কনটেন্টে যান

ভার্চুয়াল কাজের নীতি

পীড়ন ও সংরক্ষণ সূত্র-এ উদ্ভূত সাম্যাবস্থা সমীকরণ এবং সীমানা শর্ত থেকে কন্টিনিউয়াম বলবিদ্যার সীমানা-মান সমস্যার দুর্বল রূপ, অর্থাৎ ভার্চুয়াল কাজের নীতি উৎপন্ন করা হয়। সসীম উপাদান বিচ্ছিন্নায়নের সূচনা এই দুর্বল রূপ থেকেই। এখানে বর্তমান বিন্যাসে Cauchy পীড়ন ও Almansi স্ট্রেনের রৈখিক অংশের প্রকাশ এবং রেফারেন্স বিন্যাসে 2য় Piola-Kirchhoff পীড়ন ও Green-Lagrange স্ট্রেনের প্রকাশ—দুটি রূপ-ই দেখানো হয়; তাদের সমতুল্যতার পর ক্ষুদ্র-বিকৃতি সীমা যাচাই করা হয়।

সাম্যাবস্থা সমীকরণ ও সীমানা শর্ত

কন্টিনিউয়ামে ক্রিয়াশীল দেহ বল (প্রতি একক ভর) \(\boldsymbol{g}\) ধরা যাক এবং বর্তমান বিন্যাসে অঞ্চল \(\Omega\) দখল করা একটি দেহ বিবেচনা করা যাক। সীমানা \(\Gamma\)-কে স্থানচ্যুতি \(\bar{\boldsymbol{u}}\) নির্ধারিত জ্যামিতিক সীমানা \(\Gamma_B\) এবং পৃষ্ঠ ট্র্যাকশন \(\bar{\boldsymbol{t}}\) নির্ধারিত যান্ত্রিক সীমানা \(\Gamma_t\)-এ ভাগ করা হয়, যেখানে \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) এবং \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)। স্থির সমস্যায় পীড়ন ও সংরক্ষণ সূত্র-এর ভরবেগ-সংরক্ষণ সমীকরণ থেকে জড়তা পদ বাদ দিয়ে

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{অঞ্চল:} \ \Omega \]

সাম্যাবস্থা সমীকরণ পাওয়া যায়। সীমানা শর্ত:

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{সীমানা:} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{সীমানা:} \ \Gamma_B \]

এরপর ভার্চুয়াল কাজের নীতিকে সাম্যাবস্থা সমীকরণ এবং যান্ত্রিক সীমানা শর্ত \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\)-এর দুর্বল রূপ হিসেবেউৎপন্ন করা হয়। জ্যামিতিক সীমানা শর্ত \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) পরীক্ষণ ফাংশন নির্বাচনের মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত হয়।

বর্তমান বিন্যাসে দুর্বল রূপ

দুর্বল রূপে অজানা স্থানচ্যুতির গ্রহণযোগ্য স্থান এবং পরীক্ষণ-ফাংশন স্থান যথাক্রমে

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{সীমানা:} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{সীমানা:} \ \Gamma_B \} \]

ধরা হয়। এখানে \(d\) হলো স্থানিক মাত্রা, \(H^1(\Omega)\) হলো 1ম দুর্বল অন্তরক পর্যন্ত বর্গ-সমাকলনযোগ্য Sobolev স্থান এবং \(\delta\) পরিবর্তন প্রতীক। বর্তমান-বিন্যাস ফর্মুলেশনে \(\Omega\) হলো বিকৃত বিন্যাস; সাংখ্যিক সমাধানে এটি রেফারেন্স বিন্যাস বা জানা মধ্যবর্তী বিন্যাসে পুল-ব্যাক করে ব্যবহার করা হয়।

সাম্যাবস্থা সমীকরণকে ওজন \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) দিয়ে গুণ করে Gauss-এর ডাইভারজেন্স উপপাদ্য এবং যান্ত্রিক সীমানা শর্ত প্রয়োগ করলে বর্তমান বিন্যাসে ভার্চুয়াল কাজের নীতি হয়:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

এখানে \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) হলো Almansi স্ট্রেন টেনসরের রৈখিক অংশ:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

এর পরিবর্তন হলো \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\)। অর্থাৎ \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) এমনভাবে নির্ণয় করতে হবে যাতে যেকোনো \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-এর জন্য ভার্চুয়াল-কাজ সমীকরণ পূরণ হয়। বাম পাশ অভ্যন্তরীণ ভার্চুয়াল কাজ এবং ডান পাশ নির্ধারিত পৃষ্ঠ ট্র্যাকশন ও দেহ বলের বহিরাগত ভার্চুয়াল কাজ।

এই সমীকরণ বিকৃত/বর্তমান বিন্যাসে লেখা, তাই বাস্তব সমাধানে প্রাথমিক বিন্যাস \(\Omega_0\) (রেফারেন্স বিন্যাস) অথবা জানা মধ্যবর্তী বিন্যাসকে রেফারেন্স হিসেবে নির্বাচন করে ক্রমবর্ধমান রূপে রূপান্তর করা হয়। রেফারেন্স বিন্যাসের নির্দিষ্ট নির্বাচন (Total Lagrange / Updated Lagrange) এবং ক্রমবর্ধমান বিভাজনের জন্য ইনক্রিমেন্টাল বিশ্লেষণের কাঠামো দেখুন।

প্রাথমিক বিন্যাসে দুর্বল রূপ

রেফারেন্স বিন্যাসে অঞ্চল \(\Omega_0\) দখল করা দেহ বিবেচনা করে তার সীমানা \(\Gamma_0\)-কে \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\)-এ ভাগ করি। বর্তমান-বিন্যাস ফর্মুলেশনকে রেফারেন্স বিন্যাসে পুল-ব্যাক করলে পীড়ন-স্ট্রেন যুগ্ম জোড়া হয় 2য় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) এবং Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\)। তখন প্রাথমিক বিন্যাসে ভার্চুয়াল কাজের নীতি:

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

এখানে \(\rho_0\) হলো রেফারেন্স বিন্যাসের ভর ঘনত্ব; ভর সংরক্ষণ \(\rho_0 = J\rho\) দ্বারা এটি বর্তমান-বিন্যাস দেহ-বল উপস্থাপনের সমতুল্য।

বর্তমান ও প্রাথমিক বিন্যাসের ফর্মুলেশনের সমতুল্যতা

দুই ফর্মুলেশনের অভ্যন্তরীণ ভার্চুয়াল কাজ বিকৃতি গ্রেডিয়েন্ট \(\boldsymbol{F}\) এবং আয়তন অনুপাত \(J = \det \boldsymbol{F}\)-এর রূপান্তরের মাধ্যমে এক হয়:

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

বহিরাগত-বল পদ-ও ভর সংরক্ষণ এবং পৃষ্ঠ ট্র্যাকশন রূপান্তরের মাধ্যমে সমতুল্য। তাই বর্তমান বিন্যাস এবং প্রাথমিক বিন্যাসের ভার্চুয়াল-কাজ সমীকরণ একই নীতির ভিন্ন বিন্যাসে প্রকাশ। রেফারেন্স বিন্যাস হিসেবে প্রাথমিক বিন্যাস ব্যবহারকারী সমাধান হলো Total Lagrange পদ্ধতি, আর বর্তমান বিন্যাস (আগের অভিসৃত বিন্যাস) ব্যবহারকারী সমাধান হলো Updated Lagrange পদ্ধতি।

ক্ষুদ্র বিকৃতিতে প্রত্যাবর্তন

ক্ষুদ্র-বিকৃতি অনুমান \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\)-এ বর্তমান ও রেফারেন্স বিন্যাসের পার্থক্য বিলীন হয়; 2য় PK পীড়ন Cauchy পীড়নের সমান হয় (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), এবং Green-Lagrange স্ট্রেন ও Almansi স্ট্রেনের রৈখিক অংশ দুটিই ক্ষুদ্র স্ট্রেন \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-এ নেমে আসে।

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

তখন ভার্চুয়াল কাজের নীতি Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) এবং ক্ষুদ্র স্ট্রেন \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-এর দুর্বল রূপে নেমে আসে:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{সীমানা:} \ \Gamma_B \]

এটি ক্ষুদ্র-বিকৃতি রৈখিক-স্থিতিস্থাপক স্থির বিশ্লেষণে বিচ্ছিন্নায়নের জন্য সরাসরি ব্যবহৃত দুর্বল রূপ (রৈখিক স্থিতিস্থাপক স্থির বিশ্লেষণ (ভূমিকা ও পরিশিষ্ট)-এ এই রূপ থেকে উপাদান দৃঢ়তা \(\boldsymbol{K}^e\) এবং গ্লোবাল সমীকরণ \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) পর্যন্ত অ্যাসেম্বলি দেখানো হয়েছে)।

রৈখিক-স্থিতিস্থাপক গঠনমূলক সম্পর্ক \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) বসিয়ে Voigt প্রতীকায়ন-এ \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) লিখলে দুর্বল রূপ হয়:

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

এই রূপে প্রকাশ করা যায়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়