Přeskočit obsah

Virtuální práce vnějších sil a sestavení globálních rovnic

V části Diskretizace virtuální práce vnitřních sil byla levá strana slabé formulace vyjádřena pomocí elementového vektoru vnitřních sil \(\boldsymbol{q}^e\) (metoda UL) nebo \(\boldsymbol{Q}^e\) (metoda TL). V této kapitole zavedeme z virtuální práce vnějších sil elementový uzlový vektor vnějších sil \(\boldsymbol{F}^e\) a prostřednictvím operace sestavení, při níž se elementové uzlové veličiny přeuspořádají a sečtou podle globálních čísel uzlů, dospějeme k soustavě nelineárních rovnic pro uzlová posunutí, kterou řeší nelineární strukturální analýza FrontISTR.

Elementový rozklad virtuální práce vnějších sil

Pravou stranu principu virtuální práce lze po jednotlivých prvcích rozložit na virtuální práci vnějších sil tvořenou objemovými silami a předepsanými povrchovými silami na mechanické hranici. Abychom interpolaci posunutí zavedenou v části Tvarové funkce a aproximace metodou konečných prvků zapsali v maticovém tvaru, vezmeme pro uzel \(\alpha\) jeho tvarovou funkci \(N_\alpha^e\), umístíme ji na diagonálu bloku rozměru \(d \times d\) označeného \(\boldsymbol{N}_\alpha\) a tyto bloky vodorovně sestavíme do \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), takže \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Dosazením do virtuální práce vnějších sil zapsané v referenční konfiguraci dostaneme

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

kde jsme elementový uzlový vektor vnějších sil uspořádali jako \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuální práce vnějších sil se tak převede do stejného tvaru „elementový uzlový vektor × testovací funkce“ jako strana vnitřních sil (při zápisu v aktuální konfiguraci se stejný tvar získá náhradami \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) a \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Sestavení elementových uzlových veličin

Uzlové veličiny \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) získané pro jednotlivé prvky se přeuspořádají podle globálních čísel uzlů a sečtou do globálních vektorů. Označíme-li pro prvek \(\Omega^e\) globální číslo uzlu odpovídající jeho lokálnímu číslu uzlu \(\alpha\) jako

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

pak elementová uzlová veličina odpovídá příslušné složce globální uzlové veličiny (například \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Protože uzel \(i_g\) obecně sdílí více prvků, zavedeme množinu všech dvojic s globálním číslem uzlu \(i_g\), tedy dvojic \((e, \alpha)\),

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

a přepíšeme-li součet jako \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), získáme uzlovou vnitřní sílu a globální vektor vnitřních sil přes všech \(n_g\) uzlů:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Veličina \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) odpovídá výslednici elementových uzlových vnitřních sil působících v uzlu \(i_g\) a při rovnováze bez působení vnější síly je rovna \(\boldsymbol{0}\). Stejným postupem se v metodě UL získají \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); protože jejich hodnoty splňují \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), budeme dále s výjimkou míst, kde je rozlišení nutné, jednotně používat označení \(\boldsymbol{Q}\). Globální vektor vnějších sil \(\boldsymbol{F}\) se získá stejným součtem.

V implementaci se množina \(\mathcal{E}(i_g)\) nevytváří explicitně; příspěvky se místo toho přičítají do odpovídajících složek uvnitř smyčky přes prvky.

Inicializujte globální vektor vnitřních sil Q na 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (počet prvků)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Globální vektor vnějších sil \(\boldsymbol{F}\) se sestaví stejným postupem. Tato operace, při níž se elementové uzlové veličiny přičítají a ukládají do vektorů a matic číslovaných podle globálních čísel uzlů, se nazývá sestavení (assemble). Pro tenzory druhého řádu vztahující se ke dvěma číslům uzlů (například matice tuhosti) lze stejný typ sestavení vyjádřit pomocí množiny \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (konkrétní konstrukci viz Tečná matice tuhosti).

Nelineární rovnice, které je třeba řešit

Dosazením sestavených vnitřních a vnějších sil do principu virtuální práce a využitím toho, že vztah platí pro libovolnou testovací funkci \(\delta\boldsymbol{u}^n\) splňující geometrické okrajové podmínky, dostaneme

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

V kontextu inkrementální analýzy (Rámec inkrementální analýzy) znovu zavedeme časový dolní index \(_{n+1}\) a vynecháme horní index \(^n\) označující globální uzlový vektor. Rovnice, kterou je třeba řešit, pak má tvar

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Diskretizovaná okrajová úloha hledání v čase \(t_{n+1}\) uzlového posunutí \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) se tedy redukuje na řešení této nelineární rovnice v posunutí společně s geometrickými okrajovými podmínkami. Linearizace rovnice a konstrukce tečné matice tuhosti jsou popsány v části Tečná matice tuhosti a iterační metoda řešení v části Newtonova-Raphsonova metoda.

Související témata