কনটেন্টে যান

পীড়ন ও সংরক্ষণ সূত্র

এই অধ্যায়ে পীড়ন টেনসরের সংজ্ঞা ও পারস্পরিক সম্পর্ক এবং ভর, ভরবেগ ও কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র থেকে উদ্ভূত সাম্য সমীকরণ ও পীড়নের সমমিতি সাজিয়ে দেওয়া হয়েছে। তিন ধরনের পীড়ন টেনসর—Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\), প্রথম Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{P}\) এবং দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\)—রেফারেন্স পৃষ্ঠ ও বল ভেক্টরের জন্য কোন কনফিগারেশন ব্যবহৃত হচ্ছে তার পার্থক্য থেকে প্রবর্তিত হয়। কনফিগারেশন, গতি ও বিকৃতি গ্রেডিয়েন্টের সংজ্ঞার জন্য গতি, বিকৃতি ও স্ট্রেন, এবং প্রতীকের তালিকার জন্য ভৌত রাশির প্রতীক তালিকা দেখুন।

Cauchy পীড়ন টেনসর

বর্তমান কনফিগারেশনের বিন্দু \(\boldsymbol{x}\)-এ একটি ক্ষুদ্র পৃষ্ঠে (ক্ষেত্রফল \(d\Gamma\), বহির্মুখী একক অভিলম্ব \(\boldsymbol{n}\)) কার্যকর বলকে \(d\boldsymbol{f}\) ধরে পীড়ন ভেক্টর \(\boldsymbol{t}\)-কে একক ক্ষেত্রফলপ্রতি বল \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। \(\boldsymbol{t}\) অবস্থান \(\boldsymbol{x}\) এবং অভিলম্ব \(\boldsymbol{n}\)—উভয়ের উপর নির্ভর করে। ক্ষুদ্র চতুস্তলকে ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র প্রয়োগ করলে \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\)-এর সাপেক্ষে রৈখিক হয় এবং দ্বিতীয়-ক্রম টেনসর \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) বিদ্যমান থাকে, যাতে

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

যেকোনো \(\boldsymbol{n}\)-এর জন্য সত্য হয় (Cauchy-এর পীড়ন উপপাদ্য)। এই টেনসর \(\boldsymbol{\sigma}\)-কে Cauchy পীড়ন টেনসর বলা হয় এবং বর্তমান কনফিগারেশনের জ্যামিতির ভিত্তিতে একক ক্ষেত্রফলপ্রতি বল বোঝায় বলে একে সত্য পীড়নও বলা হয়। উপাংশ \(\sigma_{ij}\) হলো বর্তমান কনফিগারেশনে স্থানাঙ্ক অক্ষ \(x_j\)-এর লম্ব ক্ষুদ্র পৃষ্ঠের একক ক্ষেত্রফলে কার্যকর বলের \(x_i\) উপাংশ।

পরে আলোচিত কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র অনুযায়ী Cauchy পীড়ন একটি সমমিত টেনসর

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

এবং 3 মাত্রায় এর 6টি স্বাধীন উপাংশ (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) আছে। Voigt নোটেশনে পীড়ন ভেক্টরে রূপান্তর এই সমমিতির উপর নির্ভর করে (টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি দেখুন)। FrontISTR-এর Updated Lagrange পদ্ধতিতে জ্যামিতিক অরৈখিক বিশ্লেষণ এবং ক্ষুদ্র বিকৃতি বিশ্লেষণের পীড়ন আউটপুটে Cauchy পীড়ন ব্যবহৃত হয়।

প্রথম ও দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন

সসীম বিকৃতিতে রেফারেন্স কনফিগারেশনকে রেফারেন্স পৃষ্ঠ ও রেফারেন্স ভেক্টর হিসেবে নিয়ে পীড়ন প্রকাশ করা অনেক ক্ষেত্রে সুবিধাজনক; এজন্য দুই ধরনের Piola-Kirchhoff পীড়ন টেনসর প্রবর্তন করা হয়। রেফারেন্স কনফিগারেশনের ক্ষুদ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল \(d\Gamma_0\) এবং বহির্মুখী একক অভিলম্ব \(\boldsymbol{N}\) ধরা যাক।

প্রথম Piola-Kirchhoff পীড়ন (প্রথম PK পীড়ন, নামমাত্র পীড়ন) \(\boldsymbol{P}\)-কে বর্তমান কনফিগারেশনের বল \(d\boldsymbol{f}\) রেফারেন্স কনফিগারেশনের ক্ষুদ্র পৃষ্ঠে কার্যকর হওয়ার পীড়ন টেনসর হিসেবে

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। Nanson-এর সূত্র \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) এবং Cauchy-এর পীড়ন উপপাদ্য থেকে Cauchy পীড়নের সঙ্গে সম্পর্ক

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

পাওয়া যায়। প্রথম PK পীড়ন সাধারণত অসমমিত টেনসর।

দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন (দ্বিতীয় PK পীড়ন) \(\boldsymbol{S}\)-কে বর্তমান কনফিগারেশনের বল \(d\boldsymbol{f}\)-কে \(\boldsymbol{F}^{-1}\) দ্বারা রেফারেন্স কনফিগারেশনে ফিরিয়ে এনে রেফারেন্স কনফিগারেশনের ক্ষুদ্র পৃষ্ঠে কার্যকর করার পীড়ন টেনসর হিসেবে

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বল ভেক্টর ও কার্যকর পৃষ্ঠ—দুটিই রেফারেন্স কনফিগারেশনের রাশি দিয়ে প্রকাশিত হয়; এটি কঠিন-বস্তুর ঘূর্ণনের প্রতি অপরিবর্তিত এবং সমমিত টেনসর। প্রথম PK পীড়নের সঙ্গে সম্পর্ক এবং Cauchy পীড়নের রূপান্তর সূত্র হলো

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

দ্বিতীয় PK পীড়ন অতিস্থাপক স্ট্রেন-শক্তি ফাংশন \(W(\boldsymbol{C})\) থেকে \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) হিসেবে পাওয়া যায় এবং Total Lagrange পদ্ধতিতে Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\)-এর সঙ্গে পীড়ন-সমযুগ্ম জোড়া \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

রেফারেন্স কনফিগারেশন ও সমমিতি নিচের সারণিতে দেওয়া হলো। ক্ষুদ্র বিকৃতির সীমায় (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) তিন ধরনের পীড়ন একই হয়ে যায়।

পীড়ন টেনসর রেফারেন্স পৃষ্ঠ বল ভেক্টর সমমিতি ব্যবহার
Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) বর্তমান কনফিগারেশন \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) বর্তমান কনফিগারেশন \(d\boldsymbol{f}\) সমমিত Updated Lagrange পদ্ধতি ও ক্ষুদ্র বিকৃতি বিশ্লেষণ
প্রথম PK পীড়ন \(\boldsymbol{P}\) রেফারেন্স কনফিগারেশন \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) বর্তমান কনফিগারেশন \(d\boldsymbol{f}\) সাধারণত অসমমিত রেফারেন্স কনফিগারেশনের সাম্য সমীকরণ
দ্বিতীয় PK পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) রেফারেন্স কনফিগারেশন \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) রেফারেন্স কনফিগারেশন \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) সমমিত Total Lagrange পদ্ধতি ও অতিস্থাপকতা

ভর ও ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র এবং সাম্য সমীকরণ

বর্তমান কনফিগারেশনের ভরঘনত্ব \(\rho\) এবং রেফারেন্স কনফিগারেশনের ভরঘনত্ব \(\rho_0\) হলে ভর সংরক্ষণ সূত্র \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) আয়তন উপাদানের রূপান্তর \(dv = J\, dV\) ব্যবহার করে স্থানীয় রূপে

\[ \rho_0 = J \rho \]

হয়।

বডি ফোর্সকে (একক ভরপ্রতি) \(\boldsymbol{g}\) এবং ত্বরণকে \(\boldsymbol{a}\) ধরে, ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্রে (Euler-এর প্রথম গতি সূত্র) Cauchy-এর পীড়ন উপপাদ্য ও Gauss-এর ডাইভারজেন্স উপপাদ্য প্রয়োগ করলে বর্তমান কনফিগারেশনে স্থানীয় সাম্য সমীকরণ (গতিসমীকরণ)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

পাওয়া যায়। Nanson-এর সূত্র এবং \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ব্যবহার করে রেফারেন্স কনফিগারেশনের সমাকলনে পুনর্লিখলে স্থানীয় রূপ

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

পাওয়া যায়। পীড়ন রূপান্তর সূত্র ও \(\rho_0 = J\rho\) অনুযায়ী দুই রূপ সমতুল্য। জড়তা পদ বাদ দিলে

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

হলো স্থির সাম্য সমীকরণ এবং FrontISTR-এর স্থির বিশ্লেষণের (রৈখিক ও অরৈখিক) সূচনাকারী সমীকরণ।

কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র ও পীড়নের সমমিতি

কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্রকে (Euler-এর দ্বিতীয় গতি সূত্র) ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্র থেকে পাওয়া সাম্য সমীকরণের সঙ্গে মিলালে Cauchy পীড়ন টেনসরের সমমিতি

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

পাওয়া যায় এবং 3 মাত্রায় এটি 6টি স্বাধীন উপাংশ নিয়ে গঠিত। রূপান্তর সূত্র \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\)-এর উভয় পাশের ট্রান্সপোজ এবং \(\boldsymbol{F}\)-এর নিয়মিততা থেকে দ্বিতীয় PK পীড়নও সমমিত:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

এবং এরও 6টি স্বাধীন উপাংশ আছে। অন্যদিকে প্রথম PK পীড়ন \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) সাধারণভাবে সমমিত নয়; কেবল সম্পর্ক \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (অর্থাৎ \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) সমমিত) সত্য হয় এবং স্বাধীন উপাংশের সংখ্যা 9।

এই সমমিতিগুলো Voigt নোটেশনে পীড়নকে 6-উপাংশ ভেক্টরে রূপান্তরের ভিত্তি। Voigt নোটেশনের নিয়ম ও পদার্থ ম্যাট্রিক্স নির্মাণের জন্য টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি এবং রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা দেখুন।

সংশ্লিষ্ট বিষয়