কনটেন্টে যান

আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক

আকৃতি ফাংশন ও সসীম উপাদান আসন্নীকরণ-এ প্রবর্তিত আকৃতি ফাংশন \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) উপাদানের স্থানীয় স্থানাঙ্ক, অর্থাৎ প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\)-এর ফাংশন হিসেবে দেওয়া হয়। অন্যদিকে, দুর্বল রূপের সমাকল্য রাশিতে স্ট্রেন–স্থানচ্যুতি সম্পর্কের মাধ্যমে ভৌত স্থানাঙ্কের (রেফারেন্স কনফিগারেশন \(\boldsymbol{X}\) অথবা বর্তমান কনফিগারেশন \(\boldsymbol{x}\)) সাপেক্ষে আংশিক অন্তরক \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) অথবা \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) উপস্থিত হয়। এই অধ্যায়ে উপাদানের নোড স্থানাঙ্ক ও প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের অন্তরক থেকে এসব আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক গণনার পদ্ধতি সাজিয়ে দেখানো হয়েছে।

শৃঙ্খল সূত্রে স্থানিক অন্তরকের প্রকাশ

ইন্টারপোলেশন সূত্র \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (পূর্ববর্তী অধ্যায়)-এ শৃঙ্খল সূত্র প্রয়োগ করলে, প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক থেকে ভৌত স্থানাঙ্কে রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ব্যবহার করে

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

পাওয়া যায়। এখানে \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) এবং \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) এমন ম্যাট্রিক্স, যার \(\alpha\)-তম সারি নোড \(\alpha\)-এর আংশিক অন্তরক ভেক্টরকে নির্দেশ করে এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের আকার \(n_e \times 3\)।

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের নির্মাণ

ইন্টারপোলেশন সূত্রটিকে \(\boldsymbol{r}\)-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরক করলে

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

হয়, ফলে উপাদানের নোড স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) এবং প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের অন্তরক \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) থেকে এটি সরাসরি নির্মাণ করা যায়। প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের অন্তরক আকৃতি ফাংশনের গাণিতিক রূপ দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং প্রতিটি উপাদান প্রকারের জন্য আগে থেকেই বাস্তবায়িত থাকে।

জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন-এ আয়তন উপাদানের রূপান্তর \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\)-এ ব্যবহৃত হয়। নির্ণায়ক \(0\) হলে উপাদানটি অবক্ষয়িত এবং গণনা ব্যর্থ হয়।

গণনার প্রবাহ

উপরের ব্যুৎপত্তি থেকে স্থানিক অন্তরক \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)-এর গণনাকে নিচের 4 ধাপে ভাগ করা যায়।

  1. প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের অন্তরক গণনা: উপাদানের প্রকার এবং মূল্যায়ন বিন্দুর প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\) ইনপুট হিসেবে নিয়ে প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের অন্তরক ম্যাট্রিক্স \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) গণনা করা হয়। আকৃতি ফাংশনের রূপ উপাদানের প্রকারভেদে ভিন্ন হওয়ায় এখানে উপাদান প্রকার অনুযায়ী শাখা বিভাজন হয়।
  2. জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স গণনা: উপাদানের নোড স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}^e\) এবং \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) থেকে আগের অনুচ্ছেদের সূত্র অনুযায়ী জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) নির্মাণ করা হয়।
  3. বিপরীত ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক গণনা: জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের বিপরীত \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) এবং নির্ণায়ক গণনা করা হয়। নির্ণায়কটি সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলনের ওজনে ব্যবহৃত হয়।
  4. স্থানিক অন্তরক গণনা: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) এবং \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)-এর গুণফল হিসেবে স্থানিক অন্তরক \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) পাওয়া যায়।

এই 4 ধাপে উপাদানের প্রকার ও স্থানিক মাত্রা (2 মাত্রিক/3 মাত্রিক) অনুযায়ী শাখা বিভাজন থাকলেও সামগ্রিক প্রবাহ একই।

রেফারেন্স ও বর্তমান কনফিগারেশনে অভিন্ন পদ্ধতি

উপরের পদ্ধতিতে \(\boldsymbol{X}^e\)-এর জায়গায় বর্তমান কনফিগারেশনের নোড স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) বসালেই বর্তমান কনফিগারেশনের স্থানিক অন্তরক \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\)-এর ক্ষেত্রেও একই পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। অতএব Total Lagrange পদ্ধতি এবং Updated Lagrange পদ্ধতিতে কেবল ইনপুট নোড স্থানাঙ্ক বদলিয়েই একই গণনা-পদ্ধতি ভাগ করে ব্যবহার করা যায়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়