কনটেন্টে যান

ত্রিমাত্রিক সলিড উপাদানের আকৃতি ফাংশন

আকৃতি ফাংশন ও সসীম উপাদান আসন্নীকরণ-এ প্রবর্তিত আকৃতি ফাংশন \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)-এর জন্য FrontISTR-এ ধারাবাহিক মাধ্যম বিশ্লেষণে ব্যবহৃত ত্রিমাত্রিক সলিড উপাদানের প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ও নির্দিষ্ট রূপ এখানে একত্র করা হয়েছে। আলোচ্য ছয়টি ধরন হলো প্রথম/দ্বিতীয় ক্রমের টেট্রাহেড্রন (341・342), প্রথম/দ্বিতীয় ক্রমের ত্রিভুজাকার প্রিজম (351・352) এবং প্রথম/দ্বিতীয় ক্রমের হেক্সাহেড্রন (361・362)। HEC-MW মেশ বিন্যাসে নোডের ক্রম ও পৃষ্ঠ নম্বরের জন্য ফাংশন রেফারেন্সের উপাদান লাইব্রেরি দেখুন।

এই আকৃতি ফাংশন ও Jacobian নির্ণায়ক থেকে উপাদান সমাকলন গঠনের পদ্ধতি সংখ্যাতাত্ত্বিক সমাকলন-এর অনুসারী। 361-এর B-bar, F-bar ও অসামঞ্জস্যপূর্ণ প্রণয়ন এবং বিম/শেল উপাদানের আকৃতি ফাংশন উচ্চ-কর্মক্ষম উপাদান প্রণয়ন-এ আলোচনা করা হয়েছে।

প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ও অভ্যন্তরীণ নোড বিন্যাস

আকৃতি ফাংশন প্রতিটি উপাদানের প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r}\)-এর ওপর সংজ্ঞায়িত হয়। ত্রিমাত্রিক সলিড উপাদানে আকৃতি অনুযায়ী নিচের তিন ধরনের প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহৃত হয়।

  • হেক্সাহেড্রন (361・362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\)।
  • টেট্রাহেড্রন (341・342): আয়তন স্থানাঙ্ক \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), যেখানে \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\)। স্বাধীন চলক হিসেবে \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) নেওয়া হয় এবং \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\)।
  • ত্রিভুজাকার প্রিজম (351・352): ভিত্তি ত্রিভুজের আয়তন স্থানাঙ্ক \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) এবং অক্ষীয় স্থানাঙ্ক \(\zeta \in [-1, 1]\) মিলিয়ে \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)। সহায়ক রাশি \(a = 1 - \xi - \eta\) ভিত্তির তৃতীয় আয়তন স্থানাঙ্ক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

প্রথম-ক্রমের উপাদানে HEC-MW ইনপুট বিন্যাস ও FrontISTR-এর অভ্যন্তরীণ বিন্যাসে নোড নম্বর একই। দ্বিতীয়-ক্রমের উপাদানে প্রান্তের মধ্যবর্তী নোডের ক্রম দুই বিন্যাসে ভিন্ন। FrontISTR ইনপুটে HEC-MW বিন্যাস গ্রহণ করে—কোণ নোডগুলো ঘুরে সাজানোর পর প্রান্ত 1-2, 2-3, ... ক্রমে মধ্যবর্তী নোড—কিন্তু উপাদান লাইব্রেরির আকৃতি ফাংশন অন্য অভ্যন্তরীণ নোড ক্রম ধরে বাস্তবায়িত।

এই পার্থক্য মেশ পড়ার পরপর hecmw2fstr_mesh_conv প্রতিটি উপাদানের নোড ক্রম রূপান্তর করে সমাধান করে। ত্রিমাত্রিক সলিড উপাদানের মধ্যে রূপান্তরের লক্ষ্য নিচের দুই ধরন।

উপাদান ধরন রূপান্তর সারণি বিষয়বস্তু
342 (দ্বিতীয়-ক্রমের টেট্রাহেড্রন) Table342 10টি নোডকে \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ক্রমে সাজায়
352 (দ্বিতীয়-ক্রমের ত্রিভুজাকার প্রিজম) Table352 15টি নোডকে \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ক্রমে সাজায়

রূপান্তর সরাসরি উপাদান সংযোগ তথ্যের সংরক্ষণ অ্যারেতে করা হয়, তাই পরবর্তী সব উপাদান লাইব্রেরি কল FrontISTR-এর অভ্যন্তরীণ নোড ক্রম ব্যবহার করে। দ্বিতীয়-ক্রমের হেক্সাহেড্রন 362-এর ক্ষেত্রে HEC-MW ইনপুট ও FrontISTR অভ্যন্তরীণ বিন্যাসের মধ্যবর্তী নোড ক্রম একই, তাই কোনো রূপান্তর সারণি নেই। ফলাফল লেখার সময় বিপরীত রূপান্তর fstr2hecmw_mesh_conv ডেকে HEC-MW নোড ক্রমে ফেরত লেখা হয়। ফলে ব্যবহারকারীকে ইনপুট ও আউটপুট উভয় ক্ষেত্রেই শুধু HEC-MW বিন্যাস বিবেচনা করতে হয়। নিচের আকৃতি ফাংশনের নোড নম্বর রূপান্তরের পর FrontISTR-এর অভ্যন্তরীণ বিন্যাস অনুযায়ী।

প্রথম-ক্রমের উপাদানের আকৃতি ফাংশন

প্রথম-ক্রমের টেট্রাহেড্রন উপাদান (341)-এর আকৃতি ফাংশন সরাসরি আয়তন স্থানাঙ্ক:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

প্রথম-ক্রমের ত্রিভুজাকার প্রিজম উপাদান (351)-এর আকৃতি ফাংশন হলো ভিত্তি ত্রিভুজের রৈখিক আকৃতি ফাংশন (\(a, \xi, \eta\)) এবং অক্ষীয় রৈখিক আকৃতি ফাংশন (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\))-এর গুণফল:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রন উপাদান (361)-এর আকৃতি ফাংশন তিন অক্ষের রৈখিক আকৃতি ফাংশনের টেনসর গুণফল:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

এখানে \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) নোড \(\alpha\)-এর প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক (প্রতিটি উপাংশ \(\pm 1\))।

দ্বিতীয়-ক্রমের উপাদানের আকৃতি ফাংশন

দ্বিতীয়-ক্রমের টেট্রাহেড্রন উপাদান (342)-এর আকৃতি ফাংশন 4টি কোণ নোড ও 6টি প্রান্ত-মধ্যবর্তী নোডে বিভক্ত:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

মধ্যবর্তী নোড 5–10 যথাক্রমে প্রান্ত 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 ও 3-4-এর মধ্যবিন্দু।

দ্বিতীয়-ক্রমের ত্রিভুজাকার প্রিজম উপাদান (352)-এর আকৃতি ফাংশন 6টি কোণ নোড, ত্রিভুজ পৃষ্ঠের 6টি প্রান্ত-মধ্যবর্তী নোড এবং অক্ষীয় প্রান্তের 3টি মধ্যবর্তী নোড নিয়ে গঠিত:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

মধ্যবর্তী নোড 7–9 ভিত্তি ত্রিভুজের (\(\zeta = -1\)) প্রতিটি প্রান্তের মধ্যবিন্দু, 10–12 উপরের ত্রিভুজের (\(\zeta = +1\)) প্রতিটি প্রান্তের মধ্যবিন্দু এবং 13–15 অক্ষীয় প্রান্তের মধ্যবিন্দু।

দ্বিতীয়-ক্রমের হেক্সাহেড্রন (362) Serendipity পরিবারের 20-নোড উপাদান। নোড \(\alpha\)-এর প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ককে \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ধরা যাক। কোণ নোডের জন্য (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), প্রতিটি উপাংশ \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

প্রান্ত-মধ্যবর্তী নোডের জন্য (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), তিন প্রাকৃতিক স্থানাঙ্কের একটি \(0\), বাকি দুটি \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) হওয়া নোডে (প্রান্তের দিক \(\xi\) অক্ষ)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

প্রান্তের দিক \(\eta\) বা \(\zeta\) অক্ষ হলে একইভাবে সংশ্লিষ্ট প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ককে বর্গ পদের মাধ্যমে অপসারণ করে আকৃতি ফাংশন পাওয়া যায়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়