Salta el contingut

Translation update pending

The Catalan translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Formulacions avançades d’elements

La formulació estàndard basada en desplaçaments presentada a Formulació d’elements sòlids 3D presenta una rigidesa artificial excessiva coneguda com a bloqueig (bloqueig volumètric o bloqueig per cisallament) quan s’aplica a materials gairebé incompressibles o a estructures de paret prima dominades per la flexió. Per evitar-ho, FrontISTR proporciona els mètodes B-bar i F-bar, que substitueixen només la part volumètrica de la matriu B o del gradient de deformació; elements incompatibles amb graus de llibertat interns; elements mixtos u-p que tracten la pressió com un camp desconegut independent; i elements de closca MITC i elements de biga especialitzats en estructures de placa i biga.

Aquest capítol resumeix les formulacions d’aquests elements avançats i elements estructurals, element per element.

Mètode B-bar

Quan s’utilitza un element hexaèdric lineal de 8 nodes per a un material gairebé incompressible, el camp de deformacions dins d’un element pot entrar en conflicte amb la restricció de volum constant, produint una rigidesa excessiva coneguda com a bloqueig volumètric. El mètode B-bar alleuja aquesta sobrerestricció substituint els components de la matriu B que contribueixen a l’expansió volumètrica per valors avaluats al centre de l’element [Hughes1980].

Al centre de l’element \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), sigui \(\bar{\boldsymbol{B}}\) la matriu B calculada a partir de les derivades espacials de les funcions de forma; al punt d’integració \(\boldsymbol{r}\), sigui \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) la matriu B ordinària. En la relació desplaçament-deformació per al node \(\alpha\) i el grau de llibertat \(i\), els components de deformació volumètrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) es modifiquen afegint

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Per als components de cisallament \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), s’utilitza la \(\boldsymbol{B}\) ordinària. La rigidesa de l’element i el vector de forces internes s’assemblen utilitzant la matriu B-bar resultant.

FrontISTR proporciona aquesta formulació específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes (ID d’element 361; vegeu Sistema de numeració d’elements), i es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat.

Mètode F-bar

En deformació finita, el canvi volumètric entra de manera no lineal a través del gradient de deformació \(\boldsymbol{F}\). El mètode F-bar [deSouzaNeto1996] aplica un tractament del bloqueig volumètric anàleg al mètode B-bar al nivell del gradient de deformació.

Sigui \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) la relació de volums del gradient de deformació avaluat al centre de l’element \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), i sigui \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) la relació de volums en un punt d’integració. El gradient de deformació al punt d’integració se substitueix per

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Això dona \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), de manera que la relació de volums a tot l’element s’iguala al valor del centre de l’element. La \(\bar{\boldsymbol{F}}\) substituïda s’utilitza per a l’avaluació de tensions i la construcció de la matriu deformació-desplaçament, i la rigidesa tangent de l’element inclou els termes addicionals associats a aquesta substitució.

FrontISTR implementa el mètode F-bar específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes, i es pot aplicar tant a petites deformacions com a geometria no lineal de Lagrange total / Lagrange actualitzat.

Elements incompatibles

L’element hexaèdric lineal de 8 nodes no disposa dels modes de deformació necessaris per a la flexió i presenta bloqueig per flexió en problemes dominats per la flexió. Els elements incompatibles [Taylor1976] introdueixen modes de desplaçament addicionals dins de l’element per compensar aquesta deficiència.

A més dels desplaçaments nodals de l’element \(\boldsymbol{u}^e\), s’introdueixen graus de llibertat de modes incompatibles \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), que existeixen només dins de l’element, com 3 direccions × 3 modes per element, i el camp de desplaçaments s’aproxima com

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Per a les coordenades naturals \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), les funcions de forma incompatibles es prenen com \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) i \(M_3 = 1 - \zeta^2\). No garanteixen la continuïtat a través de les fronteres dels elements, però afegeixen un espai intern capaç de reproduir les deformacions associades als modes de flexió.

La rigidesa de l’element s’assembla primer en una forma de blocs de GDL externs/GDL interns

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Després de l’assemblatge en aquesta forma, la condensació estàtica elimina els graus de llibertat interns utilitzant \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), i dona la rigidesa de l’element que implica només els graus de llibertat externs

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que es passa a l’assemblatge global.

FrontISTR implementa l’element incompatible específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes (C3D8IC), i es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat.

Elements mixtos U-P

Mentre que els mètodes B-bar i F-bar corregeixen el component volumètric dins d’un marc basat en desplaçaments, l’element mixt u-p (U-P) utilitza una formulació mixta [Bathe1996] que introdueix la pressió \(\lambda\) com un camp desconegut independent del desplaçament. Per a materials gairebé incompressibles, com materials similars al cautxú amb un coeficient de Poisson extremadament proper a 0.5 o metalls després de deformació plàstica, imposar la restricció de volum constant utilitzant només el camp de desplaçaments provoca bloqueig volumètric; tractar la pressió com una variable independent relaxa aquesta restricció.

La tensió se separa en components desviador i de pressió com

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aquí, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) és la matriu elàstica desviadora obtinguda eliminant de la matriu elàstica la part volumètrica proporcional al mòdul volumètric \(K\). La pressió \(\lambda\) i la deformació volumètrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) estan relacionades per la restricció mitjançant la compressibilitat \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

La discretització amb el desplaçament \(\boldsymbol{u}\) i la pressió \(\lambda\) com a incògnites dona el sistema acoblat de l’element

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

on \(\mathbf{K}_{uu}\) conté la contribució elàstica desviadora i, per a deformació finita, la rigidesa geomètrica; \(\mathbf{K}_{up}\) acobla la deformació volumètrica i la pressió; i \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) és el terme d’estabilització de la pressió (\(\boldsymbol{N}_p\) és la funció de forma de la pressió). Com que els graus de llibertat de pressió són interns a l’element,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

la condensació estàtica es realitza en aquesta forma, i la rigidesa efectiva que implica només els graus de llibertat externs (de desplaçament) es passa a l’assemblatge global.

FrontISTR implementa l’element U-P específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes, amb un grau de llibertat de pressió per element (constant dins de l’element). Es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat. En Lagrange actualitzat, la tensió desviadora s’actualitza utilitzant una velocitat objectiva de tensió (tipus Jaumann/Hughes-Winget), i després s’imposa la pressió \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) utilitzant el valor obtingut per condensació estàtica.

Elements de closca

Els elements de closca basats en la teoria de plaques/closques de Reissner-Mindlin s’utilitzen per a estructures de placa i closca de paret prima. A mesura que disminueix el gruix, els elements de placa/closca d’ordre baix basats en desplaçaments sobreestimen la deformació de cisallament transversal mitjançant un mecanisme anàleg al bloqueig volumètric (bloqueig per cisallament), cosa que fa augmentar excessivament la rigidesa dels modes de flexió. El mètode MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita aquest problema tornant a mostrejar només els components de deformació de cisallament en punts d’enllaç predefinits dins de l’element i interpolant de nou aquests valors mostrejats sobre l’element.

Els nodes d’un element de closca MITC es troben a la superfície mitjana, i cada node té sis graus de llibertat: tres components de translació i tres components de rotació respecte del sistema de coordenades normal a la superfície mitjana. La rigidesa de l’element s’avalua mitjançant integració gaussiana tridimensional sobre les coordenades naturals de la superfície mitjana i la direcció del gruix, i el gruix \(h\) es proporciona com una propietat de l’element durant l’avaluació constitutiva.

FrontISTR proporciona MITC3 (ID d’element 731), MITC4 (741) i MITC9 (743), representats per una sola capa de superfície mitjana, així com elements de closca en capes MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodes, 3 GDL per node) i MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodes, 3 GDL per node), els nodes dels quals es disposen en dues capes a través del gruix. En els elements de closca en capes, els graus de llibertat nodals consisteixen només en tres components de translació, mentre que els modes de flexió corresponents als graus de llibertat de rotació es representen mitjançant la disposició en dues capes.

Elements de biga

Els membres lineals, com ara bigues i estructures de pòrtic, es discretitzen amb elements de biga. Els elements de biga representen l'extensió axial, la flexió i la torsió utilitzant només les translacions i rotacions dels nodes situats a l'eix de la biga, mentre que la deformació dins de la secció transversal es representa mitjançant constants de secció.

Cada node de biga té sis graus de llibertat: tres components de translació i tres components de rotació. La rigidesa de l'element s'obté formant matrius de rigidesa en forma tancada per a l'extensió axial, la flexió en dues direccions i la torsió en un sistema de coordenades local definit per l'eix de l'element i l'eix de referència especificat a les dades de secció, i transformant-les després al sistema de coordenades global. L'àrea de la secció transversal \(A\), els segons moments d'àrea \(I_y\) i \(I_z\) respecte dels eixos locals \(y\) i \(z\) i la constant de torsió s'especifiquen com a dades de secció; juntament amb el mòdul de Young \(E\) del material i el mòdul de cisallament \(G\), derivat del mòdul de Young i del coeficient de Poisson, defineixen els coeficients de rigidesa corresponents.

Per a la flexió hi ha dues formulacions disponibles: la biga de Bernoulli-Euler, que suposa que la secció transversal roman perpendicular a l'eix de la biga després de la deformació i negligeix la deformació per cisallament, i la biga de Timoshenko, que té en compte la deformació per cisallament. Totes dues es poden seleccionar per a l'element de biga de dos nodes 611, amb la biga de Bernoulli-Euler com a opció predeterminada. Per a la biga de Timoshenko, amb longitud d'element \(L\), els coeficients que representen la contribució de la deformació per cisallament,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

s'inclouen en els coeficients de rigidesa de cada pla de flexió. Per exemple, el coeficient de rigidesa per a la fletxa en la direcció local \(y\) és \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Aquí \(A_s\) és l'àrea de cisallament. Com que les dades de secció de FrontISTR no proporcionen \(A_s\) per separat, s'utilitza \(A_s = A\). Això equival a prendre un factor de correcció de cisallament igual a 1. Si \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), s'obté la rigidesa de la biga de Bernoulli-Euler.

L'element 641 és un element amb graus de llibertat mixtos que representa una biga amb dos nodes amb graus de llibertat de translació i dos nodes amb graus de llibertat de rotació, i està formulat com una biga de Bernoulli-Euler.

Temes relacionats