Nelineární iterace a časová integrace¶

FrontISTR postupuje řešením kombinací nelineárních iterací a časové integrace v každém podkroku v rámci řízení přírůstků každého kroku. Tato stránka popisuje iterační struktury umístěné mezi vnějším řízením kroků a vnitřním lineárním řešičem: Newton-Raphsonovy iterace, kontaktní iterace, časovou integraci pro dynamickou analýzu a rámec pro časový postup a nelineární iteraci v nestacionárním vedení tepla.

Přehled funkcí¶

Nelineární řešení a časová integrace uvnitř kroku mají vnořenou strukturu tvořenou několika smyčkami od vnější po vnitřní. Jednotlivé vrstvy mají následující úlohy.

To, které z těchto vrstev se objeví, závisí na typu analýzy.

Způsob volby samotného typu a algoritmu kontaktu je uveden v části Kontakt a vložení. Tato stránka popisuje, jak je zvolený algoritmus uspořádán jako iterační smyčka.

Volba schématu řešení¶

Iterační struktura je určena automaticky podle zvoleného typu analýzy (Typy analýz), přítomnosti či nepřítomnosti nelinearity (geometrické nelinearity, materiálové nelinearity nebo kontaktu) a kontaktního algoritmu (SLAGRANGE nebo ALAGRANGE). Uživatel přímo nastavuje horní meze počtu iterací a kritéria konvergence.

Při ladění těchto nastavení platí následující doporučení.

• Pro standardní analýzy obecně postačuje výchozí horní mez počtu iterací. Pokud obtížně konvergující úloha dosáhne maximálního počtu iterací bez konvergence, nejprve použijte cutback (Řízení kroků); horní mez zvyšujte až tehdy, pokud to konvergenci nezlepší.
• Kritéria konvergence nastavujte s ohledem na rovnováhu mezi stabilitou analýzy a výpočetním časem. Přísnější kritéria zvyšují přesnost rovnováhy, ale zvyšují počet iterací. V kontaktních analýzách a analýzách s Lagrangeovými multiplikátory může kombinace kritéria přírůstku posunutí nebo Lagrangeova kritéria s kritériem rezidua zlepšit stabilitu.
• U parametrů časové integrace v dynamické analýze (koeficienty Newmark-β) začněte standardní kombinací hodnot a upravte je při změně charakteristik numerického tlumení vibrační odezvy.
• Pro schéma časové integrace v nestacionárním vedení tepla použijte Crank-Nicolsonovu metodu pro úlohy s plynulými změnami teploty a zpětný Euler, pokud jsou důležitější prudké změny nebo dlouhodobá stabilita.

Newton-Raphsonova iterace ve statické analýze¶

V nelineární statické analýze se rovnice rovnováhy obsahující geometrickou nebo materiálovou nelinearitu řeší iterativně Newton-Raphsonovou metodou. Každá iterace probíhá následovně.

1. Vyhodnoťte vektor rezidua \(\boldsymbol{R}\) pro aktuální řešení.
2. Sestavte tečnou matici tuhosti \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Vyřešte lineární systém \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) a získejte korekci posunutí \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Aktualizujte řešení jako \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Porovnejte s kritérii konvergence. Je-li dosaženo konvergence, iteraci ukončete; jinak se vraťte ke kroku 1.

Lineární řešič provádí řešení lineárního systému (krok 3). Volbu řešiče a předpodmiňovače naleznete v části Řešič a předpodmínění.

Iterace je řízena pomocí parametrů řízení kroků !STEP. Hlavní řídicí hodnoty jsou následující.

Maximální počet Newtonových iterací, na který odkazují rozhodnutí o automatickém přírůstku a cutback v části Řízení kroků, znamená počet Newtonových iterací popsaných na této stránce. Automatické řízení přírůstku zvyšuje časový přírůstek po podkroku, který konvergoval v malém počtu iterací, a snižuje jej po podkroku, který vyžadoval mnoho iterací.

Kontaktní iterace ve statické analýze¶

V kontaktní analýze se kontaktní stav během iterace mění v důsledku kontaktu, oddělení a skluzu na kontaktních plochách, proto se Newtonova iterace kombinuje s aktualizacemi kontaktního stavu. Struktura závisí na algoritmu řešení kontaktu.

Oba algoritmy umisťují na nejvnější úroveň smyčku vyhledávání kontaktního stavu. Při každém průchodu touto smyčkou se po konvergenci vnitřní Newtonovy iterace znovu vyhodnotí kontaktní stav (kontakt/oddělení). Pokud se stav změnil, aktualizuje se struktura matice tuhosti a vnitřní iterace se spustí znovu. Smyčka končí, když se kontaktní stav oproti předchozímu průchodu nezmění a jsou splněna kritéria konvergence kontaktu (kritérium kontaktní síly a Lagrangeova multiplikátoru). Horní mez počtu průchodů určuje MAXCONTITER v !STEP.

Při kontaktu SLAGRANGE jsou kontaktní stupně volnosti začleněny do lineárního systému standardní metodou Lagrangeových multiplikátorů, čímž vzniká dvouvrstvá struktura, v níž je Newtonova iterace umístěna přímo uvnitř smyčky vyhledávání kontaktního stavu. Iterace rozšířené Lagrangeovy metody se nepoužívá.

Při kontaktu ALAGRANGE se uvnitř smyčky vyhledávání kontaktního stavu přidá iterace rozšířené Lagrangeovy metody a uvnitř ní probíhá Newtonova iterace, takže vzniká třívrstvá struktura. V každé iteraci rozšířené Lagrangeovy metody se kontaktní omezení znovu vyhodnocuje pomocí kombinace penalizačního členu a Lagrangeova multiplikátoru, čímž se postupně zvyšuje přesnost omezení. Horní mez počtu iterací rozšířené Lagrangeovy metody určuje AUGITER v !CONTACT_ALGO.

Řídicí hodnoty kontaktní iterace jsou následující.

Počet kontaktních iterací, na který odkazují rozhodnutí o automatickém přírůstku v části Řízení kroků, znamená počet iterací popsaných na této stránce včetně aktualizací kontaktního stavu. Analýzy, v nichž často dochází ke kontaktu a oddělení, obvykle vyžadují více kontaktních iterací, což ovlivňuje také rozhodnutí o automatickém přírůstku a cutback. Typy kontaktu, definice dvojic a volbu algoritmu naleznete v části Kontakt a vložení. Způsob řešení lineárního systému obsahujícího kontaktní stupně volnosti naleznete v části Řešič a předpodmínění.

Časová integrace v dynamické analýze (implicitní metoda)¶

Implicitní metoda dynamické analýzy používá metodu Newmark-β k propojení posunutí, rychlosti a zrychlení v následujícím čase v každém časovém kroku a kombinuje tyto vztahy s pohybovou rovnicí, aby získala stav v čase \(t + \Delta t\). Omezení stability časového kroku \(\Delta t\) je mírné, což umožňuje efektivně řešit odezvy konstrukcí s převahou nízkofrekvenčních složek.

Používají se následující dva parametry časové integrace.

Kombinace \(\beta = 1/4\) a \(\gamma = 1/2\) se nazývá metoda průměrného zrychlení a je standardní volbou, která je bezpodmínečně stabilní a nemá numerické tlumení. Pro zavedení numerického tlumení zvolte \(\gamma\) větší než \(1/2\). Matematické podrobnosti kombinací parametrů, stability a charakteristik chyb naleznete v teoretickém manuálu.

Je-li zahrnuta nelinearita (geometrická, materiálová nebo kontakt), probíhá v každém časovém kroku Newtonova iterace; uvnitř iterace se řeší lineární systém a aktualizuje stav. Kritéria konvergence používají CONVERG a související hodnoty společné se statickou analýzou. V dynamické analýze s kontaktem je do každého časového kroku začleněna stejná iterační struktura jako v části Kontaktní iterace ve statické analýze.

Časový krok v dynamické analýze se primárně řídí časovými podmínkami !STEP. Při pevných přírůstcích určuje !STEP hodnotu DTIME jako časový krok a ETIME jako dobu trvání kroku. Hodnoty n_step a t_delta z !DYNAMIC se považují za výchozí při vynechání !STEP a kvůli zpětné kompatibilitě. V nelineární implicitní metodě umožňuje !STEP s INC_TYPE=AUTO automatické přírůstky a cutback, které zvětšují nebo zmenšují časový krok podle stavu Newtonových a kontaktních iterací. Bez ohledu na použití pevných či automatických přírůstků nastavujte časový krok s ohledem na konvergenci i požadovanou přesnost.

Časová integrace v dynamické analýze (explicitní metoda)¶

Explicitní metoda dynamické analýzy používá metodu centrálních diferencí k přímému výpočtu stavu v následujícím čase pouze z informací o posunutí, rychlosti a zrychlení v předchozím čase. Protože se neřeší soustava simultánních rovnic, jsou výpočetní náklady na jeden krok nízké. I při zahrnutí nelinearity je každý časový krok jednostupňovou aktualizací bez Newtonovy iterace.

Časový krok má horní mez danou podmínkou stability založenou na nejmenší vlastní periodě systému (podmínka CFL). Časový krok překračující tuto mez způsobí divergenci numerického řešení, takže nelze použít velké časové kroky jako u implicitní metody. Explicitní metoda je výhodná pro jevy, jako jsou náraz, šíření vln a vysokorychlostní kontakt, kde jsou malé časové kroky přirozeně nutné.

Je-li zahrnut kontakt, k vynucení kontaktních omezení se používá metoda Forward Increment Lagrange. Kontaktní síly se vyhodnocují způsobem konzistentním s jednostupňovou aktualizací explicitní metody.

Metoda řešení analýzy frekvenční odezvy¶

Analýza frekvenční odezvy přímo získává periodickou ustálenou odezvu ve frekvenční oblasti pomocí metody modální superpozice. Odezvu vyhodnocuje při změně budicí frekvence a nepotřebuje sledovat časovou historii prostřednictvím iterací. Neprovádějí se ani nelineární iterace, ani časová integrace.

Před provedením analýzy frekvenční odezvy musí být pro tentýž systém provedena modální analýza a musí být extrahován požadovaný počet vlastních módů. Podporovány jsou pouze lineární modely; analýzu nelze provést, je-li povolena geometrická nebo materiálová nelinearita. Zařazení tohoto typu analýzy naleznete v části Typy analýz.

Časový postup a nelineární iterace v nestacionárním vedení tepla¶

Nestacionární vedení tepla má vlastní časovou smyčku dokončenou v rámci !HEAT. Časový krok je řízen cestou oddělenou od !STEP a !AUTOINC_PARAM strukturální analýzy a pokud materiálové vlastnosti závisí na teplotě, provádí se v každém časovém kroku nelineární iterace.

Schéma časové integrace se volí parametrem \(\beta\) v !HEAT.

Časový krok je adaptivně řízen kombinací počátečního časového kroku, minimálního časového kroku a maximální změny teploty na krok. Pokud změna teploty po výpočtu v časovém kroku překročí DELTMX, časový krok se zmenší a krok se přepočítá. Analýza se ukončí, pokud časový krok klesne pod minimální časový krok DTMIN.

Když materiálové vlastnosti závisí na teplotě, provádí se v každém časovém kroku nelineární iterace. Iterace je řízena následovně.

Ustálené vedení tepla nepoužívá časové kroky; pokud materiálové vlastnosti závisí na teplotě, provádí se pouze nelineární iterace. Protože časové řízení analýzy vedení tepla je nezávislé na !STEP strukturální analýzy, při nastavování časového kroku zkontrolujte nastavení !HEAT.

Související témata¶

• Typy analýz — Zařazení jednotlivých typů analýz.
• Kontakt a vkládání — Volba typů kontaktu, definic dvojic a algoritmů řešení.
• Řešič a předpodmínění — Řešení lineárních soustav rovnic volaných uvnitř Newtonovy iterace.
• Řízení kroků — Vnější řízení kroků/podkroků a automatické přírůstky/cutback.
• Newton-Raphsonova metoda (teorie) — Formulace iterační metody řešení.
• Kritéria konvergence (teorie) — Matematické definice ukazatelů konvergence.
• Metody dynamické analýzy (teorie) — Formulace metod Newmark-β a centrálních diferencí.
• Nestacionární analýza vedení tepla (teorie) — Formulace časové integrace pro vedení tepla.
• Kontaktní analýza (teorie) — Formulace metody Lagrangeových multiplikátorů.
• Reference klíčových slov: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.