কনটেন্টে যান

টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি

এই অধ্যায়ে FrontISTR তত্ত্ব ম্যানুয়ালের পরবর্তী অধ্যায়গুলোতে ব্যবহৃত টেনসর নোটেশন, সূচক সংকেত এবং Voigt নোটেশনের নিয়মগুলো একত্র করা হয়েছে। এখানে ভৌত রাশির সংজ্ঞা থেকে স্বাধীন বিশুদ্ধ সংকেত-লিখন নিয়মই আলোচনা করা হয়েছে। ধারাবাহিক মাধ্যমের গতির সঙ্গে সংশ্লিষ্ট বিন্যাসের (রেফারেন্স বিন্যাস/বর্তমান বিন্যাস) উপর নির্ভরশীল সংকেতের নিয়ম—বড় ও ছোট অক্ষরের ব্যবহারভেদ এবং বস্তুগত অন্তরক ও স্থানিক অন্তরকের পার্থক্য—বিন্যাসের ধারণা পরিচয় করানো গতি, বিকৃতি ও স্ট্রেন-এ দেওয়া হয়েছে।

টেনসর নোটেশন

গাঢ় অক্ষরে ভেক্টর ও টেনসর লেখা

লিপিশৈলীর মূলনীতি হিসেবে স্কেলার রাশি এবং ভেক্টর/টেনসরের উপাংশ সরু অক্ষরে (\(\rho\), \(x_i\) ইত্যাদি) এবং ভেক্টর/টেনসর রাশি নিজেই গাঢ় অক্ষরে (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) ইত্যাদি) লেখা হয়।

Einstein সংকোচন নিয়ম

বিশেষভাবে কিছু না বলা হলে একই পদের মধ্যে একই সূচক 2 বার উপস্থিত হলে সেই সূচকের উপর যোগফল নেওয়ার Einstein যোগফল নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। যেমন,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

এবং টেনসর \(\boldsymbol{A}\) ও \(\boldsymbol{B}\)-এর গুণফল \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)-এর \(i,j\) উপাংশ হলো

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

। সূচকের নিয়ম হিসেবে বিশেষভাবে কিছু না বলা অবস্থায় \(i, j, k, l, \ldots\) সূচক হিসেবে ব্যবহৃত হলে তা স্বাধীনতার মাত্রার সূচক (3 মাত্রায় \(1, 2, 3\)) বোঝায়, আর গ্রিক ছোট অক্ষর \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) সূচক হিসেবে ব্যবহৃত হলে উপাদান গঠনকারী নোডের সূচক বোঝায়।

অন্তঃগুণ, ট্রান্সপোজ ও টেনসর গুণফল

টেনসর \(\boldsymbol{A}\)-এর ট্রান্সপোজকে \(\boldsymbol{A}^T\) লেখা হয়। 2য়-ক্রম টেনসর \(\boldsymbol{A}\) ও \(\boldsymbol{B}\)-এর অন্তঃগুণ (দ্বৈত সংকোচন) লেখা হয়

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

। ভেক্টর \(\boldsymbol{a}\) ও \(\boldsymbol{b}\)-এর অন্তঃগুণ হলো \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), আর টেনসর গুণফল হলো \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)।

Voigt নোটেশন

পীড়ন ও স্ট্রেন স্বাধীনতার মাত্রা-সম্পর্কিত 2য়-ক্রম সমমিত টেনসর এবং তাদের মধ্যকার রৈখিক সম্পর্কের সহগ 4র্থ-ক্রম টেনসর। এগুলো সরাসরি প্রোগ্রামে পরিচালনা করলে গণনার পরিমাণ ও কোডিংয়ের (বহুমাত্রিক অ্যারে, গভীর বহুস্তর লুপ) দিক থেকে অসুবিধা হয়। তাই সাধারণ সসীম উপাদান পদ্ধতির প্রোগ্রামে সমমিতি বিবেচনা করে পীড়ন ও স্ট্রেনকে কলাম ভেক্টর এবং 4র্থ-ক্রম স্থিতিস্থাপক টেনসরকে 2-মাত্রিক ম্যাট্রিক্স হিসেবে সংকুচিত করে ব্যবহার করা হয়। এটিকে Voigt নোটেশন বলা হয়।

পরবর্তীতে টেনসর রাশি \(\boldsymbol{A}\)-এর ম্যাট্রিক্স/ভেক্টর প্রকাশকে \(\hat{A}\) লেখা হবে, যাতে মূল টেনসর থেকে তা আলাদা করা যায়।

পীড়ন ও স্ট্রেনের ভেক্টর প্রকাশ

সমমিত পীড়ন টেনসর \(\boldsymbol{\sigma}\) এবং স্ট্রেন টেনসর \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-এর জন্য 2 মাত্রায়

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3 মাত্রায়

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

রূপে কলাম ভেক্টর হিসেবে ব্যবহার করা হয়। প্রকরণ বা অন্তরকের মতো উৎপন্ন রাশিতেও একই নিয়ম প্রয়োগ হয়। স্ট্রেনের শিয়ার উপাংশে সহগ 2 থাকে—এটি লক্ষ্য করুন (পীড়নের ক্ষেত্রে থাকে না)। এই অসমতার কারণে টেনসর অন্তঃগুণকে ভেক্টর অন্তঃগুণ হিসেবে

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

রূপে সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যায়। বাস্তবায়নে শিয়ার স্ট্রেন উপাংশের 2 গুণকটি ভুল হওয়ার সম্ভাবনা বেশি, তাই সবসময় “পীড়নে নেই/স্ট্রেনে আছে” নিয়মটি মনে রাখতে হবে। রেফারেন্স বিন্যাসের রাশি (2য় Piola-Kirchhoff পীড়ন \(\boldsymbol{S}\) এবং Green-Lagrange স্ট্রেন \(\boldsymbol{E}\))-এর ক্ষেত্রেও ঠিক একই Voigt নিয়ম প্রয়োগ হয়।

4র্থ-ক্রম টেনসরের ম্যাট্রিক্স প্রকাশ

পীড়ন ও স্ট্রেনের রৈখিক সম্পর্ক \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (উপাংশে \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\))-এ \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-এর সমমিতি ব্যবহার করলে

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

রূপে পুনর্লিখন করা যায়। 3 মাত্রায় \(\tilde{C}\)-কে 6×6 পদার্থ ম্যাট্রিক্স \(\hat{\tilde{C}}\) হিসেবে সাজালে মূল টেনসর সম্পর্কটি

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

রূপে লেখা যায়। পরবর্তীতে এই ম্যানুয়ালে বিশেষভাবে কিছু না বলা হলে পদার্থ ম্যাট্রিক্সকে \(D\) (অথবা \(\hat{C}\)) লেখা হবে। সমদিকীয় রৈখিক স্থিতিস্থাপকতার নির্দিষ্ট উপাংশের জন্য রৈখিক স্থিতিস্থাপকতা দেখুন।

অন্তরক অপারেটরের নিয়ম

সমমিত গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর

ভেক্টর ক্ষেত্র \(\boldsymbol{u}\)-এর জন্য সমমিত গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর \(\nabla_S\)-কে

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উপাংশে \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)। ক্ষুদ্র বিকৃতির স্ট্রেন \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) এই অপারেটর দিয়ে সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যায়। সসীম বিকৃতিতে কোন বিন্যাসে (রেফারেন্স/বর্তমান) গ্রেডিয়েন্ট নেওয়া হবে, তা গতি, বিকৃতি ও স্ট্রেন-এ আলোচনা করা হয়েছে।

বস্তুগত সময় অন্তরক

কোনো রাশি \(A\)-এর বস্তুগত সময় অন্তরক (একই বস্তুবিন্দুকে অনুসরণ করে সময় অন্তরক) উপরে ডট দিয়ে \(\dot{A}\) লেখা হয়:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

বেগ ও ত্বরণ এই নিয়ম অনুসরণ করে।

সংশ্লিষ্ট বিষয়