কনটেন্টে যান

অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নকরণ

ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের কাঠামো-এ দেখানো \(t + \Delta t\) সময়ের ভার্চুয়াল কাজের সমীকরণ রেফারেন্স বিন্যাসের নির্বাচনের উপর ভিত্তি করে Updated Lagrange ও Total Lagrange—এই দুই পদ্ধতিতে বিভক্ত হয়। এই অধ্যায়ে আকৃতি ফাংশন ও সসীম উপাদান আসন্নীকরণ এবং আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক-এ প্রবর্তিত সসীম উপাদান সন্নিকটন ব্যবহার করে উভয় সূত্রায়নের অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজকে স্থানিকভাবে বিচ্ছিন্ন করা হয় এবং উপাদান অভ্যন্তরীণ-বল ভেক্টর \(\boldsymbol{q}^e\) (UL পদ্ধতি) ও \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL পদ্ধতি) পাওয়া হয়।

উপাদান \(e\)-এর গঠনকারী নোড \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-এর স্থানচ্যুতিকে \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) এবং উপাদান নোডীয় স্থানচ্যুতি ভেক্টরকে \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) হিসেবে সাজানো হয়; কাল্পনিক স্থানচ্যুতি \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ও একই ক্রমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপাদানের ভেতরের স্থানচ্যুতি আকৃতি ফাংশন দিয়ে \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) হিসেবে অন্তর্বেশন করা হয়।

Updated Lagrange পদ্ধতির অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজ

Updated Lagrange পদ্ধতিতে \(t\) সময়ের বর্তমান বিন্যাস \({}^{t}\Omega\)-কে রেফারেন্স বিন্যাস ধরা হয় এবং Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) ও Almansi স্ট্রেনের রৈখিক অংশ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) দিয়ে অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজকে

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

আকারে লেখা হয়। \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-এর প্রতিটি উপাংশকে বর্তমান বিন্যাসের স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{x}\)-এর সাপেক্ষে আকৃতি ফাংশনের অবকলন \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) এবং নোডীয় কাল্পনিক স্থানচ্যুতি \(\delta u^e_{i\alpha}\)-এর রৈখিক সমন্বয় হিসেবে প্রকাশ করা যায়। Voigt নোটেশনে এটি

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

হিসেবে একত্র করা যায়। নোড ব্লক \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) হলো \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-কে Voigt নিয়ম অনুযায়ী সাজানো \(6 \times 3\) ম্যাট্রিক্স, এবং \(\boldsymbol{B}_L\) UL পদ্ধতির স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। এটি অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজে বসিয়ে \(\delta \boldsymbol{u}^e\) আলাদা করলে

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

পাওয়া যায়। \(\boldsymbol{q}^e\)-এর নোড ব্লক \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) হলো উপাদান \(\Omega^e\)-এর গঠনকারী নোড \(\alpha\)-এর উপর ক্রিয়াশীল অভ্যন্তরীণ বল।

Total Lagrange পদ্ধতির অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজ

Total Lagrange পদ্ধতিতে প্রাথমিক বিন্যাস \(\Omega_0\)-কে রেফারেন্স বিন্যাস ধরা হয় এবং দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) ও Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\) দিয়ে

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

লেখা হয়। \(\delta \boldsymbol{E}\)-কে কাল্পনিক স্থানচ্যুতির প্রতি রৈখিক পদ এবং বর্তমান স্থানচ্যুতি প্রবণতা \(\partial u_k/\partial X_j\)-এর সঙ্গে গুণফলযুক্ত অরৈখিক পদে বিভক্ত করা হয়:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

রৈখিক পদে UL পদ্ধতির একই সাজানোর নিয়ম \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-এর উপর প্রয়োগ করে তৈরি নোড ব্লক \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ব্যবহার করে

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

লেখা যায়। রেফারেন্স বিন্যাসের পার্থক্যের কারণে গঠনকারী অবকলন কেবল \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) থেকে \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-এ বদলে যায়; প্রতীকটি UL পদ্ধতির মতোই রাখা হয়। অরৈখিক পদে বর্তমান স্থানচ্যুতি প্রবণতা \(\partial u_k/\partial X_j\) এবং \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-এর গুণফলকে Voigt নিয়ম অনুযায়ী সাজিয়ে তৈরি নোড ব্লক \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ব্যবহার করে

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

লেখা যায়। ফলে \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), এবং \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) হলো TL পদ্ধতির স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স। এটি অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজে বসালে

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

পাওয়া যায়। নোড ব্লক \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) হলো উপাদান \(\Omega^e_0\)-এর গঠনকারী নোড \(\alpha\)-এর উপর ক্রিয়াশীল অভ্যন্তরীণ বল।

UL/TL-এর অনুরূপ সম্পর্ক ও গণনা প্রবাহ

Updated Lagrange ও Total Lagrange পদ্ধতির উপাদান অভ্যন্তরীণ-বল ভেক্টরগুলোর অনুরূপ সম্পর্ক নিচে দেখানো হয়েছে।

বিষয় Updated Lagrange পদ্ধতি Total Lagrange পদ্ধতি
রেফারেন্স বিন্যাস বর্তমান বিন্যাস \({}^{t}\Omega^e\) প্রাথমিক বিন্যাস \(\Omega^e_0\)
পীড়ন টেনসর Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) দ্বিতীয় PK পীড়ন \(\boldsymbol{S}\)
স্ট্রেন পরিবর্তন \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
উপাদান অভ্যন্তরীণ বল \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

দুই ক্ষেত্রেই একই প্রক্রিয়া অনুসরণ করা যায়: আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক থেকে \(\boldsymbol{B}_L\) গঠন করা; TL পদ্ধতিতে বর্তমান স্থানচ্যুতি প্রবণতা থেকে \(\boldsymbol{B}_{NL}\) গঠন করে যোগ করা; গঠনমূলক সম্পর্ক অনুযায়ী পীড়ন (\(\boldsymbol{\sigma}\) অথবা \(\boldsymbol{S}\)) হালনাগাদ করা; এবং সমাকলন বিন্দুতে \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) অথবা \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)-কে উপাদান অঞ্চলের উপর সংখ্যাতাত্ত্বিকভাবে সমাকলন করা (সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন)। রেফারেন্স বিন্যাস বদলানো—অর্থাৎ নোডীয় স্থানাঙ্ক ও \(\boldsymbol{B}\) ম্যাট্রিক্সের গঠন—এবং পীড়ন টেনসর প্রতিস্থাপন ছাড়া বাকি প্রক্রিয়া অভিন্ন; তাই FrontISTR-এ দুই পদ্ধতির অভ্যন্তরীণ বলের গণনা একই সাবরুটিনে বাস্তবায়িত হয়। উপাদান অভ্যন্তরীণ-বল ভেক্টর \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) থেকে সামগ্রিক অভ্যন্তরীণ-বল ভেক্টরের সমাবেশ বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সমাবেশ-এ আলোচনা করা হয়েছে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়