Přeskočit obsah

Tvarové funkce a aproximace konečnými prvky

Aby bylo možné výpočetně zpracovat slabou formulaci principu virtuální práce, rozdělí se oblast tělesa na konečný počet prvků a souřadnice materiálových bodů, posunutí a testovací funkce uvnitř každého prvku se interpolují z uzlových hodnot a tvarových funkcí. Prostorové derivace tvarových funkcí jsou popsány v části Prostorové derivace tvarových funkcí, diskretizace slabé formulace v části Diskretizace vnitřní virtuální práce a konkrétní tvary tvarových funkcí pro jednotlivé typy prvků v části Systém číslování prvků a knihovna tvarových funkcí a následujících částech.

Rozdělení oblasti a součty integrálů po prvcích

Oblast \(\Omega_0\) v referenční konfiguraci a oblast \(\Omega\) v aktuální konfiguraci se aproximují sjednocením prvků \(\Omega^e_0\), resp. \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) je číslo prvku a hranice prvků jsou sdíleny sousedními prvky.) Tím se objemové a povrchové integrály v principu virtuální práce rozloží na součty integrálů přes jednotlivé prvky:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Totéž platí pro aktuální konfiguraci po nahrazení \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) a \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Dále se vyhodnocení slabé formulace redukuje na konstrukci integrálů po jednotlivých prvcích.

Interpolace pomocí uzlových hodnot a tvarových funkcí (izoparametrické prvky)

Každému prvku \(\Omega^e_0\) je přiřazeno \(n_e\) uzlů. Označme souřadnice referenční konfigurace a uzlová posunutí uzlu prvku \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) jako \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Uzlové vektory prvku \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) a \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) vzniknou uspořádáním těchto hodnot; pro prvek \(e\) obsahují pouze složky uzlů tvořících daný prvek, vybrané z globálních uzlových vektorů \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) je celkový počet uzlů).

S použitím přirozených souřadnic \(\boldsymbol{r}\), které jsou lokálními souřadnicemi uvnitř prvku, jako parametrů interpolují tvarové funkce \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) materiálové souřadnice, posunutí a testovací funkci uvnitř prvku pomocí stejných tvarových funkcí (izoparametrický prvek a Galerkinova metoda):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Tvarové funkce se konstruují tak, aby splňovaly následující dvě vlastnosti, a geometrie prvku se volí tak, aby zobrazení \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) z přirozených souřadnic do materiálových souřadnic bylo uvnitř prvku prosté:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) je bod v přirozených souřadnicích odpovídající uzlu \(\alpha\) a \(\delta_{\alpha\beta}\) je Kroneckerovo delta.) První rovnice zaručuje reprodukci translace tuhého tělesa a druhá zaručuje, že interpolovaná hodnota se v každém uzlu shoduje s uzlovou hodnotou. Konkrétní tvary \(n_e\) a \(N_\alpha^e\) pro jednotlivé typy prvků jsou uvedeny v části Systém číslování prvků a knihovna tvarových funkcí a následujících částech. Aby se zabránilo příliš složitému zápisu, závislost na typu prvku se vyjadřuje horním indexem \(e\) příslušným prvku.

Při výše uvedených interpolačních pravidlech lze integrand slabé formulace vyjádřit pouze pomocí uzlových hodnot prvku \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) a \(N_\alpha^e\). Deformace se naopak odvozuje z interpolovaného posunutí a vztahu deformace-posunutí, zatímco napětí se odvozuje z této deformace a konstitutivního zákona materiálu; tyto veličiny se neinterpolují přímo z uzlových hodnot. Vyhodnocují se v integračních bodech uvnitř prvku (Numerická integrace).

Pravidlo uspořádání globálních uzlových vektorů

Fyzikální veličiny přiřazené uzlům se v globálním uzlovém vektoru uspořádávají vzestupně podle čísla uzlu → stupně volnosti. Označíme-li v uzlu \(\alpha\) složku stupně volnosti \(i\) jako \(u_{i\alpha}\), pak ve třech rozměrech (\(i=1,2,3\)), resp. ve dvou rozměrech (\(i=1,2\)), platí

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Souřadnice \(\boldsymbol{X}^n\) a testovací funkce \(\delta\boldsymbol{u}^n\) používají stejné uspořádání. V dalším textu jsou odvození v maticovém a vektorovém tvaru zapisována s trojrozměrným případem jako reprezentativním.

Související témata