কনটেন্টে যান

বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সংযোজন

অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ-এ দুর্বল রূপের বাম পাশকে উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর \(\boldsymbol{q}^e\) (UL পদ্ধতি) অথবা \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL পদ্ধতি)-তে সংক্ষেপ করা হয়েছে। এই অধ্যায়ে বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ থেকে উপাদানের নোডীয় বাহ্যিক বল ভেক্টর \(\boldsymbol{F}^e\) প্রবর্তন করা হয়; এরপর উপাদানের নোডীয় ভৌত রাশিগুলোকে সামগ্রিক নোড নম্বর অনুযায়ী পুনর্বিন্যাস ও সমষ্টি করার অ্যাসেম্বলি প্রক্রিয়ার মাধ্যমে FrontISTR-এর অরৈখিক কাঠামোগত বিশ্লেষণে সমাধানযোগ্য নোডীয় স্থানচ্যুতি-সংক্রান্ত অরৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থায় পৌঁছানো হয়।

বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজের উপাদানভিত্তিক বিভাজন

ভার্চুয়াল কাজের নীতি-এর ডান পাশকে বডি ফোর্স এবং যান্ত্রিক সীমানায় নির্ধারিত পৃষ্ঠ বল নিয়ে গঠিত বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ হিসেবে উপাদানভিত্তিক ভাগ করা যায়। আকৃতি ফাংশন ও সসীম উপাদান আসন্নীকরণ-এ প্রবর্তিত স্থানচ্যুতি ইন্টারপোলেশনকে ম্যাট্রিক্স আকারে লেখার জন্য নোড \(\alpha\)-এর আকৃতি ফাংশন \(N_\alpha^e\)-কে কর্ণে বসানো \(d \times d\) ব্লক \(\boldsymbol{N}_\alpha\) এবং সেগুলোকে পাশাপাশি বসানো \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ব্যবহার করে \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ধরা হয়। এটি রেফারেন্স কনফিগারেশনে লেখা বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজে বসালে

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

পাওয়া যায়। এখানে উপাদানের নোডীয় বাহ্যিক বল ভেক্টরকে \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) হিসেবে সাজানো হয়েছে। ফলে বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজও অভ্যন্তরীণ বলের পাশের মতো “উপাদানের নোড ভেক্টর × টেস্ট ফাংশন” আকারে প্রকাশ করা যায় (বর্তমান কনফিগারেশনে লিখলেও \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) প্রতিস্থাপনে একই রূপ থাকে)।

উপাদানের নোডীয় ভৌত রাশির অ্যাসেম্বলি

প্রতিটি উপাদান থেকে পাওয়া নোডীয় ভৌত রাশি \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\)-কে সামগ্রিক নোড নম্বর অনুযায়ী পুনর্বিন্যাস করে সামগ্রিক ভেক্টরে সমষ্টি করা হয়। উপাদান \(\Omega^e\)-এর স্থানীয় নোড নম্বর \(\alpha\)-এর সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ সামগ্রিক নোড নম্বরকে

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

হিসেবে প্রকাশ করলে উপাদানের নোডীয় ভৌত রাশি সামগ্রিক নোডীয় ভৌত রাশির সংশ্লিষ্ট উপাংশের সঙ্গে মিলে যায় (যেমন \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))। সাধারণত নোড \(i_g\) একাধিক উপাদানে ভাগাভাগি হয়, তাই সামগ্রিক নোড নম্বর \(i_g\) হয় এমন \((e, \alpha)\) জোড়াগুলোর সেট

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

ব্যবহার করে \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) আকারে যোগফল পুনর্লিখন করলে মোট \(n_g\) নোডের উপর নোডীয় অভ্যন্তরীণ বল এবং সামগ্রিক অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

পাওয়া যায়। \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) হলো নোড \(i_g\)-এ কার্যকর উপাদান-নোডীয় অভ্যন্তরীণ বলগুলোর লব্ধি; বাহ্যিক বল না থাকলে এবং সাম্যাবস্থা বজায় থাকলে এটি \(\boldsymbol{0}\) হয়। UL পদ্ধতিতেও একইভাবে \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) পাওয়া যায় এবং মান হিসেবে \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) হওয়ায়, যেখানে পৃথক করা জরুরি নয় সেখানে পরবর্তী অংশে \(\boldsymbol{Q}\) ব্যবহার করা হবে। সামগ্রিক বাহ্যিক বল ভেক্টর \(\boldsymbol{F}\)-ও একই সমষ্টিকরণে পাওয়া যায়।

বাস্তবায়নে \(\mathcal{E}(i_g)\) সেটটি স্পষ্টভাবে তৈরি না করে উপাদান লুপের মধ্যে সংশ্লিষ্ট উপাংশে যোগ করা হয়।

সামগ্রিক অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর Q-কে 0 দিয়ে শুরু করা: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (উপাদানের সংখ্যা)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

সামগ্রিক বাহ্যিক বল ভেক্টর \(\boldsymbol{F}\)-ও একই পদ্ধতিতে নির্মিত হয়। সামগ্রিক নোড নম্বর দিয়ে নম্বরযুক্ত ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সে উপাদানের নোডীয় ভৌত রাশি যোগ করে সংরক্ষণ করার এই প্রক্রিয়াকে অ্যাসেম্বলি (assemble) বলা হয়। দুটি নোড নম্বর সম্পর্কিত দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর (যেমন দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স)-এর জন্য সেট \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{এবং}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) ব্যবহার করে একই ধরনের অ্যাসেম্বলি পাওয়া যায় (নির্দিষ্ট নির্মাণের জন্য ট্যানজেন্ট দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স দেখুন)।

সমাধানযোগ্য অরৈখিক সমীকরণ

অভ্যন্তরীণ ও বাহ্যিক বলের অ্যাসেম্বলির ফল ভার্চুয়াল কাজের নীতি-তে বসিয়ে, জ্যামিতিক সীমানা শর্ত পূরণকারী যেকোনো টেস্ট ফাংশন \(\delta\boldsymbol{u}^n\)-এর জন্য সমীকরণটি সত্য হওয়ার কারণে

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

পাওয়া যায়। ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের (ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের কাঠামো) প্রেক্ষিতে সময় সূচক \(_{n+1}\) পুনরায় বসিয়ে এবং সামগ্রিক নোড ভেক্টর বোঝানো ঊর্ধ্বসূচক \(^n\) বাদ দিলে সমাধানযোগ্য সমীকরণ হয়

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

সময় \(t_{n+1}\)-এ নোডীয় স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) নির্ণয়ের বিচ্ছিন্ন সীমানা-মূল্য সমস্যা এই স্থানচ্যুতি-সংক্রান্ত অরৈখিক সমীকরণকে জ্যামিতিক সীমানা শর্তসহ সমাধান করার সমস্যায় নেমে আসে। সমীকরণের রৈখিকীকরণ ও ট্যানজেন্ট দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সের নির্মাণ ট্যানজেন্ট দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স-এ এবং পুনরাবৃত্ত সমাধান পদ্ধতি Newton-Raphson পদ্ধতি-এ আলোচনা করা হয়েছে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়