সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন¶

অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নকরণ এবং বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সমাবেশ-এ পাওয়া উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ও উপাদান দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{K}^e\) উপাদান অঞ্চল \(\Omega^e\) অথবা \(\Omega^e_0\)-এর উপর সমাকলনের আকারে থাকে। FrontISTR-এ এগুলো Gauss সমাকলন সূত্র দিয়ে সংখ্যাতাত্ত্বিকভাবে মূল্যায়ন করা হয়।

Gauss সমাকলন সূত্র ও চলক রূপান্তর¶

Gauss সমাকলন সূত্র মানক ডোমেইন \(\Xi\)-এর উপর সমাকলনকে সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)-এ সমাকল্যের মান ও ওজন \(w_i\)-এর রৈখিক যোগফল দিয়ে সন্নিকট করে। উপাদান অঞ্চল \(\Omega^e\)-এ প্রয়োগের ক্ষেত্রে ম্যাপিং \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) দ্বারা চলক রূপান্তর হয়,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

যেখানে \(n_q\) হলো সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা এবং \(J_{\xi_i}\) হলো রূপান্তর জ্যাকোবিয়ানের নির্ণায়ক। মানক ক্ষেত্র \(\Xi\) উপাদানের ধরন অনুযায়ী নির্ধারিত হয় (হেক্সাহেড্রনের জন্য \([-1,1]^3\); ত্রিভুজ, টেট্রাহেড্রন ও ওয়েজের জন্য সংশ্লিষ্ট রেফারেন্স আকৃতি), এবং সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{\xi}_i\) ও ওজন \(w_i\) সংখ্যাতাত্ত্বিক সারণিতে দেওয়া থাকে। পৃষ্ঠ সমাকলনও উপাদান পৃষ্ঠকে দ্বিমাত্রিক মানক ক্ষেত্র থেকে ম্যাপিং করে একই রূপে পরিচালনা করা হয়।

FrontISTR-এ ব্যবহৃত প্রতিনিধিত্বমূলক সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা নিচে দেখানো হয়েছে (উপাদান ধরনের সঙ্গে সম্পর্কের জন্য উপাদান নম্বর ব্যবস্থা ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি দেখুন)।

উপাদান ধরন	সমাকলন সূত্র	সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা
4-নোড টেট্রাহেড্রন (`tet4n`)	1-বিন্দু সূত্র	1
10-নোড টেট্রাহেড্রন (`tet10n`)	4-বিন্দু সূত্র	4
6-নোড ত্রিভুজাকার প্রিজম (`prism6n`)	2-বিন্দু সূত্র	2
15-নোড ত্রিভুজাকার প্রিজম (`prism15n`)	9-বিন্দু সূত্র	9
8-নোড হেক্সাহেড্রন (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-নোড হেক্সাহেড্রন (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-নোড চতুর্ভুজাকার (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-নোড চতুর্ভুজাকার (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-নোড ত্রিভুজ (`tri3n`)	1-বিন্দু সূত্র	1
6-নোড ত্রিভুজ (`tri6n`)	3-বিন্দু সূত্র	3

হেক্সাহেড্রন, চতুর্ভুজাকার ও রেখা উপাদানে প্রতিটি অক্ষ বরাবর Gauss-Legendre সূত্রের টেনসর গুণফল নেওয়া হয়। ত্রিভুজ, টেট্রাহেড্রন ও ত্রিভুজাকার প্রিজমে সিমপ্লেক্স আকৃতির জন্য উপযোগী বিশেষ সূত্র (ত্রিভুজের উপর বহুপদীকে ঠিকভাবে সমাকলন করতে পারে এমন বিন্দু বিন্যাস) ব্যবহার করা হয়।

উপাদান সমাকলনে প্রয়োগ¶

উপাদান সমাকলনে প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\)-কে মানক ক্ষেত্রের স্থানাঙ্ক ধরা হয় (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), আর ভৌত স্থানাঙ্কে ম্যাপিং আকৃতি ফাংশন দিয়ে নোডীয় স্থানাঙ্কের অন্তর্বেশন দ্বারা দেওয়া হয়। রেফারেন্স বিন্যাস নির্বাচন (ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের কাঠামো) অনুযায়ী নিচেরভাবে ব্যবহার করা হয়।

Total Lagrange পদ্ধতি (রেফারেন্স বিন্যাস \(\Omega^e_0\)-এ সমাকলন): ম্যাপিং ও জ্যাকোবিয়ানকে

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

হিসেবে নিয়ে উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ও দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সকে

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

দিয়ে সন্নিকট করা হয়। \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\)—সবই সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{r}_i\)-এ মূল্যায়িত হয়।

Updated Lagrange পদ্ধতি (বর্তমান বিন্যাস \(\Omega^e\)-এ সমাকলন): ম্যাপিং ও জ্যাকোবিয়ানকে

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

হিসেবে নিয়ে,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

দিয়ে সন্নিকট করা হয়।

দুই সূত্রায়নের পার্থক্য শুধু ম্যাপিংয়ে ব্যবহৃত নোডীয় স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) না \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\)—এই একটি বিষয়ে; সমাকলন বিন্দু, ওজন এবং সমাকলন-বিন্দু লুপের কাঠামো একই।

পূর্ণ সমাকলন ও হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন¶

সমাকল্যের বহুপদী ঘাত ঠিকভাবে সমাকলন করতে পারে এমন সংখ্যক সমাকলন বিন্দু ব্যবহার করলে তাকে পূর্ণ সমাকলন, আর তার থেকে এক ধাপ কম সমাকলন বিন্দু ব্যবহার করলে হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন বলা হয়। হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলন কর্তন ও আয়তনিক লকিং কমাতে ব্যবহৃত হয়, তবে আওয়ারগ্লাস মোডের মতো কৃত্রিম বিকৃতি মোডের প্রতিকারও প্রয়োজন হয়। উপাদান ধরন অনুযায়ী সমাকলন বিন্দুর সংখ্যা এবং পূর্ণ/হ্রাসকৃত-ক্রম নির্বাচন উপাদান নম্বর ব্যবস্থা ও আকৃতি ফাংশন লাইব্রেরি-এর পরবর্তী অংশ এবং উচ্চ-কর্মদক্ষ উপাদান সূত্রায়ন-এ আলোচনা করা হয়েছে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়¶

আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক — জ্যাকোবিয়ান গণনা
অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নকরণ — সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলনের লক্ষ্য
উচ্চ-কর্মদক্ষ উপাদান সূত্রায়ন — হ্রাসকৃত-ক্রম সমাকলনের ব্যবহার