কনটেন্টে যান

গতিশীল বিশ্লেষণ পদ্ধতি

এই অংশে সরাসরি সময় সমাকলন পদ্ধতি প্রয়োগ করে গতিশীল সমস্যা বিশ্লেষণের পদ্ধতি দেখানো হয়েছে। নিচে অন্তর্নিহিত ও সুস্পষ্ট পদ্ধতির সূত্রায়ন দেওয়া হলো।

গতিসমীকরণের বিচ্ছিন্নীকরণ (অভিন্ন কাঠামো)

পরে নির্ধারিত হবে (পরবর্তী পর্যায়ে মূল পাঠ লেখা হবে)।

অন্তর্নিহিত পদ্ধতি (Newmark-β পদ্ধতি)

গতিশীল সমস্যার জন্য নিচে দেখানো গতিসমীকরণ সমাধানে সরাসরি সময় সমাকলন পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়।

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

এখানে \(M\) হলো ভর ম্যাট্রিক্স, \(C\) অবমন্দন ম্যাট্রিক্স, \(Q\) অভ্যন্তরীণ বল ভেক্টর এবং \(F\) বাহ্যিক বল ভেক্টর। উল্লেখ্য, অরৈখিক বিশ্লেষণেও ভর ম্যাট্রিক্সকে বিকৃতি-স্বাধীন ধ্রুবক ধরা হয়।

সময় বৃদ্ধি \(\Delta t\)-এর মধ্যে স্থানচ্যুতি, বেগ ও ত্বরণের পরিবর্তন Newmark-\(\beta\) পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.2}\) এবং \(\eqref{eq:2.5.3}\)-এর মতো আনুমানিক করা হয়।

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

এখানে \(\gamma\) এবং \(\beta\) হলো Newmark-\(\beta\) পদ্ধতির প্যারামিটার।

সুপরিচিতভাবে, \(\gamma\) ও \(\beta\)-এর নিচের মানগুলো নিলে পদ্ধতিটি যথাক্রমে রৈখিক ত্বরণ পদ্ধতি অথবা ট্রাপিজয়ডাল নিয়মের সমতুল্য হয়।

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (রৈখিক ত্বরণ পদ্ধতি)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ট্রাপিজয়ডাল নিয়ম)

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.2}\) এবং \(\eqref{eq:2.5.3}\) সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.1}\)-এ বসালে নিচের সমীকরণ পাওয়া যায়।

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

বিশেষত রৈখিক সমস্যায় \(K_L\)-কে রৈখিক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স ধরে \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) হয়। এটি উপরের সমীকরণে বসালে নিচের সমীকরণ পাওয়া যায়।

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

জ্যামিতিক সীমানা শর্ত হিসেবে যেখানে ত্বরণ নির্দিষ্ট করা আছে, সেখানে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.2}\) থেকে নিচের স্থানচ্যুতি পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

একইভাবে, যেখানে বেগ নির্দিষ্ট করা আছে, সেখানে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.6}\) থেকে নিচের স্থানচ্যুতি পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

এখানে \(u_{is}(t+\Delta{t})\) হলো সময় \(t+\Delta{t}\)-এ নোডীয় স্থানচ্যুতি, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) হলো সময় \(t+\Delta{t}\)-এর নোডীয় বেগ, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) হলো সময় \(t+\Delta{t}\)-এর নোডীয় ত্বরণ, \(i\) হলো নোডের স্বাধীনতার মাত্রার নম্বর এবং \(s\) হলো নোড নম্বর। এছাড়া ভর পদ এবং অবমন্দন পদ নিচের মতো বিবেচনা করা হয়।

ভর পদের বিবেচনা

নীতিগতভাবে ভর ম্যাট্রিক্সকে লাম্পড ভর ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

অবমন্দন পদের বিবেচনা

অবমন্দন পদকে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.8}\)-এ প্রকাশিত Rayleigh অবমন্দন হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

এখানে \(R_m\) এবং \(R_k\) হলো Rayleigh অবমন্দনের প্যারামিটার।

!DYNAMIC কার্ডে নির্দিষ্ট \(R_m\) ও \(R_k\) পুরো মডেলে সমভাবে প্রয়োগ হয়। প্রতিটি পদার্থের জন্য আলাদা \(R_m\), \(R_k\) দিতে চাইলে সংশ্লিষ্ট পদার্থের !MATERIAL ব্লকের মধ্যে !DAMPING কার্ড নির্দিষ্ট করতে হবে। !DAMPING নির্দিষ্ট পদার্থের অন্তর্গত উপাদানগুলো তাদের নিজস্ব ভর ম্যাট্রিক্স \(M_i\) এবং ট্যানজেন্ট দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স \(K_i\) থেকে \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) হিসেবে উপাদান অবমন্দন ম্যাট্রিক্স গণনা করে এবং সেটি সামগ্রিক অবমন্দন ম্যাট্রিক্সে সংযোজিত হয়। এই বৈশিষ্ট্য কেবল অন্তর্নিহিত পদ্ধতিতে কার্যকর।

সুস্পষ্ট পদ্ধতি (কেন্দ্রীয় পার্থক্য পদ্ধতি)

সুস্পষ্ট পদ্ধতিতে নিচে দেখানো সময় t-এর গতিসমীকরণকে ভিত্তি ধরা হয়।

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

এখানে সময় \(t + \Delta t\) এবং \(t - \Delta t\)-এর স্থানচ্যুতি সময় \(t\)-এর Taylor সম্প্রসারণে প্রকাশ করে \(\Delta t\)-এর দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত নিলে নিচের রূপ পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.3}\) ও \(\eqref{eq:2.5.4}\)-এর বিয়োগফল এবং যোগফল থেকে নিচের সমীকরণগুলো পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.12}\) ও \(\eqref{eq:2.5.13}\) সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.9}\)-এ বসালে নিচের সমীকরণ পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

বিশেষত রৈখিক সমস্যায় \(Q(t) = K_L U(t)\) হওয়ায় উপরের সমীকরণটি নিচের মতো হয়।

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

এখানে ভর ম্যাট্রিক্স \(M\)-কে লাম্পড ভর ম্যাট্রিক্স এবং অবমন্দন ম্যাট্রিক্সকে সমানুপাতিক অবমন্দন ম্যাট্রিক্স \(C = R_m M\) হিসেবে নিলে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.15}\) সমাধানে যুগপৎ সমীকরণ সমাধানের প্রয়োজন হয় না।

অতএব সমীকরণ \(\eqref{eq:2.5.15}\) থেকে \(U(t+\Delta t)\) নিচের সমীকরণে নির্ণয় করা যায়।

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

সংশ্লিষ্ট বিষয়