর্ক থেকে; এগুলো নোডের মান থেকে সরাসরি অন্তর্বর্তী করা হয় না। এগুলো উপাদানের ভেতরের সমাকলন বিন্দুতে মূল্যায়িত হয় (সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন)।

সামগ্রিক নোড ভেক্টরের বিন্যাসের নিয়ম

নোডে নির্ধারিত ভৌত রাশিগুলোকে সামগ্রিক নোড ভেক্টরে নোড নম্বর → স্বাধীনতার মাত্রা ক্রমে ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো হয়। নোড \(\alpha\)-এ স্বাধীনতার মাত্রা \(i\)-এর উপাংশকে \(u_{i\alpha}\) লিখলে, ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে (\(i=1,2,3\)) এবং দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রে (\(i=1,2\)) যথাক্রমে

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

হয়। স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}^n\) এবং পরীক্ষণ ফাংশন \(\delta\boldsymbol{u}^n\)-ও একই বিন্যাস অনুসরণ করে। পরবর্তী ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টর রূপের সমীকরণগুলোতে ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রকে প্রতিনিধিত্বমূলক হিসেবে ব্যবহার করা হবে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়