কনটেন্টে যান

গতি, বিকৃতি ও স্ট্রেন

ভিত্তি বিন্যাস ও বর্তমান বিন্যাস

বিন্যাসের সংজ্ঞা

ভৌত রাশিকে কোন সময়ের আকৃতিকে ভিত্তি ধরে বর্ণনা করা হচ্ছে তা আলাদা করতে এই ম্যানুয়ালে 2 ধরনের বিন্যাস ব্যবহার করা হয়।

  • ভিত্তি বিন্যাস (রেফারেন্স বিন্যাস): বিশ্লেষণ শুরুর সময়ের (সময় \(0\)) বিকৃতিপূর্ব আকৃতি; একে প্রাথমিক বিন্যাসও বলা হয়। ভিত্তি বিন্যাসের বিন্দু পদার্থ স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{X}\) দিয়ে প্রকাশ করা হয়, আয়তন \(V\) এবং পৃষ্ঠ \(S\)।
  • বর্তমান বিন্যাস (বর্তমান বিন্যাস): সময় \(t\)-এ বিকৃত আকৃতি। বর্তমান বিন্যাসের বিন্দু স্থানিক স্থানাঙ্ক \(\boldsymbol{x}\) দিয়ে প্রকাশ করা হয়, আয়তন \(v\) এবং পৃষ্ঠ \(s\)।

গতি এই 2 বিন্যাসের মধ্যকার ম্যাপিং \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) হিসেবে প্রকাশিত হয় এবং স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

বিন্যাসনির্ভর প্রতীক-রীতি (বড়/ছোট অক্ষর)

কোন ভৌত রাশি কোন বিন্যাসের তা প্রতীকের বড়/ছোট অক্ষর দিয়ে আলাদা করা হয়।

  • ভিত্তি বিন্যাসের রাশি বড় অক্ষরে লেখা হয় (যেমন \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\))।
  • বর্তমান বিন্যাসের রাশি ছোট অক্ষরে লেখা হয় (যেমন \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\))।
  • 1ম Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{P}\)-এর মতো দুই বিন্যাস জুড়ে থাকা রাশিতে প্রচলিত প্রতীক ব্যবহার করা হয় এবং প্রয়োজনেমূল পাঠ্যে ব্যাখ্যা করা হয়।
  • ক্ষুদ্র-বিকৃতি তত্ত্বে দুই বিন্যাসের পার্থক্য বিলীন হয়, তাই শুধু ছোট অক্ষর (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) ব্যবহার করা হয়।

ভিত্তি বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট ও বর্তমান বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট

স্থানিক অন্তরক কোন বিন্যাসের প্রতি নেওয়া হচ্ছে তার উপর প্রতীক ও অর্থ আলাদা হয়।

  • ভিত্তি বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): পদার্থ স্থানাঙ্কের প্রতি গ্রেডিয়েন্ট। যেমন \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)।
  • বর্তমান বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): স্থানিক স্থানাঙ্কের প্রতি গ্রেডিয়েন্ট। যেমন \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)।

দুটির সম্পর্ক \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)। সময় অন্তরকের রীতি (পদার্থ সময় অন্তরক \(\dot{(\cdot)}\)) এর জন্য টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি দেখুন।

গতির বর্ণনা

গতি ম্যাপিং এবং পদার্থ/স্থানিক বর্ণনা

কন্টিনিউয়ামকে সময় \(0\)-এর অবস্থান \(\boldsymbol{X}\) দ্বারা চিহ্নিত পদার্থ বিন্দুর সমষ্টি হিসেবে ধরলে, গতি ম্যাপিং \(\boldsymbol{X}\) দ্বারা প্রকাশিত হয়, যা পদার্থ বিন্দু \(t\)-কে সময় \(\boldsymbol{x}\)-এ অবস্থান \(\phi\)-এর সঙ্গে যুক্ত করে:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ভিত্তি বিন্যাসকে প্রাথমিক বিন্যাস ধরলে \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)।

স্বাধীন চলক নির্বাচনের ভিত্তিতে 2 ধরনের বর্ণনা আলাদা করা হয়।

  • পদার্থ বর্ণনা (Lagrange বর্ণনা): ভৌত রাশিকে \((\boldsymbol{X}, t)\)-এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করে। সলিড বলবিদ্যায় রেফারেন্স বিন্যাস স্থির আকৃতি হিসেবে দেওয়া থাকে বলে এটি স্বাভাবিক নির্বাচন।
  • স্থানিক বর্ণনা (Euler বর্ণনা): ভৌত রাশিকে \((\boldsymbol{x}, t)\)-এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করে। তরল বলবিদ্যায় এটি মানক।

FrontISTR-এর কাঠামোগত বিশ্লেষণ মূলত পদার্থ বর্ণনার উপর ভিত্তি করে, তবে Updated Lagrange পদ্ধতিতে বর্তমান বিন্যাসকে নতুন রেফারেন্স বিন্যাস হিসেবে ব্যবহার করা হয় বলে স্থানিক বর্ণনার রাশিও একসঙ্গে ব্যবহৃত হয়।

স্থানচ্যুতি, বেগ ও ত্বরণ

স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}\) আগের অংশের মতো \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এর পরিমাণ সম্পর্কে কোনো অনুমান না করে সসীম বিকৃতি পর্যন্ত বিবেচনা করা হয়। বেগ ভেক্টর এবং ত্বরণ ভেক্টর, পদার্থ বিন্দু স্থির রেখে \(\boldsymbol{u}\)-এর পদার্থ সময় অন্তরক হিসেবে সংজ্ঞায়িত:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

এইভাবে সংজ্ঞায়িত।

বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট ও বিকৃতি টেনসর

বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট টেনসর

সসীম-বিকৃতি কন্টিনিউয়াম বলবিদ্যার মৌলিক রাশি হলো বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট টেনসর \(\boldsymbol{F}\)। এটি ভিত্তি বিন্যাসের অতিক্ষুদ্র লাইন উপাদান \(d\boldsymbol{X}\)-কে বর্তমান বিন্যাসের অতিক্ষুদ্র লাইন উপাদান \(d\boldsymbol{x}\)-এ ম্যাপ করা রৈখিক ম্যাপিং; গতি ম্যাপিংয়ের পদার্থ স্থানাঙ্কের প্রতি গ্রেডিয়েন্ট হিসেবে

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

দ্বারা সংজ্ঞায়িত (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\))। অবিকৃত অবস্থায় \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)। \(\boldsymbol{F}\) স্ট্রেন ও পীড়নের সংজ্ঞা এবং বিন্যাসগুলোর মধ্যে ভৌত রাশি রূপান্তরে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

আয়তন পরিবর্তনের অনুপাত

ভিত্তি বিন্যাসের অতিক্ষুদ্র আয়তন \(dV\) ও বর্তমান বিন্যাসের অতিক্ষুদ্র আয়তন \(dv\)-এর অনুপাতকে আয়তন পরিবর্তনের অনুপাত \(J\) বলা হয়:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

কন্টিনিউয়াম হিসেবে প্রত্যাবর্তনযোগ্যতা থেকে \(J > 0\) ধরা হয়। ভর সংরক্ষণ হলো \(\rho_0 = J\rho\)।

ডান ও বাম Cauchy-Green বিকৃতি টেনসর

বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট \(\boldsymbol{F}\)-এ দৃঢ়-বস্তু ঘূর্ণন-ও থাকে, তাই বিকৃতি নিজেকে মাপতে দৃঢ়-বস্তু ঘূর্ণন বাদ দেওয়া রাশি ব্যবহার করা হয়। ডান Cauchy-Green বিকৃতি টেনসর \(\boldsymbol{C}\) (ভিত্তি বিন্যাস) এবং বাম Cauchy-Green বিকৃতি টেনসর \(\boldsymbol{b}\) (বর্তমান বিন্যাস) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

2টিই প্রতিসম টেনসর এবং একই আইগেনভ্যালু (প্রধান প্রসারণ অনুপাতের বর্গ) ধারণ করে। অতিস্থাপক স্ট্রেন-শক্তি ফাংশনের প্রধান ইনভেরিয়েন্ট এগুলো দিয়ে দেওয়া হয়।

স্ট্রেন টেনসর

Green-Lagrange স্ট্রেন টেনসর

ভিত্তি বিন্যাসের স্ট্রেন পরিমাপ হিসেবে Green-Lagrange স্ট্রেন টেনসর \(\boldsymbol{E}\) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

এটি ভিত্তি বিন্যাসে অতিক্ষুদ্র ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফল পরিবর্তন প্রকাশকারী প্রতিসম টেনসর; দৃঢ়-বস্তু ঘূর্ণনের প্রতি ইনভেরিয়েন্ট এবং অবিকৃত অবস্থায় \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)। \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ব্যবহার করলে

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

অর্থাৎ স্থানচ্যুতি গ্রেডিয়েন্টের 1ম- এবং 2য়-ক্রম পদের যোগফল; 2য়-ক্রম পদ জ্যামিতিক অরৈখিকতা প্রকাশ করে। Total Lagrange পদ্ধতিতে পীড়ন-যুগ্ম জোড়া \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

Almansi স্ট্রেন টেনসর

বর্তমান বিন্যাসের স্ট্রেন পরিমাপ হিসেবে Almansi স্ট্রেন টেনসর \(\boldsymbol{e}\) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Green-Lagrange স্ট্রেনের সঙ্গে সম্পর্ক \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (পুলব্যাক)।

ক্ষুদ্র স্ট্রেন টেনসর

স্থানচ্যুতি গ্রেডিয়েন্ট ছোট হলে (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange স্ট্রেনের 2য়-ক্রম পদ উপেক্ষা করা যায়। তখন দুই বিন্যাসের পার্থক্যও বিলীন হয় এবং গ্রেডিয়েন্টকে স্থানিক স্থানাঙ্কে লিখে ক্ষুদ্র স্ট্রেন টেনসর \(\boldsymbol{\varepsilon}\) পাওয়া যায়:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR-এর রৈখিক স্থির বিশ্লেষণ, মোডাল বিশ্লেষণ, কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণ এবং রৈখিক গতিশীল বিশ্লেষণে এই স্ট্রেন পরিমাপ ব্যবহৃত হয়। সসীম-বিকৃতি বিশ্লেষণে Total Lagrange পদ্ধতিতে \(\boldsymbol{E}\) এবং Updated Lagrange পদ্ধতিতে বর্তমান বিন্যাসভিত্তিক বিকৃতি-হারের টেনসর \(\boldsymbol{D}\) ব্যবহৃত হয়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়