Newton-Raphson পদ্ধতি¶

রৈখিকীকরণ ও পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক¶

বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সংযোজন-এ প্রাপ্ত, সময় \(t_{n+1}\)-এ নোডীয় স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)-সম্পর্কিত অরৈখিক সমীকরণ Newton-Raphson পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়। সময় \(t_n\) পর্যন্ত নোডীয় স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}_n\) জানা ধরে স্থানচ্যুতি বৃদ্ধি \(\Delta\boldsymbol{u}\)-কে অজানা চলক হিসেবে নিয়ে

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

নির্ণয় করা হয়। এরপর বাহ্যিক বল ভেক্টরের নোডীয় স্থানচ্যুতি-নির্ভরতা উপেক্ষা করে \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) ধরা হয় এবং

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

সমাধান করা হয়।

বর্তমান সমাধান \(\Delta\boldsymbol{u}\)-এ স্পর্শক দৃঢ়তা

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ব্যবহার করে অরৈখিক সমীকরণকে রৈখিকীকরণ করলে

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

পাওয়া যায়। \(i\)-তম পুনরাবৃত্তির সংশোধনকে \(d\boldsymbol{u}_i\) এবং পুনরাবৃত্তি শুরুর অবশিষ্ট ভেক্টরকে

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

লিখলে পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

রূপ নেয়। অবশিষ্ট \(\boldsymbol{R}_i\) সাম্যাবস্থা থেকে বলের অসামঞ্জস্যের সমতুল্য রাশি।

স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সের গঠন¶

স্পর্শক দৃঢ়তা \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) গঠিত হয় অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ-এ প্রাপ্ত উপাদান অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টরকে নোডীয় স্থানচ্যুতির প্রতি আংশিক অন্তরক করে, প্রতিটি উপাদানের সমাকল্যকে উপাদান অঞ্চলে সমাকলন করে এবং সব উপাদানের অবদান একত্র করে। উপাদান স্তরের সমাকল্যকে \(\boldsymbol{K}^e_X\) (রেফারেন্স-বিন্যাস রূপ, TL পদ্ধতি) অথবা \(\boldsymbol{K}^e_x\) (বর্তমান-বিন্যাস রূপ, UL পদ্ধতি) লিখলে উপাদান স্পর্শক দৃঢ়তা

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

দিয়ে দেওয়া হয়। নিচে TL/UL সমাকল্যের চূড়ান্ত রূপ দেখানো হয়েছে। উভয় ক্ষেত্রেই এটি পদার্থগত দৃঢ়তা পদ (প্রাথমিক স্থানচ্যুতি পদ) এবং জ্যামিতিক দৃঢ়তা পদ (প্রাথমিক পীড়ন পদ)-এর যোগফল হিসেবে বিভক্ত হয়।

Total Lagrange পদ্ধতি¶

Total Lagrange পদ্ধতিতে দ্বিতীয় Piola-Kirchhoff পীড়ন হার \(\dot{\boldsymbol{S}}\) এবং Green-Lagrange স্ট্রেন হার \(\dot{\boldsymbol{E}}\)-এর রৈখিক সম্পর্ক \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) ধরা হয়। এটি রৈখিক স্থিতিস্থাপক বস্তু (St.Venant-Kirchhoff বস্তু) এবং অতিস্থাপক বস্তুর গঠনমূলক সম্পর্কের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ; FrontISTR-এ Total Lagrange পদ্ধতি এসব পদার্থের জন্য ব্যবহৃত হয়। তখন উপাদান স্পর্শক দৃঢ়তার সমাকল্য টেনসর রূপে

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

লেখা যায়। ডানপাশের প্রথম পদটি পদার্থগত দৃঢ়তা পদ (প্রাথমিক স্থানচ্যুতি পদ) এবং দ্বিতীয়টি জ্যামিতিক দৃঢ়তা পদ (প্রাথমিক পীড়ন পদ)।

FrontISTR-এর বাস্তবায়নে এই সমাকল্য Voigt নোটেশন ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স রূপে

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

গণনা করা হয়। এখানে \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) হলো অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ-এ প্রবর্তিত B ম্যাট্রিক্স; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) হলো গঠনমূলক সম্পর্ক \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)-এর Voigt নোটেশনের \(6\times 6\) পদার্থগত দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স (টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি)। \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) হলো জ্যামিতিক দৃঢ়তা পদকে ম্যাট্রিক্স গুণফল হিসেবে প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত পুনর্বিন্যাস ম্যাট্রিক্স। প্রথমে \(3\times 3\) দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর \(\boldsymbol{A}\)-কে 9-উপাংশের ভেক্টরে সাজানোর প্রতীক \([\,\cdot\,]\)-কে

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। \(\boldsymbol{F}_9\) বিকৃতি গ্রেডিয়েন্টের পরিবর্তনকে \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) রূপে প্রকাশ করে এবং এটি একটি \(9\times d n_e\) ম্যাট্রিক্স। উপাদান নোড \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-এর জন্য এর \(9\times d\) ব্লক

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ হলো } 3\times 3 \text{ একক ম্যাট্রিক্স}) \]

এবং এগুলোকে উপাদান নোডের ক্রমে পাশাপাশি সাজিয়ে \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) পাওয়া যায়। \(\boldsymbol{S}_9\) এর সঙ্গে মিলিয়ে জ্যামিতিক দৃঢ়তা পদ \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) রূপে লেখা যায়; এটি একটি \(9\times 9\) ম্যাট্রিক্স:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

হয়।

Updated Lagrange পদ্ধতি¶

Updated Lagrange পদ্ধতিতে আপেক্ষিক Kirchhoff পীড়ন টেনসরের Jaumann হার \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) এবং বিকৃতি-হার টেনসর \(\boldsymbol{D}\)-এর রৈখিক সম্পর্ক \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ধরা হয়। এটি রৈখিক স্থিতিস্থাপক, স্থিতিস্থাপক-প্লাস্টিক এবং ক্রিপ পদার্থে ব্যবহৃত হাইপোইলাস্টিক গঠনমূলক সম্পর্কের সাধারণ রূপ; FrontISTR-এ Updated Lagrange পদ্ধতি এসব পদার্থে ব্যবহৃত হয়। তখন বর্তমান বিন্যাসে উপাদান স্পর্শক দৃঢ়তার সমাকল্য টেনসর রূপে

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

লেখা যায় (এখানে \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) হলো Truesdell হার, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi স্ট্রেনের রৈখিক অংশ, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) বর্তমান বিন্যাসকে ভিত্তি করে স্থানচ্যুতি গ্রেডিয়েন্ট এবং \(\boldsymbol{L}\) বেগ গ্রেডিয়েন্ট টেনসর)। ডানপাশের প্রথম পদটি পদার্থগত দৃঢ়তা পদ, দ্বিতীয়টি জ্যামিতিক দৃঢ়তা পদ।

FrontISTR-এর বাস্তবায়নে এই সমাকল্য Voigt নোটেশন ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স রূপে

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

গণনা করা হয়। \(\boldsymbol{b}\) হলো বর্তমান বিন্যাসে গঠিত B ম্যাট্রিক্স (অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ)। \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) হলো TL পদ্ধতির \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\)-এ দ্বিতীয় PK পীড়ন \(\boldsymbol{S}\)-কে Cauchy পীড়ন \(\boldsymbol{\sigma}\) এবং রেফারেন্স-বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-কে বর্তমান-বিন্যাস গ্রেডিয়েন্ট \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) দিয়ে প্রতিস্থাপন করা রূপ।

\(\boldsymbol{G}\) হলো Cauchy পীড়ন-নির্ভর সংশোধন ম্যাট্রিক্স যা হাইপোইলাস্টিক গঠনমূলক সম্পর্ক \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)-কে Truesdell হারভিত্তিক গঠনমূলক সম্পর্ক হিসেবে স্পর্শক দৃঢ়তার কাঠামোর সঙ্গে সামঞ্জস্য করতে প্রয়োজন। চতুর্থ-ক্রমের টেনসর উপাংশ \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\)-কে \(6\times 6\) Voigt নোটেশনে সাজালে

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

পাওয়া যায়।

সামগ্রিক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সের সংযোজন¶

সামগ্রিক স্পর্শক দৃঢ়তা \(\boldsymbol{K}\) গঠনের জন্য উপাদান দৃঢ়তা \(\boldsymbol{K}^e\)-কে প্রতিটি নোডের \(d\times d\) ব্লক \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\)-এ ভাগ করা হয় এবং উপাদান নোডীয় ভৌত রাশির সংযোজন-এ প্রবর্তিত দ্বিতীয়-ক্রমের টেনসর সংস্করণের সংযোজন সেট \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ব্যবহার করে

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

কে \(i_g\)-তম সারি ও \(i_h\)-তম কলামে সাজানো ম্যাট্রিক্স হিসেবে পাওয়া যায়। বাস্তবায়নে \(\mathcal{E}^2\) সেটটি স্পষ্টভাবে তৈরি করা হয় না; উপাদান লুপের মধ্যেই সংশ্লিষ্ট ব্লকে সরাসরি যোগ করা হয়। এটি নোডপ্রতি স্বাধীনতার মাত্রা \(\times\) মোট নোডসংখ্যা \(n_g\) মাত্রার বর্গ ম্যাট্রিক্স, তবে উপাদানের মাধ্যমে সংযুক্ত নোডজোড়া ছাড়া অন্য উপাংশ \(0\) হওয়ায় এটি বিরল ম্যাট্রিক্স আকারে সংরক্ষিত হয়।

TL ও UL পদ্ধতির উপাদান দৃঢ়তা রেফারেন্স বিন্যাস পরিবর্তন (নোডীয় স্থানাঙ্ক ও B ম্যাট্রিক্সের উৎস) এবং \(\boldsymbol{G}\) ম্যাট্রিক্সের উপস্থিতি ছাড়া একই রূপের। তাই FrontISTR-এ উভয়টি একই সাবরুটিনে বাস্তবায়ন করা যায়।

পুনরাবৃত্তির অ্যালগরিদম¶

উপরের বিষয়গুলো একত্র করলে, পুনরাবৃত্তির শুরুতে \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ধরে প্রাথমিক অবশিষ্ট \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) নির্ণয়ের পর \(i\)-তম পুনরাবৃত্তিতে নিচের ধাপগুলো সম্পন্ন হয়।

বর্তমান স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\)-এ স্পর্শক দৃঢ়তা \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্সের গঠন-এর পদ্ধতিতে গণনা করা হয়।
জ্যামিতিক সীমানা শর্ত প্রতিফলিত করতে স্থানচ্যুতি-বাধাপ্রাপ্ত স্বাধীনতার মাত্রার জন্য স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স ও অবশিষ্ট ভেক্টর পরিবর্তন করে \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) পাওয়া হয় (জ্যামিতিক সীমানা শর্তের প্রক্রিয়াকরণ)।
রৈখিক সমীকরণ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) সমাধান করে সংশোধন \(d\boldsymbol{u}_i\) নির্ণয় করা হয়। পুনরাবৃত্তি গণনার মোট ব্যয়ের বড় অংশ প্রায়ই এই ধাপে লাগে।
স্থানচ্যুতি বৃদ্ধি \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) হিসেবে হালনাগাদ করা হয় এবং সে অনুযায়ী অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ও অবশিষ্ট \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) গণনা করা হয়।
অভিসৃতি নির্ণয় করা হয় এবং শর্ত পূরণ হলে পুনরাবৃত্তি শেষ হয়। অবশিষ্ট \(\boldsymbol{R}_i\)-এর জ্যামিতিক সীমানা শর্ত আরোপিত স্বাধীনতার মাত্রাগুলোতে বাধা প্রতিক্রিয়া বলের সমতুল্য উপাংশ দেখা দেয়; তাই এগুলো বাদ দেওয়া \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) থেকে নির্ণায়ক সূচক গঠন করা হয়। নির্দিষ্ট সূচক ও সীমামান অভিসৃতি নির্ণয়-এ আলোচনা করা হয়েছে। অভিসৃতি না হয়ে পুনরাবৃত্তির ঊর্ধ্বসীমায় পৌঁছালে পুনরাবৃত্তি ব্যর্থ ধরা হয়।

পুনরাবৃত্তি অভিসারী হলে সেই সময়ের \(\Delta\boldsymbol{u}\)-কে \(\boldsymbol{u}_n\)-এর সঙ্গে যোগ করে সময় \(t_{n+1}\)-এর সঞ্চিত স্থানচ্যুতি \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) নির্ধারণ করা হয় এবং পরবর্তী সময় ধাপে যাওয়া হয়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়¶

বাহ্যিক বলের ভার্চুয়াল কাজ ও সামগ্রিক সমীকরণের সংযোজন — সমাধানযোগ্য অরৈখিক সমীকরণের সূচনা
অভ্যন্তরীণ বলের ভার্চুয়াল কাজের বিচ্ছিন্নীকরণ — \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{b}\)-এর গঠন
জ্যামিতিক সীমানা শর্তের প্রক্রিয়াকরণ — স্থানচ্যুতি বাধা প্রতিফলিত স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স ও অবশিষ্ট ভেক্টরের রূপান্তর
অভিসৃতি নির্ণয় — অবশিষ্ট নর্মভিত্তিক থামার শর্ত
টেনসর নোটেশন ও গাণিতিক ভিত্তি — পদার্থগত ম্যাট্রিক্স \(\tilde{\boldsymbol{C}}\)-এর Voigt নোটেশন
অরৈখিক পুনরাবৃত্তি ও সময় সমাকলন (ফাংশন) — ফাংশন রেফারেন্সে ব্যবহারভেদের ব্যাখ্যা