Salta el contingut

Mètodes d'anàlisi dinàmica

Aquesta secció descriu els mètodes d'anàlisi de problemes dinàmics mitjançant integració temporal directa. A continuació es presenten les formulacions dels mètodes implícit i explícit.

Discretització de l'equació del moviment (marc comú)

TBD (es completarà en la fase següent).

Mètode implícit (mètode de Newmark-β)

Per als problemes dinàmics, s'aplica un mètode d'integració temporal directa per resoldre l'equació del moviment que es mostra a continuació.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Aquí, \(M\) és la matriu de massa, \(C\) és la matriu d'amortiment, \(Q\) és el vector de forces internes i \(F\) és el vector de forces externes. Se suposa que la matriu de massa es manté constant independentment de la deformació, fins i tot en l'anàlisi no lineal.

Els canvis de desplaçament, velocitat i acceleració durant l'increment de temps \(\Delta t\) s'aproximen mitjançant el mètode de Newmark-\(\beta\), tal com es mostra a l'eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) i a l'eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Aquí, \(\gamma\) i \(\beta\) són paràmetres del mètode de Newmark-\(\beta\).

Com és ben conegut, els valors següents de \(\gamma\) i \(\beta\) corresponen, respectivament, al mètode d'acceleració lineal i a la regla trapezoïdal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (mètode d'acceleració lineal)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regla trapezoïdal)

Substituint l'eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) i l'eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) a l'eq. \(\eqref{eq:2.5.1}\), s'obté l'equació següent.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

En particular, per a un problema lineal, \(K_L\) és la matriu de rigidesa lineal i \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Substituint aquesta relació a l'equació anterior, s'obté l'equació següent.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Als punts on l'acceleració es prescriu com a condició de contorn geomètrica, el desplaçament s'obté a partir de l'eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) de la manera següent.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

De manera similar, als punts on es prescriu la velocitat, el desplaçament s'obté a partir de l'eq. \(\eqref{eq:2.5.6}\) de la manera següent.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Aquí, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) és el desplaçament nodal en el temps \(t+\Delta{t}\), i \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) és la velocitat nodal en el temps \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) és l'acceleració nodal en el temps \(t+\Delta{t}\), \(i\) és el número del grau de llibertat nodal i \(s\) és el número de node. Els termes de massa i amortiment es tracten de la manera següent.

Tractament del terme de massa

En principi, la matriu de massa es tracta com una matriu de massa concentrada.

Tractament del terme d'amortiment

El terme d'amortiment es tracta com un amortiment de Rayleigh expressat per l'eq. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Aquí, \(R_m\) i \(R_k\) són els paràmetres d'amortiment de Rayleigh.

La targeta !DYNAMIC especifica \(R_m\) i \(R_k\), que s'apliquen uniformement a tot el model. Per assignar valors diferents de \(R_m\) i \(R_k\) a cada material, dins del bloc !MATERIAL del material corresponent especifiqueu la targeta !DAMPING. Per als elements que pertanyen a un material amb !DAMPING, la matriu d'amortiment de l'element es calcula a partir de la matriu de massa de l'element \(M_i\) i la matriu de rigidesa tangent \(K_i\) com \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), i s'assembla a la matriu global d'amortiment. Aquesta funció només és efectiva per al mètode implícit.

Mètode explícit (mètode de diferències centrals)

El mètode explícit es basa en l'equació del moviment en el temps t que es mostra a continuació.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Expressant els desplaçaments en els temps \(t + \Delta t\) i \(t - \Delta t\) mitjançant expansions de Taylor al voltant del temps \(t\) i conservant els termes fins a segon ordre en \(\Delta t\), s'obtenen les equacions següents.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Prenent la diferència i la suma de l'eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) i de l'eq. \(\eqref{eq:2.5.4}\), s'obtenen les equacions següents.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Substituint l'eq. \(\eqref{eq:2.5.12}\) i l'eq. \(\eqref{eq:2.5.13}\) a l'eq. \(\eqref{eq:2.5.9}\), s'obté l'equació següent.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

En particular, per a un problema lineal, \(Q(t) = K_L U(t)\), i l'equació anterior esdevé

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Si la matriu de massa \(M\) es pren com una matriu de massa concentrada i la matriu d'amortiment com una matriu d'amortiment proporcional \(C = R_m M\), l'eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\) no requereix resoldre cap sistema d'equacions simultànies.

Per tant, a partir de l'eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) es pot obtenir amb l'equació següent.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Temes relacionats