Přeskočit obsah

Diskretizace vnitřní virtuální práce

Rovnice virtuální práce v čase \(t + \Delta t\) uvedená v části Rámec přírůstkové analýzy má podle volby referenční konfigurace 2 podoby, formulaci Updated Lagrange a Total Lagrange. V této kapitole se pomocí aproximace konečnými prvky zavedené v částech Tvarové funkce a aproximace konečnými prvky a Prostorové derivace tvarových funkcí prostorově diskretizuje vnitřní virtuální práce obou formulací a získají se vektory vnitřních sil prvku \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) a \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Pro prvek \(e\) označme jeho uzly \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); posunutí jako \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) a uspořádejme vektor uzlových posunutí prvku jako \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuální posunutí \(\delta \boldsymbol{u}^e\) se definuje ve stejném pořadí. Posunutí uvnitř prvku se interpoluje tvarovými funkcemi jako \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Vnitřní virtuální práce ve formulaci Updated Lagrange

Ve formulaci Updated Lagrange se v čase \(t\) jako referenční konfigurace používá aktuální konfigurace \({}^{t}\Omega\) a vnitřní virtuální práce se zapisuje pomocí Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) a lineární části Almansiho deformace \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) jako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Každou složku \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) lze pomocí souřadnic aktuální konfigurace \(\boldsymbol{x}\) vyjádřit jako lineární kombinaci derivací tvarových funkcí \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) a uzlových virtuálních posunutí \(\delta u^e_{i\alpha}\). Ve Voigtově zápisu lze tyto členy seskupit jako

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Uzlový blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) vznikne uspořádáním \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) podle Voigtovy konvence do matice \(6 \times 3\) a \(\boldsymbol{B}_L\) je matice deformace-posunutí pro formulaci UL. Dosazením do vnitřní virtuální práce a vytknutím \(\delta \boldsymbol{u}^e\) dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Pro \(\boldsymbol{q}^e\) je uzlový blok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) vnitřní silou prvku \(\Omega^e\) působící na uzel \(\alpha\).

Vnitřní virtuální práce ve formulaci Total Lagrange

Ve formulaci Total Lagrange se jako referenční konfigurace používá počáteční konfigurace \(\Omega_0\) a vnitřní virtuální práce se zapisuje pomocí 2. Piola-Kirchhoffova napětí \(\boldsymbol{S}\) a Greenovy-Lagrangeovy deformace \(\boldsymbol{E}\) jako

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variace \(\delta \boldsymbol{E}\) se rozdělí na člen lineární ve virtuálním posunutí a nelineární člen obsahující součiny s aktuálním gradientem posunutí \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Lineární člen lze zapsat použitím stejného pravidla uspořádání jako ve formulaci UL na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), čímž vznikne uzlový blok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Kvůli odlišné referenční konfiguraci se pouze složkové derivace mění z \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); používá se stejný symbol jako ve formulaci UL. Nelineární člen používá součiny aktuálního gradientu posunutí \(\partial u_k/\partial X_j\) a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), uspořádané podle Voigtovy konvence tak, aby vznikl uzlový blok \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Tedy \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) a \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) je matice deformace-posunutí pro formulaci TL. Dosazením do vnitřní virtuální práce dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Uzlový blok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) je vnitřní silou prvku \(\Omega^e_0\) působící na uzel \(\alpha\).

Vztah mezi UL/TL a výpočetním tokem

Vektory vnitřních sil prvku ve formulacích Updated Lagrange a Total Lagrange spolu souvisejí následovně.

Položka Formulace Updated Lagrange Formulace Total Lagrange
Referenční konfigurace Aktuální konfigurace \({}^{t}\Omega^e\) Počáteční konfigurace \(\Omega^e_0\)
Tenzor napětí Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) 2. PK napětí \(\boldsymbol{S}\)
Variace deformace \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matice B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Vnitřní síla prvku \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Obě se zpracovávají stejným postupem: z prostorových derivací tvarových funkcí se sestaví \(\boldsymbol{B}_L\); ve formulaci TL se z aktuálního gradientu posunutí sestaví a přidá \(\boldsymbol{B}_{NL}\); podle konstitutivního zákona se aktualizuje napětí (\(\boldsymbol{\sigma}\) nebo \(\boldsymbol{S}\)); a na integračních bodech se přes oblast prvku numericky integruje \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) nebo \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) (Numerická integrace). Kromě přepnutí referenční konfigurace (uzlových souřadnic a konstrukce matice \(\boldsymbol{B}\)) a záměny tenzoru napětí je postup společný, takže FrontISTR implementuje výpočet vnitřních sil pro obě formulace pomocí společných podprogramů. Sestavení vektorů vnitřních sil prvků \(\boldsymbol{q}^e\) a \(\boldsymbol{Q}^e\) do globálního vektoru vnitřních sil je popsáno v části Vnější virtuální práce a sestavení globálních rovnic.

Související témata