ট্রান্সিয়েন্ট তাপ পরিবহন বিশ্লেষণ
সসীম উপাদান পদ্ধতি (Finite Element Method) ব্যবহার করে কঠিন বস্তুর তাপ পরিবহন বিশ্লেষণের সময়-বিচ্ছিন্নীকরণ ও পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানপদ্ধতি এখানে দেখানো হয়েছে। ধারাবাহিক মাধ্যমের শাসক সমীকরণ ও সীমানা শর্তের জন্য তাপ পরিবহন সমীকরণ দেখুন।
বিচ্ছিন্নীকৃত সমীকরণ (সূচনা বিন্দু)
তাপ পরিবহন সমীকরণ (তাপ পরিবহন সমীকরণের (gov_he_main) সমীকরণ)-কে Galerkin পদ্ধতিতে বিচ্ছিন্নীকরণ করলে
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
যেখানে
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
এখানে \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) যথাক্রমে তাপ পরিবহন ম্যাট্রিক্স (সীমানাজনিত সংবহন ও বিকিরণ পদসহ), ভর ম্যাট্রিক্স, তাপ-লোড ভেক্টর এবং আকৃতি-ফাংশন ম্যাট্রিক্স। পদার্থগত ধর্মের প্রতীকগুলোর (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) ইত্যাদি) সংজ্ঞা তাপ পরিবহন সমীকরণ-এর অনুসারী।
সময়-বিচ্ছিন্নীকরণ ও পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধান
সমীকরণ \(\eqref{eq:2.4.8}\) অরৈখিক ও ট্রান্সিয়েন্ট। সময়ের ক্ষেত্রে পশ্চাৎ Euler পদ্ধতিতে বিচ্ছিন্নীকরণ করে, সময় \(t=t_0\)-এ তাপমাত্রা জানা থাকলে সময় \(t=t_0+\Delta t\)-এর তাপমাত্রা নিচের সমীকরণ দিয়ে গণনা করা হয়।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
এখন সমীকরণ \(\eqref{eq:2.4.13}\)-কে আসন্নভাবে পূরণকারী তাপমাত্রা ভেক্টর \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\)-কে উন্নত করে আরও নির্ভুল সমাধান \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) নির্ণয় করা হবে।
প্রথমে তাপমাত্রা ভেক্টরকে
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
রূপে লেখা হয়। তাপ পরিবহন ম্যাট্রিক্স ও তাপমাত্রা ভেক্টরের গুণফল এবং ভর ম্যাট্রিক্সকে নিচের মতো আসন্নভাবে প্রকাশ করা হয়।
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
সমীকরণ \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\)-কে \(\eqref{eq:2.4.13}\)-এ বসিয়ে দ্বিতীয় ও উচ্চতর ক্রমের পদ বাদ দিলে
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
এরপর বামপাশের সহগ ম্যাট্রিক্সকে নিচের সমীকরণ দিয়ে আসন্নভাবে মূল্যায়ন করা হয়।
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
এখানে \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) স্পর্শক দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স।
অতএব নিচের সমীকরণ দিয়ে পুনরাবৃত্তি চালিয়ে সময় \(t=t_0+\Delta t\)-এর তাপমাত্রা গণনা করা যায়।
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
বিশেষত স্থির বিশ্লেষণে নিচের সমীকরণ দিয়ে পুনরাবৃত্তি চালানো হয়।
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
ট্রান্সিয়েন্ট বিশ্লেষণে সময় বৃদ্ধি\(\Delta t\) নির্বাচনের ক্ষেত্রে সময়-বিচ্ছিন্নীকরণে অন্তর্নিহিত পদ্ধতি ব্যবহৃত হওয়ায় সাধারণভাবে এর আকারের উপর কঠোর সীমা থাকে না। তবে সময় বৃদ্ধি\(\Delta t\) অতিরিক্ত বড় হলে পুনরাবৃত্তির অভিসৃত হতে বেশি ধাপ লাগে। সাধারণভাবে, সময় বৃদ্ধি\(\Delta t\) অতিরিক্ত বড় হলে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা বাড়ে। বাস্তবায়নে অবশিষ্ট ভেক্টরের মান পর্যবেক্ষণ করা হয়; অভিসৃতি ধীর হলে \(\Delta t\) কমানো এবং পুনরাবৃত্তির সংখ্যা কম হলে \(\Delta t\) বাড়ানোর স্বয়ংক্রিয় বৃদ্ধি নিয়ন্ত্রণ ব্যবহার করা হয় (→ বিস্তারিত ধাপ নিয়ন্ত্রণ দেখুন)।
সংশ্লিষ্ট বিষয়