মোডাল বিশ্লেষণ¶

সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যা¶

ধারাবাহিক মাধ্যমের মুক্ত কম্পন বিশ্লেষণে স্থানিক বিচ্ছিন্নীকরণ করে মাধ্যমটিকে চিত্র 2.3.1-এ দেখানো কেন্দ্রীভূত ভরবিশিষ্ট বহু-স্বাধীনতা-মাত্রার ব্যবস্থা হিসেবে মডেল করা হয়। ড্যাম্পিংবিহীন মুক্ত কম্পন সমস্যায় নিয়ামক সমীকরণ (গতির সমীকরণ) নিচের মতো।

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

এখানে $u$ সাধারণীকৃত স্থানচ্যুতি ভেক্টর, $M$ ভর ম্যাট্রিক্স এবং $K$ দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স। স্বাভাবিক কৌণিক কম্পাঙ্ককে $\omega$, একই সঙ্গে শূন্য নয় এমন ইচ্ছামতো ধ্রুবক দুটিকে $a$ ও $b$, এবং $x$-কে একটি ভেক্টর ধরে নিচের ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করি।

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

এই ফাংশনের দ্বিতীয় অন্তরক হলো

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.2}$ ও $\eqref{eq:2.3.3}$-কে সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.1}$-এ প্রতিস্থাপন করলে

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

পাওয়া যায়।

অতুচ্ছ কম্পনের ক্ষেত্রে $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ অভেদভাবে শূন্য নয়; অতএব

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

পাওয়া যায়। সুতরাং $\lambda=\omega^2$ ধরলে

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

পাওয়া যায়।

সহগ $\lambda$-কে আইগেনভ্যালু এবং ভেক্টর $x$-কে আইগেনভেক্টর বলা হয়; সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.5}$ দ্বারা প্রকাশিত সমস্যাকে সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যা বলা হয়।

আইগেনভ্যালু $\lambda=\omega^2$ থেকে স্বাভাবিক কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega$ পাওয়া যায়, এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর $x$ কম্পন মোড নির্দেশ করে।

ড্যাম্পিংবিহীন মুক্ত কম্পনের বহু-স্বাধীনতা-মাত্রার ব্যবস্থার উদাহরণ

চিত্র 2.3.1　ড্যাম্পিংবিহীন মুক্ত কম্পনের বহু-স্বাধীনতা-মাত্রার ব্যবস্থার উদাহরণ

ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য ও অনুমান¶

পূর্ববর্তী অংশে পাওয়া সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যা $Kx=\lambda Mx$-এর জন্য এই ম্যানুয়ালে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রতিসাম্য অনুমান করা হয়। জটিল ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য।

ম্যাট্রিক্স $K$-এর $ij$ উপাংশকে $k_{ij}$ লিখলে হার্মিশিয়ান ধর্মটি নিচের মতো প্রকাশিত হয়।

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

এখানে $\bar{k}_{ji}$ হলো $k_{ji}$-এর জটিল অনুবন্ধী। বাস্তব ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এই সম্পর্কটি $k_{ij}=k_{ji}$ হয়।

এছাড়া, একটি বাস্তব প্রতিসম ম্যাট্রিক্স $H$-কে ধনাত্মক-নির্দিষ্ট বলা হয়, যদি প্রত্যেক অশূন্য ভেক্টর $x$-এর জন্য

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

সম্পর্কটি সত্য হয়। এ ক্ষেত্রে $H$-এর সব আইগেনভ্যালু ধনাত্মক।

কাঠামোগত আইগেনভ্যালু সমস্যায় ভর ম্যাট্রিক্স $M$-কে সাধারণত ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ধরা হয়। অন্যদিকে, সীমাবদ্ধতার শর্ত অনুযায়ী দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স $K$ ধনাত্মক-অর্ধনির্দিষ্ট হতে পারে এবং দৃঢ়-পিণ্ড মোডের সঙ্গে সম্পর্কিত শূন্য আইগেনভ্যালু থাকতে পারে।

শিফটযুক্ত বিপরীত পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি¶

সসীম উপাদান পদ্ধতিতে কাঠামোগত বিশ্লেষণের বাস্তব প্রয়োজনে সাধারণত সব আইগেনভ্যালু দরকার হয় না; কয়েকটি নিম্ন-ক্রমের আইগেনভ্যালুই যথেষ্ট হয়। HEC-MW বৃহৎ সমস্যা পরিচালনার জন্য নির্মিত, তাই ম্যাট্রিক্সের আকার বড় এবং অত্যন্ত বিরল, অর্থাৎ শূন্য উপাংশ অনেক। তাই এই বৈশিষ্ট্যগুলো বিবেচনায় রেখে নিম্ন-ক্রমের মোডের আইগেনভ্যালু দক্ষতার সঙ্গে নির্ণয় করা গুরুত্বপূর্ণ।

শিফটের পরিমাণকে $\sigma$ ধরলে, $-\sigma$ কোনো আইগেনভ্যালুর সমান না হলে এবং $K+\sigma M$ অব্যতিক্রমী হলে, সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.5}$-কে নিচের মতো রূপান্তর করা যায়।

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

এই রূপান্তরে আইগেনভেক্টর $x$ অপরিবর্তিত থাকে এবং আইগেনভ্যালু $\lambda$, $1/(\lambda+\sigma)$-তে প্রতিচিত্রিত হয়।

ফলে $\lambda$, $-\sigma$-এর যত কাছে হবে, রূপান্তরিত আইগেনভ্যালুর পরম মান তত বড় হবে। কাঠামোগত আইগেনভ্যালু সমস্যায় $\lambda \geq 0$ এবং $\sigma \geq 0$; তাই সর্বনিম্ন-ক্রমের আইগেনভ্যালুটি সর্বাধিক পরম মানের আইগেনভ্যালুতে প্রতিচিত্রিত হয়। এই ধর্ম ব্যবহার করে সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.8}$-এ এমন একটি পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি প্রয়োগ করলে, যা বড় পরম মানের আইগেনভ্যালুতে আগে অভিসৃত হয়, নিম্ন-ক্রমের আইগেনভ্যালুগুলো ক্রমানুসারে দক্ষতার সঙ্গে পাওয়া যায়।

এই পদ্ধতিকে শিফটযুক্ত বিপরীত পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি বলা হয়।

FrontISTR-এ সীমাবদ্ধতাযুক্ত বিশ্লেষণের জন্য $\sigma = 0$ রাখা হয়; ফলে সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.8}$, $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, অর্থাৎ শিফটবিহীন বিপরীত পুনরাবৃত্তিতে পরিণত হয়। সীমাবদ্ধতাবিহীন মুক্ত-মুক্ত বিশ্লেষণে দৃঢ়-পিণ্ড মোডের সঙ্গে সম্পর্কিত শূন্য আইগেনভ্যালুর কারণে $K$ ব্যতিক্রমী হয়; $\sigma$-কে ধনাত্মক মান দিলে $K+\sigma M$ অব্যতিক্রমী হয়। এই $\sigma$ !EIGEN-এর SIGMA দিয়ে নির্দিষ্ট করা হয়।

Lanczos পদ্ধতি¶

গ্রহণের কারণ (Jacobi পদ্ধতির সঙ্গে তুলনা)¶

ধ্রুপদি পদ্ধতিগুলোর মধ্যে Jacobi পদ্ধতি সুপরিচিত।

ম্যাট্রিক্সের আকার ছোট এবং ঘন হলে এই পদ্ধতি কার্যকর। কিন্তু HEC-MW-এ ব্যবহৃত ম্যাট্রিক্স বৃহৎ ও বিরল হওয়ায় Jacobi পদ্ধতি গ্রহণ করা হয়নি; তার বদলে পুনরাবৃত্ত Lanczos পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

অ্যালগরিদম ও বৈশিষ্ট্য¶

1950-এর দশকে C. Lanczos প্রস্তাবিত এই পদ্ধতি ম্যাট্রিক্সকে ত্রিব্যান্ড-তির্যক রূপে রূপান্তর করার একটি অ্যালগরিদম এবং এর নিচের বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

এটি পুনরাবৃত্ত অভিসৃতি পদ্ধতি; ম্যাট্রিক্সকে বিরল অবস্থাতেই গণনা চালানো যায়।
অ্যালগরিদমটি প্রধানত ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণনের উপর নির্ভর করে এবং সমান্তরালীকরণের জন্য উপযোগী।
এটি সসীম উপাদান মেশের সঙ্গে সম্পর্কিত জ্যামিতিক ডোমেইন বিভাজনের জন্য উপযোগী।
প্রয়োজনীয় আইগেনভ্যালুর সংখ্যা বা মোডের পরিসর সীমিত করে দক্ষ গণনা করা যায়।

Lanczos পদ্ধতি একটি প্রাথমিক ভেক্টর থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে লম্ব ভেক্টর তৈরি করে এবং Krylov উপস্থানের একটি ভিত্তি নির্ণয় করে।

সসীম নির্ভুলতার গণনায় রাউন্ডিং ত্রুটির প্রভাবে ভেক্টরগুলোর লম্বত্ব নষ্ট হতে পারে। এই প্রভাব দমন করতে FrontISTR-এর বাস্তবায়নে আগে পাওয়া Lanczos ভিত্তির সাপেক্ষে পুনঃলম্বীকরণ করা হয়।

জ্যামিতিক অর্থ (Krylov উপস্থান)¶

সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.8}$-এ নিচের চলক রূপান্তর করলে

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

সমস্যাটি পুনর্লিখলে

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

পাওয়া যায়।

ইচ্ছামতো একটি অশূন্য ভেক্টর $q_0$-এর জন্য

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

উপরের ভেক্টরগুলো যে স্থানটি প্রসারিত করে, অর্থাৎ

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

তাকে Krylov উপস্থান বলা হয়।

Lanczos পদ্ধতিতে এই Krylov উপস্থানের ভিত্তি ক্রমান্বয়ে নির্মাণ করা হয়।

FrontISTR ভর ম্যাট্রিক্স $M$-সংক্রান্ত নিচের অন্তর্গুণন

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

ব্যবহার করে ভিত্তিকে লম্ব-স্বাভাবিকীকরণ করে। নিচের চিত্রগুলোতে দেখানো অন্তর্গুণন $\langle x,y\rangle$ এবং নর্ম $\|x\|$-কে FrontISTR-এর গণনায় যথাক্রমে এই $M$-অন্তর্গুণন এবং সংশ্লিষ্ট $M$-নর্ম

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়।

ইচ্ছামতো একটি ভেক্টর $q_0$-এর উপর ম্যাট্রিক্স $A$ দ্বারা নির্ধারিত রৈখিক রূপান্তর প্রয়োগ করা হয় (চিত্র 2.3.2)।

$ম্যাট্রিক্স $A$ দ্বারা $q_0$-এর রৈখিক রূপান্তর$

চিত্র 2.3.2　ম্যাট্রিক্স $A$ দ্বারা $q_0$-এর রৈখিক রূপান্তর

রূপান্তরিত ভেক্টরটিকে মূল ভেক্টরের সঙ্গে গঠিত স্থানে লম্বীকরণ করা হয়। অর্থাৎ, চিত্র 2.3.3-এর মতো Gram-Schmidt লম্বীকরণ করা হয়। এভাবে পাওয়া ভেক্টরকে $r_1$ ধরে স্বাভাবিকীকরণ করলে $q_1$ পাওয়া যায়।

$q_0\)-এর লম্ব ভেক্টর \(q_1$

চিত্র 2.3.3　$q_0$-এর লম্ব ভেক্টর $q_1$

একই পদ্ধতিতে $q_1$ থেকে $q_2$ পাওয়া যায়। এ সময় $q_2$, $q_1$ এবং $q_0$ উভয়েরই লম্ব (চিত্র 2.3.4)।

$q_1\) ও $q_0$-এর লম্ব ভেক্টর \(q_2$

চিত্র 2.3.4　$q_1$ ও $q_0$-এর লম্ব ভেক্টর $q_2$

এভাবে Lanczos পদ্ধতিতে Krylov উপস্থানের লম্ব-স্বাভাবিক ভিত্তি ক্রমান্বয়ে নির্মিত হয়। তাত্ত্বিকভাবে সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু সমস্যার প্রতিসাম্য ব্যবহার করে এই পুনরাবৃত্তিকে সাম্প্রতিক ভিত্তি ভেক্টরগুলো ব্যবহারকারী তিন-পদী পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

অন্যদিকে, সসীম নির্ভুলতার গণনায় লম্বত্বের ক্ষয় দমন করতে FrontISTR-এর বাস্তবায়নে আগে পাওয়া Lanczos ভিত্তির সাপেক্ষে $M$-অন্তর্গুণন ব্যবহার করে পুনঃলম্বীকরণ করা হয়।

ত্রিব্যান্ড-তির্যকীকরণ¶

FrontISTR-এর Lanczos পুনরাবৃত্তিতে আগের অংশে বর্ণিত $M$-অন্তর্গুণনের সাপেক্ষে ভিত্তি ভেক্টরগুলোকে লম্ব-স্বাভাবিকীকরণ করা হয়; তাই

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

সম্পর্কটি সত্য হয়।

সমীকরণ $\eqref{eq:2.3.10}$-এর ম্যাট্রিক্স $A$ ব্যবহার করলে তাত্ত্বিক Lanczos পুনরাবৃত্তি

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

উপরের তিন-পদী পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক দিয়ে প্রকাশ করা যায়।

প্রথমে $\alpha_i$-কে নিচের মতো সংজ্ঞায়িত করি।

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

তারপর সাময়িক অবশিষ্টকে

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

হিসেবে ধরি।

সসীম নির্ভুলতার গণনায় লম্বত্বের ক্ষয় দমন করতে FrontISTR-এর বাস্তবায়নে $\tilde{r}_{i+1}$-কে আগে পাওয়া Lanczos ভিত্তির সাপেক্ষে $M$-অন্তর্গুণন ব্যবহার করে পুনঃলম্বীকরণ করা হয়। পুনঃলম্বীকরণের পরের অবশিষ্টকে $r_{i+1}$ ধরলে

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

সম্পর্কগুলো পাওয়া যায়।

Lanczos পুনরাবৃত্তিতে পাওয়া $m$টি ভিত্তি ভেক্টরকে

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

হিসেবে একত্র করলে, সসীমসংখ্যক Lanczos পুনরাবৃত্তির পরে

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

সম্পর্কটি সত্য হয়।

এখানে $e_m$ হলো $m$-মাত্রিক একক ভেক্টর, যার শুধু $m$-তম উপাংশ 1 এবং অন্য সব উপাংশ শূন্য; আর

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

একটি প্রতিসম ত্রিব্যান্ড-তির্যক ম্যাট্রিক্স।

অতএব, ত্রিব্যান্ড-তির্যক ম্যাট্রিক্স $T_m$-এর আইগেনভ্যালু গণনা করে মূল বৃহৎ আইগেনভ্যালু সমস্যার আইগেনভ্যালুগুলোর আসন্ন মান পাওয়া যায়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়¶

কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণ — মোডাল বিশ্লেষণের ফলাফল ব্যবহার করে কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া
বিশ্লেষণের ধরন — মোডাল বিশ্লেষণের কার্যাবলির সারসংক্ষেপ