কনটেন্টে যান

কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণ

সমস্যা নির্ধারণ

কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণে বাহ্যিক বল সময়ের সঙ্গে হারমোনিকভাবে পরিবর্তিত হলে স্থির অবস্থায় সিস্টেমের প্রতিক্রিয়ার বিস্তার ও পর্যায় কম্পাঙ্ক ক্ষেত্রে মূল্যায়ন করা হয়। অবদমনহীন ও অবদমনযুক্ত ক্ষেত্রে গতি সমীকরণের কাঠামো ভিন্ন। তাই প্রথমে অবদমনহীন মুক্ত কম্পন থেকে স্বাভাবিক মোড নির্ণয় করা হয় এবং পরে সেই মোডগুলোকে ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করে অবদমনযুক্ত হারমোনিক প্রতিক্রিয়া বিস্তৃত করা হয়।

অবদমনহীন মুক্ত কম্পন ও স্বাভাবিক মোড

অবদমন উপেক্ষা করলে গতি সমীকরণ

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

হয়। একে প্রতিটি স্বাভাবিক মোডে বিস্তৃত করলে

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

পাওয়া যায়। এটি সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.1}\)-এ বসালে

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

পাওয়া যায়। এই সাধারণীকৃত আইগেনভ্যালু সমস্যার সংখ্যাত্মক সমাধানপদ্ধতি—শিফটসহ বিপরীত পুনরাবৃত্তি ও Lanczos পদ্ধতি—মোডাল বিশ্লেষণ-এ আলোচনা করা হয়েছে। এখানে পরবর্তী হারমোনিক প্রতিক্রিয়া বিস্তারে ব্যবহৃত স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক ও স্বাভাবিক মোডের ধর্মগুলো সংক্ষেপে দেখানো হয়।

স্বাভাবিক কম্পাঙ্কের বাস্তবতা

স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক বাস্তব সংখ্যা হয় তা নিচে দেখানো যায়। \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ধরে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.3}\)-এর জটিল সহযুগ্ম নিলে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.4}\) পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

এগুলোকে \(\overline{U}_J^T\) দিয়ে গুণ করলে

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

পাওয়া যায়। সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.5}\) থেকে

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

হয়। ভর ম্যাট্রিক্স ধনাত্মক-নির্দিষ্ট সমমিত হওয়ায় শূন্য নয় এমন আইগেনভেক্টরের জন্য

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

সত্য। অতএব

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

এবং \(\omega_j^2 = \lambda_j\) বাস্তব সংখ্যা।

স্বাভাবিক মোডের লম্বতা ও স্বাভাবিকীকরণ

দুটি ভিন্ন মোড বিবেচনা করি।

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

এগুলো থেকে

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

পাওয়া যায়। আইগেনভ্যালু দুটি ভিন্ন হলে

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

হয়। অর্থাৎ ভিন্ন স্বাভাবিক মোডগুলো ভর ম্যাট্রিক্সের সাপেক্ষে লম্ব। একই মোডকে ভর ম্যাট্রিক্সের সাপেক্ষে স্বাভাবিকীকরণ করলে (সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.12}\)) পরবর্তী গণনা সহজ হয়।

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

অবদমনযুক্ত হারমোনিক প্রতিক্রিয়া

এখন অবদমন বিবেচনায় কম্পাঙ্ক প্রতিক্রিয়া বিশ্লেষণের প্রণয়ন দেখানো হলো। লক্ষ্য গতি সমীকরণটি সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.13}\)-এ দেখানো হলো।

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

এখানে অবদমন পদকে Rayleigh ধরনের ধরে \(\eqref{eq:2.6.14}\)-এর মতো প্রকাশ করা যায়।

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

মোডাল বিশ্লেষণে প্রাপ্ত আইগেনভেক্টর দিয়ে সময় t-এ স্থানচ্যুতি ভেক্টরকে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.15}\)-এর মতো বিস্তৃত করা যায়।

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

রূপে বিস্তৃত করা যায়। বাহ্যিক বল যদি হারমোনিক দোলকের

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

রূপে হয়, তবে \(b_{j}(t)\) নির্ধারণ করা যায়। গতি সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.13}\) জোরপূর্বক কম্পনের রূপ নেয়, তাই

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

সত্য। \(b_{j}(t)\)-এর বিস্তার সহগের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নির্ণয় করলে যথাক্রমে সমীকরণ \(\eqref{eq:2.6.18}i\) এবং \(\eqref{eq:2.6.19}\)-এর রূপ পাওয়া যায়।

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

হয়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়