Přeskočit obsah

Translation update pending

The Czech translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Pokročilé formulace prvků

Standardní formulace založená na posunutí uvedená v části Formulace 3D objemových prvků vykazuje při použití na téměř nestlačitelné materiály nebo tenkostěnné konstrukce s převládajícím ohybem nadměrnou umělou tuhost označovanou jako locking (objemový locking nebo smykový locking). Pro jeho omezení FrontISTR poskytuje metody B-bar a F-bar, které nahrazují pouze objemovou část matice B nebo deformačního gradientu; nekompatibilní prvky s vnitřními stupni volnosti; smíšené prvky u-p, které považují tlak za nezávislé neznámé pole; a skořepinové prvky MITC a nosníkové prvky specializované pro deskové a nosníkové konstrukce.

Tato kapitola shrnuje formulace těchto pokročilých a konstrukčních prvků po jednotlivých typech prvků.

Metoda B-bar

Při použití 8uzlového lineárního hexaedrického prvku pro téměř nestlačitelný materiál může být pole deformací uvnitř jednoho prvku v rozporu s podmínkou konstantního objemu, což vede k nadměrné tuhosti známé jako objemový locking. Metoda B-bar toto nadměrné omezení zmírňuje tím, že složky matice B přispívající k objemové dilataci nahradí hodnotami vyhodnocenými ve středu prvku [Hughes1980].

Ve středu prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) označme matici B vypočtenou z prostorových derivací tvarových funkcí jako \(\bar{\boldsymbol{B}}\); v integračním bodě \(\boldsymbol{r}\) označme běžnou matici B jako \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Ve vztahu mezi posunutím a deformací pro uzel \(\alpha\) a stupeň volnosti \(i\) se objemové složky deformace \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) upraví přičtením

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Pro smykové složky \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) se použije běžná \(\boldsymbol{B}\). Tuhost prvku a vektor vnitřních sil se sestaví s použitím výsledné matice B-bar.

FrontISTR poskytuje tuto formulaci konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek (ID prvku 361; viz Systém číslování prvků) a lze ji použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange.

Metoda F-bar

Při konečných deformacích vstupuje změna objemu nelineárně prostřednictvím deformačního gradientu \(\boldsymbol{F}\). Metoda F-bar [deSouzaNeto1996] aplikuje na úrovni deformačního gradientu opatření proti objemovému lockingu analogické metodě B-bar.

Označme objemový poměr deformačního gradientu vyhodnoceného ve středu prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) jako \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a objemový poměr v integračním bodě jako \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformační gradient v integračním bodě se nahradí výrazem

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tím dostaneme \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), takže objemový poměr v celém prvku odpovídá hodnotě ve středu prvku. Nahrazený \(\bar{\boldsymbol{F}}\) se používá pro vyhodnocení napětí a sestavení matice deformace-posunutí a tečná tuhost prvku zahrnuje dodatečné členy související s touto náhradou.

FrontISTR implementuje metodu F-bar konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek a lze ji použít jak pro malé deformace, tak pro nelineární geometrii Total Lagrange / Updated Lagrange.

Nekompatibilní prvky

8uzlovému lineárnímu hexaedrickému prvku chybějí deformační módy potřebné pro ohyb a v problémech s převládajícím ohybem vykazuje ohybový locking. Nekompatibilní prvky [Taylor1976] zavádějí do nitra prvku dodatečné módy posunutí, které tento nedostatek kompenzují.

Kromě uzlových posunutí prvku \(\boldsymbol{u}^e\) se zavedou stupně volnosti nekompatibilních módů \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), které existují pouze uvnitř prvku, jako 3 směry × 3 módy na prvek, a pole posunutí se aproximuje jako

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pro přirozené souřadnice \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) se nekompatibilní tvarové funkce volí jako \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) a \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Nezaručují spojitost přes hranice prvků, ale přidávají vnitřní prostor schopný reprodukovat deformace spojené s ohybovými módy.

Tuhost prvku se nejprve sestaví v blokovém tvaru pro vnější a vnitřní stupně volnosti

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po sestavení v tomto tvaru statická kondenzace eliminuje vnitřní stupně volnosti pomocí \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), čímž vznikne tuhost prvku zahrnující pouze vnější stupně volnosti

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

která se předá do globálního sestavení.

FrontISTR implementuje nekompatibilní prvek konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek (C3D8IC) a lze jej použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange.

Smíšené prvky U-P

Zatímco metody B-bar a F-bar korigují objemovou složku v rámci formulace založené na posunutí, smíšený prvek u-p (U-P) používá smíšenou formulaci [Bathe1996], která zavádí tlak \(\lambda\) jako neznámé pole nezávislé na posunutí. U téměř nestlačitelných materiálů, například pryžovitých materiálů s Poissonovým číslem velmi blízkým 0,5 nebo kovů po plastické deformaci, vede vynucení podmínky konstantního objemu pouze pomocí pole posunutí k objemovému lockingu; považování tlaku za nezávislou proměnnou toto omezení uvolňuje.

Napětí se rozdělí na deviátorickou a tlakovou složku jako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Zde \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) je deviátorická elastická matice získaná odstraněním objemové části úměrné objemovému modulu \(K\) z elastické matice. Tlak \(\lambda\) a objemová deformace \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) jsou svázány podmínkou prostřednictvím stlačitelnosti \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizace s posunutím \(\boldsymbol{u}\) a tlakem \(\lambda\) jako neznámými vede na sdružený systém prvku

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kde \(\mathbf{K}_{uu}\) obsahuje deviátorický elastický příspěvek a při konečných deformacích také geometrickou tuhost; \(\mathbf{K}_{up}\) váže objemovou deformaci a tlak; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) je člen stabilizace tlaku (\(\boldsymbol{N}_p\) je tvarová funkce tlaku). Protože tlakové stupně volnosti jsou vnitřními stupni volnosti prvku,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

v tomto tvaru se provede statická kondenzace a efektivní tuhost zahrnující pouze vnější (posunové) stupně volnosti se předá do globálního sestavení.

FrontISTR implementuje prvek U-P konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek s jedním tlakovým stupněm volnosti na prvek (konstantním uvnitř prvku). Lze jej použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange. Ve formulaci Updated Lagrange se deviátorické napětí aktualizuje pomocí objektivní rychlosti napětí (typu Jaumann/Hughes-Winget) a tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) se následně aplikuje s hodnotou získanou statickou kondenzací.

Skořepinové prvky

Skořepinové prvky založené na Reissnerově-Mindlinově teorii desek/skořepin se používají pro tenkostěnné deskové a skořepinové konstrukce. S klesající tloušťkou nízkořádové prvky desek/skořepin založené na posunutí nadhodnocují příčnou smykovou deformaci mechanismem analogickým objemovému lockingu (smykový locking), což způsobuje nadměrný růst tuhosti pro ohybové módy. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] tomuto problému zabraňuje tak, že znovu vzorkuje pouze složky smykové deformace v předem definovaných vazebních bodech prvku a tyto vzorkované hodnoty interpoluje zpět přes prvek.

Uzly skořepinového prvku MITC leží na střednicové ploše a každý uzel má šest stupňů volnosti: tři translační složky a tři rotační složky kolem souřadného systému normály ke střednicové ploše. Tuhost prvku se vyhodnocuje trojrozměrnou Gaussovou integrací přes přirozené souřadnice střednicové plochy a směr tloušťky a tloušťka \(h\) se při vyhodnocení konstitutivního vztahu zadává jako vlastnost prvku.

FrontISTR poskytuje MITC3 (ID prvku 731), MITC4 (741) a MITC9 (743), které jsou reprezentovány jedinou vrstvou střednicové plochy, a dále vrstvené skořepinové prvky MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 uzly, 3 stupně volnosti na uzel) a MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 uzly, 3 stupně volnosti na uzel), jejichž uzly jsou uspořádány ve dvou vrstvách přes tloušťku. U vrstvených skořepinových prvků tvoří uzlové stupně volnosti pouze tři translační složky, zatímco ohybové módy odpovídající rotačním stupňům volnosti jsou reprezentovány dvouvrstvým uspořádáním.

Nosníkové prvky

Prutové členy, například nosníky a rámové konstrukce, se diskretizují nosníkovými prvky. Nosníkové prvky popisují prodloužení, ohyb a kroucení pouze pomocí posunů a rotací uzlů na ose nosníku, přičemž deformace uvnitř průřezu je reprezentována průřezovými charakteristikami.

Každý uzel nosníku má šest stupňů volnosti: tři translační složky a tři rotační složky. Tuhost prvku se získá sestavením matic tuhosti v uzavřeném tvaru pro prodloužení, ohyb ve dvou směrech a kroucení v místním souřadném systému určeném osou prvku a referenční osou zadanou v datech průřezu a jejich následnou transformací do globálního souřadného systému. Plocha průřezu \(A\), druhé momenty plochy \(I_y\) a \(I_z\) kolem místních os \(y\) a \(z\) a torzní konstanta se zadávají jako data průřezu; společně s Youngovým modulem materiálu \(E\) a smykovým modulem \(G\) odvozeným z Youngova modulu a Poissonova poměru určují příslušné koeficienty tuhosti.

Pro ohyb jsou k dispozici dvě formulace: Bernoulliho-Eulerův nosník, který předpokládá, že průřez zůstává po deformaci kolmý k ose nosníku a zanedbává smykovou deformaci, a Timoshenkův nosník, který smykovou deformaci zohledňuje. U dvouuzlového nosníkového prvku 611 lze zvolit obě varianty; výchozí je Bernoulliho-Eulerův nosník. Pro Timoshenkův nosník s délkou prvku \(L\) se do koeficientů tuhosti pro příslušné ohybové roviny zahrnují koeficienty vyjadřující příspěvek smykové deformace

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

Například koeficient tuhosti pro průhyb v místním směru \(y\) je \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Zde \(A_s\) označuje smykovou plochu. Protože data průřezu ve FrontISTR neobsahují \(A_s\) samostatně, používá se \(A_s = A\). To odpovídá smykovému korekčnímu součiniteli rovnému 1. Při \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) se získá tuhost Bernoulliho-Eulerova nosníku.

Prvek 641 je prvek se smíšenými stupni volnosti, který reprezentuje nosník pomocí dvou uzlů s translačními stupni volnosti a dvou uzlů s rotačními stupni volnosti, a je formulován jako Bernoulliho-Eulerův nosník.

Související témata