Verificació amb un model de forma simple¶

Anàlisi estàtica elàstica¶

Aquesta verificació utilitza una biga en voladís mallada tal com es mostra a la Figura 9.1.1. Es van realitzar anàlisis per a set casos, d’exA a exG, variant les condicions de càrrega tal com es mostra a la Figura 9.1.2. El cas exG té les mateixes condicions de càrrega que exA, però utilitza un solucionador directe.

El resultat de verificació de cada condició de càrrega es presenta a les Taules 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Exemple de malla d’una biga en voladís (elements hexaèdrics)

	(a) exA,G: Càrrega concentrada
	(b) exD: Gravetat
	(c) exB: Càrrega distribuïda superficialment
	(d) exE: Força centrífuga
	(e) exC: Càrrega volumètrica
	(f) exF: Càrrega tèrmica

Fig. 9.1.2 Condicions de verificació del model de biga en voladís

Taula 9.1.1: exA: Resultats de verificació del problema de càrrega concentrada

Taula 9.1.2: exB: Resultats de verificació del problema de càrrega distribuïda superficialment

Taula 9.1.3: exC: Resultats de verificació del problema de càrrega volumètrica

Taula 9.1.4: exD: Resultats de verificació del problema de gravetat

Taula 9.1.5: exE: Resultats de verificació del problema de força centrífuga

Taula 9.1.6: exF: Resultats de verificació del problema de càrrega per tensió tèrmica

Taula 9.1.7: exG: Resultats de verificació del mètode directe (problema de càrrega concentrada)

Anàlisi estàtica no lineal¶

(2-1) exnl1: Anàlisi no lineal geomètrica¶

El model de verificació del cas exI és idèntic als models dels casos exA a exG. La Figura 9.1.3 mostra un esquema del model de verificació. En aquest model es realitza una anàlisi geomètricament no lineal. Els resultats de verificació es mostren a la Taula 9.1.8.

El càlcul no lineal es duu a terme per a la càrrega de referència \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), amb un increment de càrrega de \(0.1P\) al llarg de 10 passos.

Fig. 9.1.3 Model de verificació

Taula 9.1.8 exI: Resultats de verificació (historial de la deflexió màxima)

(2-2) exnl2: Anàlisi de deformació elastoplàstica¶

Aquest problema de verificació es basa en el Test NL1 de NAFEMS, de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regne Unit), i realitza una anàlisi de deformació elastoplàstica que incorpora no-linealitat geomètrica i diverses lleis d’enduriment. La Figura 9.1.4 mostra el model d’anàlisi.

Fig. 9.1.4 Model d’anàlisi de deformació elastoplàstica

(1) Condicions de verificació

(2) Condicions de contorn

Tots els nodes que no figuren aquí estan completament restringits. La solució teòrica d’aquest problema és la següent.

En comparació, els resultats del càlcul són els següents.

Anàlisi de contacte (1)¶

Aquest problema de verificació es basa en el problema de prova de contacte CGS-4 de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regne Unit), i comprova la capacitat de contacte amb lliscament finit i fricció. La Figura 9.1.5 mostra el model d’anàlisi.

Fig. 9.1.5 Model d’anàlisi de contacte

La condició d’equilibri d’aquest problema és la següent.

En l’etapa de fricció adherent, la força de fricció és

i en l’etapa de fricció amb lliscament, és

Això dona la relació anterior.

La comparació entre els resultats del càlcul i la solució analítica és la següent.

Anàlisi de contacte (2): problema de contacte de Hertz¶

Aquesta verificació analitza el problema de contacte de Hertz entre un cilindre infinitament llarg i un pla infinit. El radi del cilindre és \(R = 8\ \mathrm{mm}\), i el mòdul de Young \(E\) i el coeficient de Poisson \(\mu\) del cos deformable són \(1100\ \mathrm{MPa}\) i \(0.0\), respectivament. Se suposa que l’àrea de contacte és prou petita en comparació amb el radi del cilindre i, tenint en compte la simetria del problema, s’analitza un model d’un quart de cilindre.

Fig. 9.1.6 Model d’anàlisi del problema de contacte de Hertz

(1) Resultats de verificació del radi de contacte¶

La fórmula teòrica per calcular el radi de contacte és la següent:

on

Això dona l’expressió anterior. Amb les condicions de càlcul actuals, quan la pressió és \(F=100\), el radi de contacte és \(a=1.36\).

La Figura 9.1.7 mostra les forces nodals equivalents als punts de contacte. El radi de contacte s’obté extrapolant aquesta distribució de forces nodals.

Fig. 9.1.7 Distribució de forces nodals equivalents als punts de contacte

(2) Resultats de verificació de la tensió de cisallament màxima¶

En la solució teòrica, a la posició de contacte

la tensió de cisallament màxima és

Aquesta és la tensió tallant màxima teòrica. Amb les condicions de càlcul actuals,

Aquest és el valor teòric en les condicions actuals. En comparació, el càlcul dona

Aquest és el resultat calculat.

Fig. 9.1.8 Distribució de la tensió de cisallament (valor màxim = 15.6)

(3) Anàlisi modal¶

Els models de verificació dels casos exJ i exK són idèntics als models dels casos exA a exG. La Figura 9.1.9 mostra un esquema del model de verificació. En aquest model es realitza una anàlisi modal. Es calculen les tres primeres freqüències naturals. El cas exJ utilitza un solucionador iteratiu, mentre que el cas exK utilitza un solucionador directe. Els resultats de verificació es mostren a les Taules 9.1.9 a 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Model de verificació

Les freqüències naturals de la biga en voladís s’obtenen amb les equacions següents.

Primer mode

Segon mode

Tercer mode

Els valors de les propietats del model de verificació són

Per tant, les tres primeres freqüències naturals són les següents:

Taula 9.1.9: exJ: Resultats de verificació del mètode iteratiu per a la primera freqüència natural

Taula 9.1.10: Resultats de verificació del mètode iteratiu d’exJ per a la segona freqüència natural

Nota: En els models tridimensionals (3D), el primer i el segon mode són degenerats. Per tant, la tercera freqüència natural calculada es presenta a la taula com la segona freqüència natural.

Taula 9.1.11: Resultats de verificació del mètode directe d’exK per a la primera freqüència natural

Taula 9.1.12: Resultats de verificació del mètode directe d’exK per a la segona freqüència natural

Nota: En els models 3D, el primer i el segon mode són degenerats. Per tant, la tercera freqüència natural calculada es presenta a la taula com la segona freqüència natural.

(4) Anàlisi de conducció de calor¶

Les condicions comunes de les anàlisis de conducció de calor en règim estacionari es mostren a la Figura 9.1.10. Les condicions individuals dels casos de verificació exM a exT es mostren a la Figura 9.1.11. La divisió de la malla és equivalent a la utilitzada per a exA.

Els resultats de verificació (taula de distribució de temperatures) de cada cas es presenten a les Taules 9.1.13–9.1.20.

Dependència de la conductivitat tèrmica amb la temperatura

Fig. 9.1.10: Condicions de verificació de l’anàlisi de conducció de calor en règim estacionari

exM: Material lineal
exN: Problema de temperatura prescrita
exO: Problema de flux de calor concentrat
exP: Problema de flux de calor distribuït
exQ: Problema de transferència de calor per convecció
exR: Problema de transferència de calor per radiació
exS: Problema de generació volumètrica de calor
exT: Problema de buit intern

Fig. 9.1.11: Condicions d’anàlisi de cada cas de verificació

Taula 9.1.13: Resultats de verificació d’exM (càlcul estacionari de material lineal)

Taula 9.1.14: Resultats de verificació d’exN (problema de temperatura prescrita)

Taula 9.1.15: Resultats de verificació d’exO (problema de flux de calor concentrat)

Taula 9.1.16: Resultats de verificació d’exP (problema de flux de calor distribuït)

Taula 9.1.17: Resultats de verificació d’exQ (problema de transferència de calor per convecció)

Taula 9.1.18: Resultats de verificació d’exR (problema de transferència de calor per radiació)

Taula 9.1.19: Resultats de verificació d’exS (problema de generació volumètrica de calor)

Taula 9.1.20: Resultats de verificació d’exT (problema de buit intern)

Anàlisi dinàmica lineal¶

A exW es realitza una anàlisi dinàmica lineal sobre la mateixa biga en voladís que a l’apartat (1). La Figura 9.1.12 mostra les condicions de verificació. Per a la mateixa divisió de malla, es verifica l’efecte de l’increment de temps sobre els resultats. S’utilitzen tant mètodes d’integració temporal implícits com explícits, amb els tipus d’element 361 i 342. Els resultats de verificació es mostren a la Taula 9.1.22 i a les Figures 9.1.13 a 9.1.15.

Model d’anàlisi

Historial temporal de la força externa F

La solució teòrica del desplaçament del punt de vibració és la següent:

on

Fig. 9.1.12: Condicions de verificació de l’anàlisi dinàmica lineal

Condicions de verificació:

Taula 9.1.21: Condicions de verificació de l’anàlisi dinàmica lineal (continuació)

Taula 9.1.22: Resultats de verificació de l’anàlisi dinàmica lineal d’exW (biga en voladís)

Fig. 9.1.13: Diagrama de deformació i distribució de la tensió equivalent de la biga en voladís

(a) Tipus d’element 361: mètode implícit

(b) Tipus d’element 361: mètode explícit

Fig. 9.1.14 Historial temporal del desplaçament del punt d’excitació \(u_z\)

(a) Tipus d’element 342: mètode implícit

(b) Tipus d’element 342: mètode explícit

Fig. 9.1.15: Historial temporal del desplaçament del punt de vibració \(u_z\)

Anàlisi de resposta en freqüència¶

En aquesta verificació es realitza una anàlisi de resposta en freqüència sobre una biga en voladís i es valida mitjançant la comparació amb els resultats d’un programari comercial d’ús general. El model d’anàlisi i les condicions de verificació es mostren a continuació.

Condicions d’anàlisi:

Fig. 9.1.16: Model d’anàlisi (element tetraèdric lineal, 126 elements i 55 nodes)

A continuació es mostren les cinc primeres freqüències naturals obtingudes de l’anàlisi modal i la resposta en freqüència al punt d’excitació:

Fig. 9.1.17: Dependència amb la freqüència de l’amplitud del desplaçament dels punts de vibració