কনটেন্টে যান

জ্যামিতিক সীমানা শর্তের প্রক্রিয়াকরণ

Newton-Raphson পদ্ধতি-তে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে সমাধান করা রৈখিক সমীকরণ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)-এ জ্যামিতিক সীমানা শর্ত (স্থানচ্যুতি বাধা) এখনো অন্তর্ভুক্ত থাকে না। এই অধ্যায়ে দেখানো হয়েছে, স্থানচ্যুতি বাধা \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) দেওয়া স্বাধীনতার মাত্রাগুলোর জন্য দৃঢ়তা ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{K}\) এবং অবশিষ্ট ভেক্টর \(\boldsymbol{R}\) কীভাবে পরিবর্তন করলে পুনরাবৃত্তির পর স্থানচ্যুতি নির্ধারিত বাধামানে পৌঁছায়। বহুবিন্দু বাধা (MPC) এবং সংস্পর্শজনিত অরৈখিক বাধা আলাদা প্রক্রিয়ায় ব্যবস্থাপিত হয়; সেগুলোর জন্য বহুবিন্দু বাধা এবং সংস্পর্শ দেখুন।

স্থানচ্যুতি বাধাকেও অজানা চলক হিসেবে রেখে দেওয়ার নীতি

জ্যামিতিক সীমানা শর্ত আরোপিত নোডের স্থানচ্যুতি আর প্রকৃত অজানা নয়; তা নির্ধারিত মান \(\bar{u}_i\)-এ স্থির থাকে। এগুলো ধ্রুবক ধরে রৈখিক সমীকরণ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) থেকে অপসারণ করা সম্ভব। কিন্তু FrontISTR-এ বাধাপ্রাপ্ত স্বাধীনতার মাত্রাকেও অন্য স্বাধীনতার মাত্রার মতো একই সংশোধন ভেক্টর \(d\boldsymbol{u}\)-এ রেখে, \(\boldsymbol{K}\) এবং \(\boldsymbol{R}\) পরিবর্তন করে বাধা বাস্তবায়ন করা হয়।

এই পদ্ধতিতে বাধা আছে কি না তার ওপর সহগ ম্যাট্রিক্সের মাত্রা বা স্বাধীনতার মাত্রার ক্রম পরিবর্তিত হয় না; ফলে চলক বাদ দিয়ে খালি সারি ও কলাম পুনর্বিন্যাস করার প্রয়োজন নেই। সহগ ম্যাট্রিক্স বিরল ম্যাট্রিক্স আকারে সংরক্ষিত হলে এই পুনর্বিন্যাস জটিল হয়। তাই FrontISTR কেবল সহগ ম্যাট্রিক্স ও ডানপাশ হালনাগাদ করে বাধা কার্যকর করার পদ্ধতি ব্যবহার করে।

Newton-Raphson সংশোধনের প্রতিস্থাপন লক্ষ্য

স্থানচ্যুতি-বাধাপ্রাপ্ত স্বাধীনতার মাত্রা \(i\)-এর জন্য Newton-Raphson পুনরাবৃত্তিতে নির্ণীত সংশোধন \(du_i\) যেন

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{১ম পুনরাবৃত্তি}) \\ 0 & (\text{২য় ও পরবর্তী পুনরাবৃত্তি}) \end{cases} \]

হয়, সে অনুযায়ী \(\boldsymbol{K}\) ও \(\boldsymbol{R}\) পরিবর্তন করা হয়। এর ফলে প্রথম পুনরাবৃত্তিতেই স্থানচ্যুতি বৃদ্ধি বাধামান \(\bar{u}_i\)-এ পৌঁছে এবং দ্বিতীয় ও পরবর্তী পুনরাবৃত্তিতে সংশোধন \(0\) হয়ে বাধামান বজায় থাকে।

ম্যাট্রিক্স ও অবশিষ্ট ভেক্টরের রূপান্তর পদ্ধতি

আগের অংশের প্রতিস্থাপন লক্ষ্যটি রৈখিক সমীকরণ \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)-এর রূপ বজায় রেখে নিচের দুই ধাপে অর্জিত হয়।

  1. \(i\)-তম সারির কর্ণীকরণ: \(du_i\)-এর সহগ কর্ণ উপাদান \(K_{ii}\)-কে \(1\) এবং অন্য সব সহগ \(K_{ij}\ (j \not= i)\)-কে \(0\) দিয়ে প্রতিস্থাপন করে ডানপাশ \(R_i \to d\bar{u}_i\) করা হয়। এতে \(i\)-তম সারির সমীকরণ \(du_i = d\bar{u}_i\) হয়।
  2. \(j(\not= i)\)-তম সারি থেকে পদ স্থানান্তর: \(j(\not= i)\)-তম সারিতে \(K_{ji} \not= 0\) হলে \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) পদটি ডানপাশে সরানো হয়। অর্থাৎ ডানপাশ থেকে \(K_{ji} d\bar{u}_i\) বিয়োগ করা হয় এবং \(du_i\)-এর সহগ \(K_{ji}\)-কে \(0\) করা হয়।

উপাদানভিত্তিক রূপে লিখলে রূপান্তরের আগে ও পরে সমীকরণ দুটি নিচের মতো সম্পর্কিত।

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

রূপান্তরের পর সহগ ম্যাট্রিক্স ও ডানপাশকে যথাক্রমে \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) লিখলে শেষ পর্যন্ত সমাধানযোগ্য রৈখিক সমীকরণ

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

হয়। একাধিক বাধাপ্রাপ্ত স্বাধীনতার মাত্রা থাকলে প্রতিটি \(i\)-এর জন্য ওপরের 1 ও 2 নম্বর রূপান্তর ক্রমান্বয়ে প্রয়োগ করা হয়।

বিরল ম্যাট্রিক্স বাস্তবায়নে প্রক্রিয়াকরণের পরিসর

বাস্তবায়নে সহগ ম্যাট্রিক্স \(\boldsymbol{K}\) বিরল ম্যাট্রিক্স আকারে রাখা হয়। তাই আগের অংশের ধাপ 2-এ \(j(\not= i)\)-তম সারির প্রক্রিয়াকরণ কেবল সেই সারিগুলোতেই করা হয় যেগুলোর \(i\)-তম কলামে অশূন্য উপাদান আছে—অর্থাৎ যেসব নোডের স্বাধীনতার মাত্রা কোনো উপাদানের মাধ্যমে বাধাপ্রাপ্ত স্বাধীনতার মাত্রা \(i\)-এর সঙ্গে সংযুক্ত। সংযোগহীন স্বাধীনতার মাত্রায় \(K_{ji} = 0\), ফলে পদ স্থানান্তর করলেও ডানপাশ বদলায় না। এই সীমাবদ্ধতার কারণে মোট নোডসংখ্যার তুলনায় কেবল স্থানীয় ক্রিয়াতেই বাধা প্রক্রিয়াকরণ সম্পন্ন হয়।

সংশ্লিষ্ট বিষয়