Přeskočit obsah

Elastoplasticita

Tato kapitola popisuje rámec elastoplastického konstitutivního zákona používaného ve FrontISTR. Podrobnosti o volbě a vstupních specifikacích jsou uvedeny v části Funkce 03_material.

Jev (plastická deformace)

TBD (bude doplněno v další fázi).

Rámec konstitutivního zákona

FrontISTR používá elastoplastickou konstitutivní rovnici založenou na asociovaném pravidle toku. Konstitutivní rovnice vyjadřuje vztah mezi Jaumannovou rychlostí Kirchhoffova napětí a tenzorem rychlosti deformace; analýza deformace používá aktualizovanou Lagrangeovu formulaci.

Předpokládejme, že podmínka kluzu elastoplastického materiálu je dána následujícím způsobem.

Počáteční podmínka kluzu:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Následná podmínka kluzu:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

kde

  • \(F\): funkce plasticity
  • \(\sigma_{y_0}\): počáteční mez kluzu
  • \(\sigma_y\): následná mez kluzu
  • \(\sigma\): tenzor napětí
  • \(e\): tenzor infinitesimálního přetvoření
  • \(e^p\): tenzor plastického přetvoření
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalentní plastické přetvoření

Předpokládá se, že vztah mezi mezí kluzu a ekvivalentním plastickým přetvořením odpovídá vztahu mezi napětím a plastickým přetvořením v jednoosém stavu.

Vztah mezi napětím a plastickým přetvořením v jednoosém stavu

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

kde \(H'\) je modul deformačního zpevnění.

Vztah mezi ekvivalentním napětím a ekvivalentním plastickým přetvořením

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Obecně je následná funkce plasticity funkcí teploty a práce plastického přetvoření, ale pro jednoduchost se zde předpokládá, že je funkcí pouze ekvivalentního plastického přetvoření \(\overline{e}^p\). Během rozvoje plastické deformace musí nadále platit \(F = 0\), a proto musí být splněna následující rovnice.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Zde \(\dot{F}\) označuje časovou derivaci \(F\). Dále se časová derivace veličiny \(A\) značí \(\dot{A}\).

Předpokládejme existenci plastického potenciálu \(\Theta\) a vyjádřeme rychlost plastického přetvoření následující rovnicí.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Zde \(\dot{\lambda}\) je koeficient.

Dále za předpokladu, že plastický potenciál \(\Theta\) je roven funkci plasticity \(F\), se použije následující asociované pravidlo toku.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Dosazením této rovnice do podmínky konzistence dostaneme následující rovnici.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Zde \(D\) je matice pružnosti a

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastický vztah napětí–přetvoření lze zapsat následujícím způsobem.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Jakmile je známa funkce plasticity \(F\) elastoplastického materiálu, získá se z tohoto výrazu jeho konstitutivní rovnice.

Funkce plasticity

Níže jsou uvedeny elastoplastické funkce plasticity používané ve FrontISTR.

Von Misesova funkce plasticity

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Zde \(J_2\) je druhý invariant deviátorického tenzoru napětí.

Mohr-Coulombova funkce plasticity

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Zde \(\sigma_1, \sigma_3\) jsou maximální a minimální hlavní napětí, \(c\) je koheze a \(\phi\) je úhel vnitřního tření.

Drucker-Pragerova funkce plasticity

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Zde se materiálové konstanty \(\alpha\) a \(\sigma_y\) vypočítají z koheze materiálu a úhlu tření následujícím způsobem.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Související témata