Translation update pending

The Bangla translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন¶

অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নকরণ এবং বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সমাবেশ-এ পাওয়া উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ও উপাদান দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{K}^e\) উপাদান অঞ্চল \(\Omega^e\) অথবা \(\Omega^e_0\)-এর উপর সমাকলনের আকারে থাকে। FrontISTR-এ এগুলো Gauss সমাকলন সূত্র দিয়ে সংখ্যাতাত্ত্বিকভাবে মূল্যায়ন করা হয়।

Gauss সমাকলন সূত্র ও চলক রূপান্তর¶

Gauss সমাকলন সূত্র মানক ডোমেইন \(\Xi\)-এর উপর সমাকলনকে সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)-এ সমাকল্যের মান ও ওজন \(w_i\)-এর রৈখিক যোগফল দিয়ে সন্নিকট করে। উপাদান অঞ্চল \(\Omega^e\)-এ প্রয়োগের ক্ষেত্রে ম্যাপিং \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) দ্বারা চলক রূপান্তর হয়,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

যেখানে \(n_q\) হলো সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা এবং \(J_{\xi_i}\) হলো রূপান্তর জ্যাকোবিয়ানের নির্ণায়ক। মানক ক্ষেত্র \(\Xi\) উপাদানের ধরন অনুযায়ী নির্ধারিত হয় (হেক্সাহেড্রনের জন্য \([-1,1]^3\); ত্রিভুজ, টেট্রাহেড্রন ও ওয়েজের জন্য সংশ্লিষ্ট রেফারেন্স আকৃতি), এবং সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{\xi}_i\) ও ওজন \(w_i\) সংখ্যাতাত্ত্বিক সারণিতে দেওয়া থাকে। পৃষ্ঠ সমাকলনও উপাদান পৃষ্ঠকে দ্বিমাত্রিক মানক ক্ষেত্র থেকে ম্যাপিং করে একই রূপে পরিচালনা করা হয়।

FrontISTR-এ ব্যবহৃত প্রতিনিধিত্বমূলক সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা নিচে দেখানো হয়েছে (উপাদান ধরনের সঙ্গে সম্পর্কের জন্য উপাদান নম্বর ব্যবস্থা ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি দেখুন)।

উপাদান ধরন	সমাকলন সূত্র	সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা
4-নোড টেট্রাহেড্রন (`tet4n`)	1-বিন্দু সূত্র	1
10-নোড টেট্রাহেড্রন (`tet10n`)	4-বিন্দু সূত্র	4
6-নোড ত্রিভুজাকার প্রিজম (`prism6n`)	2-বিন্দু সূত্র	2
15-নোড ত্রিভুজাকার প্রিজম (`prism15n`)	9-বিন্দু সূত্র	9
8-নোড হেক্সাহেড্রন (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-নোড হেক্সাহেড্রন (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-নোড চতুর্ভুজাকার (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-নোড চতুর্ভুজাকার (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-নোড ত্রিভুজ (`tri3n`)	1-বিন্দু সূত্র	1
6-নোড ত্রিভুজ (`tri6n`)	3-বিন্দু সূত্র	3

হেক্সাহেড্রন, চতুর্ভুজাকার ও রেখা উপাদানে প্রতিটি অক্ষ বরাবর Gauss-Legendre সূত্রের টেনসর গুণফল নেওয়া হয়। ত্রিভুজ, টেট্রাহেড্রন ও ত্রিভুজাকার প্রিজমে সিমপ্লেক্স আকৃতির জন্য উপযোগী বিশেষ সূত্র (ত্রিভুজের উপর বহুপদীকে ঠিকভাবে সমাকলন করতে পারে এমন বিন্দু বিন্যাস) ব্যবহার করা হয়।

উপাদান সমাকলনে প্রয়োগ¶

উপাদান সমাকলনে প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\)-কে মানক ক্ষেত্রের স্থানাঙ্ক ধরা হয় (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), আর ভৌত স্থানাঙ্কে ম্যাপিং আকৃতি ফাংশন দিয়ে নোডীয় স্থানাঙ্কের অন্তর্বেশন দ্বারা দেওয়া হয়। রেফারেন্স বিন্যাস নির্বাচন (ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের কাঠামো) অনুযায়ী নিচেরভাবে ব্যবহার করা হয়।

Total Lagrange পদ্ধতি (রেফারেন্স বিন্যাস \(\Omega^e_0\)-এ সমাকলন): ম্যাপিং ও জ্যাকোবিয়ানকে

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

হিসেবে নিয়ে উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ও দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সকে

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

দিয়ে সন্নিকট করা হয়। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\)—সবই সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{r}_i\)-এ মূল্যায়িত হয়।

Updated Lagrange পদ্ধতি (বর্তমান বিন্যাস \(\Omega^e\)-এ সমাকলন): ম্যাপিং ও জ্যাকোবিয়ানকে

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

হিসেবে নিয়ে,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

দিয়ে সন্নিকট করা হয়।

দুই সূত্রায়নের পার্থক্য শুধু ম্যাপিংয়ে ব্যবহৃত নোডীয় স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) না \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)—এই একটি বিষয়ে; সমাকলন বিন্দু, ওজন এবং সমাকলন-বিন্দু লুপের কাঠামো একই।

পূর্ণ সমাকলন ও হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন¶

সমাকল্যের বহুপদী ঘাত ঠিকভাবে সমাকলন করতে পারে এমন সংখ্যক সমাকলন বিন্দু ব্যবহার করলে তাকে পূর্ণ সমাকলন, আর তার থেকে এক ধাপ কম সমাকলন বিন্দু ব্যবহার করলে হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন বলা হয়। হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন কর্তন ও আয়তনিক লকিং কমাতে ব্যবহৃত হয়, তবে আওয়ারগ্লাস মোডের মতো কৃত্রিম বিকৃতি মোডের প্রতিকারও প্রয়োজন হয়। উপাদান ধরন অনুযায়ী সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা এবং পূর্ণ/হ্রাসকৃত-ক্রম নির্বাচন উপাদান নম্বর ব্যবস্থা ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি-এর পরবর্তী অংশ এবং উচ্চ-কর্মদক্ষ উপাদান সূত্রায়ন-এ আলোচনা করা হয়েছে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়¶

আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক — জ্যাকোবিয়ান গণনা
অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নকরণ — সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলনের লক্ষ্য
উচ্চ-কর্মদক্ষ উপাদান সূত্রায়ন — হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলনের ব্যবহার