Llista de símbols de magnituds físiques
Aquesta pàgina enumera els símbols de les magnituds físiques utilitzats al manual teòric de FrontISTR. Per a les convencions de notació (negreta per a vectors i tensors, conveni de sumació d’Einstein i notació de Voigt), vegeu Notació tensorial i fonaments matemàtics.
Configuracions i sistemes de coordenades
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vector de posició d’un punt material en la configuració de referència (inicial) (coordenades materials) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vector de posició d’un punt material en la configuració actual (coordenades espacials) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Aplicació del moviment: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domini ocupat pel cos en la configuració de referència |
| \(\Omega\) | Domini ocupat pel cos en la configuració actual |
| \(\Gamma_0\) | Frontera de \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Frontera de \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Frontera geomètrica (de desplaçament): frontera en la configuració actual/de referència on \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) es prescriu |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Frontera mecànica: frontera en la configuració actual/de referència on \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (o \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) es prescriu |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vector normal unitari exterior a una superfície en la configuració actual |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vector normal unitari exterior a una superfície en la configuració de referència |
| \(t\) | Temps |
Conveni: Les magnituds físiques en la configuració de referència es denoten amb lletres majúscules o amb un subíndex \(0\), mentre que les magnituds en la configuració actual es denoten amb lletres minúscules.
Temps i increments (anàlisi incremental)
| Símbol | Descripció |
| \(\Delta t\) | Increment de temps: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Magnitud física en el temps \(t\) (superíndex esquerre). Exemple: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) és la tensió de Cauchy en el temps \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domini de la configuració actual en el temps \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Frontera de la configuració actual en el temps \(t\) |
Conveni: En l’anàlisi incremental, l’estat fins al temps \(t\) es considera conegut i l’estat en el temps \(t + \Delta t\) es resol com a desconegut. El superíndex esquerre s’omet quan no cal indicar explícitament el temps. Una formulació que utilitza la configuració de referència \(\Omega_0\) com a referència s’anomena formulació de Lagrange total, mentre que una formulació que utilitza com a referència la configuració actual \(^{t}\Omega\) a l’inici de l’increment s’anomena formulació de Lagrange actualitzat.
Desplaçament, velocitat, acceleració i força volumètrica
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vector de desplaçament: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Desplaçament prescrit a la frontera geomètrica \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Desplaçament virtual (funció de prova): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vector de velocitat: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vector d’acceleració: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Força volumètrica (per unitat de massa) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vector de tracció (per unitat d’àrea): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Tracció prescrita a la frontera mecànica \(\Gamma_t\) (dades de Neumann) |
Operadors diferencials
| Símbol | Descripció |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivada material respecte del temps (derivada temporal seguint el mateix punt material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient en la configuració de referència (gradient respecte de les coordenades materials \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient en la configuració actual (gradient respecte de les coordenades espacials \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operador de gradient simètric: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Nota: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) estan relacionats per \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). S’utilitza un gradient sense subíndex, \(\nabla\), quan la configuració és clara pel context o quan la distinció desapareix, com en problemes de petites deformacions.
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensor gradient de deformació: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Relació de volums: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensor de deformació de Cauchy-Green dret: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensor gradient de velocitat: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensor de velocitat de deformació (part simètrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensor de rotació (part antisimètrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensor de deformació de Green-Lagrange (configuració de referència): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensor de deformació d’Almansi (configuració actual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Part lineal del tensor de deformació d’Almansi (gradient simètric del desplaçament en la configuració actual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensor de deformació infinitesimal (aproximació lineal): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Nota: \(\boldsymbol{E}\) s’utilitza principalment en la formulació de Lagrange total, mentre que \(\boldsymbol{D}\) s’utilitza principalment en la formulació de Lagrange actualitzat.
Tensors de tensió
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensor de tensió de Cauchy (tensió real, configuració actual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff (tensió nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Segon tensor de tensió de Piola-Kirchhoff (configuració de referència, simètric): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Relacions de conversió entre els tensors de tensió:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Conveni: La formulació de Lagrange total utilitza el parell \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mentre que la formulació de Lagrange actualitzat utilitza el parell \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densitat i massa
| Símbol | Descripció |
| \(\rho\) | Densitat de massa en la configuració actual |
| \(\rho_0\) | Densitat de massa en la configuració de referència |
Conservació de la massa: \(\rho_0 = J\rho\).
Constants del material (elasticitat lineal)
| Símbol | Descripció |
| \(E\) | Mòdul de Young |
| \(\nu\) | Coeficient de Poisson |
| \(\lambda\) | Primera constant de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Segona constant de Lamé (mòdul de cisallament): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensor d’elasticitat (quart ordre): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), components \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (o \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matriu de material (notació de Voigt, \(6\times6\) en 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Components del tensor d’elasticitat per a un material elàstic lineal isòtrop:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materials hiperelàstics
| Símbol | Descripció |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funció de potencial elàstic (funció de densitat d’energia de deformació) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invariants principals del tensor de Cauchy-Green dret \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invariants reduïts de \(\boldsymbol{C}\) (canvi volumètric separat) |
| \(C_1, C_2\) | Constants del material del model de Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Constant del material relacionada amb l’elasticitat volumètrica |
Materials elastoplàstics
| Símbol | Descripció |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Component elàstic del tensor de velocitat de deformació |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Component plàstic del tensor de velocitat de deformació |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funció de fluència |
| \(\kappa\) | Variable interna que representa l’estat plàstic (variable d’enduriment isòtrop) |
| \(\lambda^p\) | Multiplicador plàstic (multiplicador de la velocitat de deformació plàstica): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potencial plàstic (\(\Theta = F\) per a una regla de flux associada) |
| \(\bar{\sigma}\) | Tensió equivalent (p. ex., tensió de von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformació plàstica equivalent |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funció d’enduriment isòtrop |
Condició de complementarietat: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Mètode dels elements finits
| Símbol | Descripció |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Dominis en les configuracions actual i de referència aproximats mitjançant discretització per elements finits: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Domini de l’element en les configuracions actual i de referència |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Part de la frontera de l’element que pertany a la frontera mecànica |
| \(\boldsymbol{r}\) | Coordenades naturals (coordenades locals de l’element) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punt en coordenades naturals corresponent al node \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funció de forma corresponent al node \(\alpha\) de l’element \(e\) |
| \(n_e\) | Nombre de nodes que constitueixen un element |
| \(n_g\) | Nombre total de nodes globals |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Coordenades i desplaçament del node \(\alpha\) de l’element |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vectors de coordenades nodals i de desplaçament de l’element: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vectors globals de coordenades nodals i de desplaçament (ordenats per número de node i després per grau de llibertat) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matriu de relació deformació-desplaçament (matriu B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matriu de funcions de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) és un \(d \times d\) bloc amb la funció de forma \(N_\alpha^e\) per al node \(\alpha\) a la diagonal, i \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matriu de rigidesa de l’element |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrands de la matriu de rigidesa de l’element (expressats en les configuracions de referència i actual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulació TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulació UL) | Vector de forces internes de l’element |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Força externa nodal que actua sobre el node de l’element \(\alpha\), i vector de forces externes nodals de l’element: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vector global de forces internes i vector global de forces externes: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); anàlogament per a \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Força interna nodal i força externa nodal al node global \(i_g\) (blocs nodals de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matriu global de rigidesa tangent: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriu formada col·locant el bloc \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) a la fila \(i_g\), columna \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vector residual en la iteració de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Correcció en la iteració de Newton-Raphson (obtinguda resolent l’equació lineal \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) a la iteració \(i\)) |
| \(i_g\) | Número global de node (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Número global de node corresponent al número de node local \(\alpha\) de l’element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Conjunt de \((e, \alpha)\) parelles corresponents al número global de node \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). S’utilitza en operacions d’assemblatge |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Conjunt de \((e, \alpha, \beta)\) tuples corresponents al parell de números globals de node \((i_g, i_h)\); utilitzat per a l’assemblatge de la matriu de rigidesa |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indices per al nodes constituting an element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Índexs dels graus de llibertat (\(1, 2, 3\) en 3D) |
Elements avançats i elements estructurals
| Símbol | Descripció |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matriu de relació deformació-desplaçament amb la part volumètrica modificada pel mètode B-bar (el component volumètric se substitueix per la matriu B avaluada al centre de l’element) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradient de deformació amb la part volumètrica modificada pel mètode F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Relació de volums del gradient de deformació avaluat al centre de l’element \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vector intern de graus de llibertat per a un element de modes incompatibles (coeficients de modes de desplaçament addicionals que no imposen continuïtat a la frontera de l’element) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funcions de forma per als modes incompatibles: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Gruix de l’element de closca |
| \(A\) | Àrea de la secció transversal d’un element de biga |
| \(I\) | Segon moment d’àrea de la secció transversal d’un element de biga |
| \(G\) | Mòdul de cisallament: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Temes relacionats