কনটেন্টে যান

Translation update pending

The Bangla translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

উচ্চ-কর্মক্ষম উপাদান প্রণয়ন

ত্রিমাত্রিক সলিড উপাদানের প্রণয়ন-এ দেখানো মানক স্থানচ্যুতি-ভিত্তিক প্রণয়ন প্রায়-অসংকোচনীয় পদার্থ বা বাঁকন-প্রধান পাতলা কাঠামোতে প্রয়োগ করলে লকিং (আয়তন লকিং ও শিয়ার লকিং) নামের অযৌক্তিক অতিরিক্ত দৃঢ়তা দেখাতে পারে। এ সমস্যা এড়াতে FrontISTR-এ B ম্যাট্রিক্স বা বিকৃতি গ্রেডিয়েন্টের শুধু আয়তনিক অংশ প্রতিস্থাপনকারী B-bar ও F-bar পদ্ধতি, অভ্যন্তরীণ স্বাধীনতার মাত্রা যোগ করা অসামঞ্জস্যপূর্ণ উপাদান, চাপকে স্বাধীন অজানা ক্ষেত্র ধরা u-p মিশ্র উপাদান এবং প্লেট/বিম কাঠামোর জন্য MITC শেল ও বিম উপাদান রয়েছে।

এই অধ্যায়ে এসব উচ্চ-কর্মক্ষম ও কাঠামোগত উপাদানের প্রণয়ন উপাদানভিত্তিকভাবে সাজানো হয়েছে।

B-bar পদ্ধতি

8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রন উপাদানকে প্রায়-অসংকোচনীয় পদার্থে ব্যবহার করলে একটি উপাদানের স্ট্রেন ধ্রুব আয়তনের বাধার সঙ্গে বিরোধে পড়ে এবং আয়তন লকিং নামে অতিরিক্ত দৃঢ়তা দেখা দেয়। B-bar পদ্ধতি B ম্যাট্রিক্সের আয়তন প্রসারণে অবদানকারী অংশকে উপাদান কেন্দ্রে মূল্যায়িত মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করে অতিরিক্ত বাধা শিথিল করে [Hughes1980]।

উপাদান কেন্দ্র \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)-এ আকৃতি ফাংশনের স্থানিক অন্তরক থেকে গণিত B ম্যাট্রিক্সকে \(\bar{\boldsymbol{B}}\) এবং সমাকলন বিন্দু \(\boldsymbol{r}\)-এ সাধারণ B ম্যাট্রিক্সকে \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ধরা যাক। নোড \(\alpha\)-এর স্বাধীনতার মাত্রা \(i\)-এর স্থানচ্যুতি-স্ট্রেন সম্পর্কে আয়তনিক স্ট্রেন উপাংশ \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)-এ

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

যোগ করা হয় এবং শিয়ার উপাংশ \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\)-এ সাধারণ \(\boldsymbol{B}\) ব্যবহৃত হয়। এভাবে প্রাপ্ত B-bar ম্যাট্রিক্স দিয়ে উপাদান দৃঢ়তা ও অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর গঠন করা হয়।

FrontISTR-এ এই প্রণয়ন কেবল 8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রন (উপাদান ID 361, উপাদান নম্বর পদ্ধতি)-এর জন্য দেওয়া হয়েছে এবং ক্ষুদ্র বিকৃতি, Total Lagrange ও Updated Lagrange—সব ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যায়।

F-bar পদ্ধতি

সসীম বিকৃতিতে আয়তন পরিবর্তন বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট \(\boldsymbol{F}\)-এর মাধ্যমে অরৈখিকভাবে কাজ করে। তাই B-bar-এর সমতুল্য আয়তন লকিং প্রতিকার বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট স্তরে প্রয়োগ করাই F-bar পদ্ধতি [deSouzaNeto1996]।

উপাদান কেন্দ্র \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)-এ বিকৃতি গ্রেডিয়েন্টের আয়তন অনুপাতকে \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) এবং সমাকলন বিন্দুতে \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) ধরে সমাকলন বিন্দুর বিকৃতি গ্রেডিয়েন্টকে

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। এতে \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) হয় এবং পুরো উপাদানে আয়তন অনুপাত উপাদান-কেন্দ্রের মানের সমান হয়। পীড়ন মূল্যায়ন ও স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি ম্যাট্রিক্স গঠনে প্রতিস্থাপিত \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ব্যবহার করা হয় এবং উপাদান দৃঢ়তার স্পর্শক ম্যাট্রিক্সে এই প্রতিস্থাপনজনিত অতিরিক্ত পদও অন্তর্ভুক্ত থাকে।

FrontISTR-এ F-bar পদ্ধতি 8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রনের জন্য বাস্তবায়িত এবং ক্ষুদ্র বিকৃতি ও Total Lagrange / Updated Lagrange উভয় অরৈখিক জ্যামিতিক প্রণয়নে প্রয়োগ করা যায়।

অসামঞ্জস্যপূর্ণ উপাদান

8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রন উপাদানে বাঁকন মোডের জন্য প্রয়োজনীয় স্ট্রেন স্বাধীনতা যথেষ্ট নয় এবং বাঁকন-প্রধান সমস্যায় বাঁকন লকিং দেখা দেয়। অসামঞ্জস্যপূর্ণ উপাদান [Taylor1976] এই ঘাটতি পূরণে উপাদানের ভেতরে অতিরিক্ত স্থানচ্যুতি মোড যোগ করে।

উপাদান নোডীয় স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}^e\)-এর পাশাপাশি কেবল উপাদানের অভ্যন্তরে থাকা অসামঞ্জস্যপূর্ণ মোড স্বাধীনতার মাত্রা \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) প্রতি উপাদানে 3 দিক × 3 মোড হিসেবে যোগ করে স্থানচ্যুতি ক্ষেত্রকে

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

দিয়ে আসন্নীকরণ করা হয়। প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)-এর জন্য অসামঞ্জস্যপূর্ণ আকৃতি ফাংশন \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) নেওয়া হয়। এগুলো উপাদান সীমানায় ধারাবাহিকতা নিশ্চিত করে না, কিন্তু উপাদানের ভেতরে বাঁকন মোডের স্ট্রেন পুনরুৎপাদনের স্থান যোগ করে।

উপাদান দৃঢ়তাকে বাহ্যিক ও অভ্যন্তরীণ স্বাধীনতার মাত্রার ব্লকে

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

গঠন করার পর \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) দিয়ে অভ্যন্তরীণ স্বাধীনতার মাত্রা অপসারণ করে স্থির সংকোচন করা হয়। ফলে শুধু বাহ্যিক স্বাধীনতার মাত্রার উপাদান দৃঢ়তা

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

সামগ্রিক সংযোজনে পাঠানো হয়।

FrontISTR-এ অসামঞ্জস্যপূর্ণ উপাদান কেবল 8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রন (C3D8IC)-এর জন্য বাস্তবায়িত এবং ক্ষুদ্র বিকৃতি, Total Lagrange ও Updated Lagrange সব ক্ষেত্রেই প্রয়োগযোগ্য।

U-P মিশ্র উপাদান

B-bar ও F-bar পদ্ধতি স্থানচ্যুতি-ভিত্তিক কাঠামোর ভেতর আয়তনিক অংশ সংশোধন করে, আর u-p মিশ্র (U-P) উপাদান চাপ \(\lambda\)-কে স্থানচ্যুতি থেকে স্বাধীন অজানা ক্ষেত্র হিসেবে প্রবর্তন করে [Bathe1996]। প্রায়-অসংকোচনীয় পদার্থে—যেমন Poisson অনুপাত 0.5-এর খুব কাছাকাছি রাবারজাত পদার্থ বা প্লাস্টিক বিকৃতির পর ধাতু—শুধু স্থানচ্যুতি ক্ষেত্র দিয়ে ধ্রুব আয়তন বাধা পূরণ করতে গেলে আয়তন লকিং হয়। চাপকে স্বাধীন চলক করলে বাধাটি শিথিল হয়।

পীড়নকে বিচ্যুতি অংশ ও চাপে ভাগ করে

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

লেখা হয়। এখানে \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) হলো স্থিতিস্থাপকতা ম্যাট্রিক্স থেকে বাল্ক সহগ \(K\)-এর সমানুপাতিক আয়তনিক অংশ বাদ দেওয়া বিচ্যুতি স্থিতিস্থাপকতা ম্যাট্রিক্স। চাপ \(\lambda\) ও আয়তনিক স্ট্রেন \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) সংকোচনযোগ্যতা \(\alpha^{-1} = 1/K\)-এর মাধ্যমে বাধা শর্ত

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

দিয়ে যুক্ত। স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}\) ও চাপ \(\lambda\)-কে অজানা ধরে বিচ্ছিন্নীকরণ করলে উপাদান যুগপৎ সমীকরণ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

পাওয়া যায়। এখানে \(\mathbf{K}_{uu}\) বিচ্যুতি স্থিতিস্থাপক উপাংশ এবং সসীম বিকৃতিতে জ্যামিতিক দৃঢ়তা, \(\mathbf{K}_{up}\) আয়তনিক স্ট্রেন ও চাপের সংযোগ ম্যাট্রিক্স, এবং \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) চাপের স্থিতিশীলীকরণ পদ (\(\boldsymbol{N}_p\) চাপের আকৃতি ফাংশন)। চাপের স্বাধীনতার মাত্রা উপাদানের ভেতরেই সীমাবদ্ধ, তাই

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

রূপে স্থির সংকোচন করে শুধু বাহ্যিক (স্থানচ্যুতি) স্বাধীনতার মাত্রার কার্যকর দৃঢ়তা সামগ্রিক সংযোজনে পাঠানো হয়।

FrontISTR-এ U-P উপাদান কেবল 8-নোড প্রথম-ক্রমের হেক্সাহেড্রনের জন্য বাস্তবায়িত; প্রতি উপাদানে 1টি চাপ স্বাধীনতার মাত্রা (উপাদানের মধ্যে ধ্রুব) থাকে। এটি ক্ষুদ্র বিকৃতি, Total Lagrange ও Updated Lagrange সব ক্ষেত্রেই প্রয়োগযোগ্য। Updated Lagrange-এ বিচ্যুতি পীড়নকে বস্তুনিষ্ঠ পীড়ন হার (Jaumann/Hughes-Winget ধরনের) দিয়ে হালনাগাদ করার পর স্থির সংকোচনে নির্ণীত মান থেকে চাপ \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) আরোপ করা হয়।

শেল উপাদান

পাতলা প্লেট ও শেল কাঠামোর জন্য Reissner-Mindlin প্লেট-শেল তত্ত্বভিত্তিক শেল উপাদান ব্যবহৃত হয়। নিম্ন-ক্রমের স্থানচ্যুতি-ভিত্তিক প্লেট-শেল উপাদানে পুরুত্ব কমার সঙ্গে সঙ্গে আড়াআড়ি শিয়ার স্ট্রেন আয়তন লকিংয়ের অনুরূপ প্রক্রিয়ায় অতিরিক্ত মূল্যায়িত হয় (শিয়ার লকিং), ফলে বাঁকন মোডের দৃঢ়তা অস্বাভাবিকভাবে বাড়ে। MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) পদ্ধতি [Dvorkin1984] [Bathe1986] শুধু শিয়ার স্ট্রেন উপাংশকে উপাদানের পূর্বনির্ধারিত টাইয়িং বিন্দুতে পুনরায় নমুনা নিয়ে সেই মানকে উপাদানের ভেতরে পুনরায় অন্তর্বর্তী করে এই সমস্যা এড়ায়।

MITC শেল উপাদানের নোড বাঁকা পৃষ্ঠের মধ্যপৃষ্ঠে থাকে। প্রতিটি নোডে 3টি স্থানান্তর এবং মধ্যপৃষ্ঠের লম্ব অক্ষ ঘিরে 3টি ঘূর্ণন—মোট 6 স্বাধীনতার মাত্রা। উপাদান দৃঢ়তা মধ্যপৃষ্ঠের প্রাকৃতিক স্থানাঙ্ক ও পুরুত্ব দিক মিলিয়ে ত্রিমাত্রিক Gaussian সমাকলনে মূল্যায়িত হয় এবং প্লেটের পুরুত্ব \(h\) গঠনমূলক সম্পর্ক গণনার সময় উপাদান বৈশিষ্ট্য হিসেবে দেওয়া হয়।

FrontISTR-এ এক-মধ্যপৃষ্ঠ স্তরের MITC3 (উপাদান ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) এবং পুরুত্ব ভেদ করে দুই স্তরে নোডযুক্ত স্তরিত শেল MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 নোড, নোডপ্রতি 3 স্বাধীনতার মাত্রা) ও MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 নোড, নোডপ্রতি 3 স্বাধীনতার মাত্রা) রয়েছে। স্তরিত শেলে নোডীয় স্বাধীনতার মাত্রা কেবল 3টি স্থানান্তর; ঘূর্ণন স্বাধীনতার সমতুল্য বাঁকন মোড দুই-স্তর বিন্যাসে প্রকাশিত হয়।

বিম উপাদান

গার্ডার ও ফ্রেম কাঠামোর মতো রেখীয় সদস্যকে বিম উপাদান দিয়ে বিচ্ছিন্নীকরণ করা হয়। বিম উপাদান কেবল বিম অক্ষের নোডগুলোর স্থানান্তর ও ঘূর্ণন ব্যবহার করে প্রসারণ, বাঁকন ও টর্শন প্রকাশ করে; ক্রস-সেকশনের অভ্যন্তরীণ বিকৃতি সেকশন ধ্রুবক দিয়ে প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

প্রতিটি বিম নোডে ছয়টি স্বাধীনতার মাত্রা থাকে: তিনটি স্থানান্তর উপাদান এবং তিনটি ঘূর্ণন উপাদান। উপাদান অক্ষ ও সেকশন ডেটায় নির্ধারিত রেফারেন্স অক্ষ দিয়ে সংজ্ঞায়িত স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রসারণ, দুই দিকের বাঁকন এবং টর্শনের জন্য বদ্ধ-রূপ দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স তৈরি করে, তারপর সেগুলোকে বৈশ্বিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রূপান্তর করে উপাদান দৃঢ়তা পাওয়া যায়। ক্রস-সেকশন ক্ষেত্রফল \(A\), স্থানীয় \(y\) ও \(z\) অক্ষের চারপাশে ক্ষেত্রফলের দ্বিতীয় আঘূর্ণ \(I_y\) ও \(I_z\), এবং টর্শন ধ্রুবক সেকশন ডেটা হিসেবে নির্ধারিত হয়; পদার্থের Young গুণাঙ্ক \(E\) এবং Young গুণাঙ্ক ও Poisson অনুপাত থেকে নির্ণীত শিয়ার গুণাঙ্ক \(G\)-এর সঙ্গে এগুলো সংশ্লিষ্ট দৃঢ়তা সহগ নির্ধারণ করে।

বাঁকনের জন্য দুটি প্রণয়ন উপলব্ধ: Bernoulli-Euler বিম, যেখানে বিকৃতির পরেও ক্রস-সেকশন বিম অক্ষের লম্ব থাকে বলে ধরা হয় এবং শিয়ার বিকৃতি উপেক্ষা করা হয়; এবং Timoshenko বিম, যেখানে শিয়ার বিকৃতি বিবেচনা করা হয়। দুই-নোড বিম উপাদান 611-এর জন্য উভয়টি নির্বাচন করা যায়; ডিফল্ট হলো Bernoulli-Euler বিম। Timoshenko বিমের ক্ষেত্রে, উপাদানের দৈর্ঘ্য \(L\) হলে শিয়ার বিকৃতির অবদান নির্দেশকারী সহগগুলো,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

সংশ্লিষ্ট বাঁকন তলের দৃঢ়তা সহগে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, স্থানীয় \(y\) দিকের বিক্ষেপণের জন্য দৃঢ়তা সহগ হলো \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\)। এখানে \(A_s\) হলো শিয়ার ক্ষেত্রফল। FrontISTR-এর সেকশন ডেটায় \(A_s\) আলাদাভাবে দেওয়া হয় না, তাই \(A_s = A\) ব্যবহার করা হয়। এটি শিয়ার সংশোধন সহগকে 1 ধরা সমতুল্য। \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) নির্ধারণ করলে Bernoulli-Euler বিমের দৃঢ়তা পাওয়া যায়।

উপাদান 641 একটি মিশ্র-স্বাধীনতার-মাত্রা উপাদান, যা স্থানান্তর স্বাধীনতার মাত্রাসহ দুইটি নোড এবং ঘূর্ণন স্বাধীনতার মাত্রাসহ দুইটি নোড ব্যবহার করে একটি বিমকে প্রকাশ করে; এটি Bernoulli-Euler বিম হিসেবে প্রণীত।

সংশ্লিষ্ট বিষয়