Přeskočit obsah

Pokročilé formulace prvků

Standardní formulace založená na posunutí uvedená v části Formulace 3D objemových prvků vykazuje při použití na téměř nestlačitelné materiály nebo tenkostěnné konstrukce s převládajícím ohybem nadměrnou umělou tuhost označovanou jako locking (objemový locking nebo smykový locking). Pro jeho omezení FrontISTR poskytuje metody B-bar a F-bar, které nahrazují pouze objemovou část matice B nebo deformačního gradientu; nekompatibilní prvky s vnitřními stupni volnosti; smíšené prvky u-p, které považují tlak za nezávislé neznámé pole; a skořepinové prvky MITC a nosníkové prvky specializované pro deskové a nosníkové konstrukce.

Tato kapitola shrnuje formulace těchto pokročilých a konstrukčních prvků po jednotlivých typech prvků.

Metoda B-bar

Při použití 8uzlového lineárního hexaedrického prvku pro téměř nestlačitelný materiál může být pole deformací uvnitř jednoho prvku v rozporu s podmínkou konstantního objemu, což vede k nadměrné tuhosti známé jako objemový locking. Metoda B-bar toto nadměrné omezení zmírňuje tím, že složky matice B přispívající k objemové dilataci nahradí hodnotami vyhodnocenými ve středu prvku [Hughes1980].

Ve středu prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) označme matici B vypočtenou z prostorových derivací tvarových funkcí jako \(\bar{\boldsymbol{B}}\); v integračním bodě \(\boldsymbol{r}\) označme běžnou matici B jako \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Ve vztahu mezi posunutím a deformací pro uzel \(\alpha\) a stupeň volnosti \(i\) se objemové složky deformace \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) upraví přičtením

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Pro smykové složky \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) se použije běžná \(\boldsymbol{B}\). Tuhost prvku a vektor vnitřních sil se sestaví s použitím výsledné matice B-bar.

FrontISTR poskytuje tuto formulaci konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek (ID prvku 361; viz Systém číslování prvků) a lze ji použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange.

Metoda F-bar

Při konečných deformacích vstupuje změna objemu nelineárně prostřednictvím deformačního gradientu \(\boldsymbol{F}\). Metoda F-bar [deSouzaNeto1996] aplikuje na úrovni deformačního gradientu opatření proti objemovému lockingu analogické metodě B-bar.

Označme objemový poměr deformačního gradientu vyhodnoceného ve středu prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) jako \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a objemový poměr v integračním bodě jako \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformační gradient v integračním bodě se nahradí výrazem

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tím dostaneme \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), takže objemový poměr v celém prvku odpovídá hodnotě ve středu prvku. Nahrazený \(\bar{\boldsymbol{F}}\) se používá pro vyhodnocení napětí a sestavení matice deformace-posunutí a tečná tuhost prvku zahrnuje dodatečné členy související s touto náhradou.

FrontISTR implementuje metodu F-bar konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek a lze ji použít jak pro malé deformace, tak pro nelineární geometrii Total Lagrange / Updated Lagrange.

Nekompatibilní prvky

8uzlovému lineárnímu hexaedrickému prvku chybějí deformační módy potřebné pro ohyb a v problémech s převládajícím ohybem vykazuje ohybový locking. Nekompatibilní prvky [Taylor1976] zavádějí do nitra prvku dodatečné módy posunutí, které tento nedostatek kompenzují.

Kromě uzlových posunutí prvku \(\boldsymbol{u}^e\) se zavedou stupně volnosti nekompatibilních módů \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), které existují pouze uvnitř prvku, jako 3 směry × 3 módy na prvek, a pole posunutí se aproximuje jako

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pro přirozené souřadnice \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) se nekompatibilní tvarové funkce volí jako \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) a \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Nezaručují spojitost přes hranice prvků, ale přidávají vnitřní prostor schopný reprodukovat deformace spojené s ohybovými módy.

Tuhost prvku se nejprve sestaví v blokovém tvaru pro vnější a vnitřní stupně volnosti

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po sestavení v tomto tvaru statická kondenzace eliminuje vnitřní stupně volnosti pomocí \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), čímž vznikne tuhost prvku zahrnující pouze vnější stupně volnosti

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

která se předá do globálního sestavení.

FrontISTR implementuje nekompatibilní prvek konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek (C3D8IC) a lze jej použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange.

Smíšené prvky U-P

Zatímco metody B-bar a F-bar korigují objemovou složku v rámci formulace založené na posunutí, smíšený prvek u-p (U-P) používá smíšenou formulaci [Bathe1996], která zavádí tlak \(\lambda\) jako neznámé pole nezávislé na posunutí. U téměř nestlačitelných materiálů, například pryžovitých materiálů s Poissonovým číslem velmi blízkým 0,5 nebo kovů po plastické deformaci, vede vynucení podmínky konstantního objemu pouze pomocí pole posunutí k objemovému lockingu; považování tlaku za nezávislou proměnnou toto omezení uvolňuje.

Napětí se rozdělí na deviátorickou a tlakovou složku jako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Zde \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) je deviátorická elastická matice získaná odstraněním objemové části úměrné objemovému modulu \(K\) z elastické matice. Tlak \(\lambda\) a objemová deformace \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) jsou svázány podmínkou prostřednictvím stlačitelnosti \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizace s posunutím \(\boldsymbol{u}\) a tlakem \(\lambda\) jako neznámými vede na sdružený systém prvku

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kde \(\mathbf{K}_{uu}\) obsahuje deviátorický elastický příspěvek a při konečných deformacích také geometrickou tuhost; \(\mathbf{K}_{up}\) váže objemovou deformaci a tlak; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) je člen stabilizace tlaku (\(\boldsymbol{N}_p\) je tvarová funkce tlaku). Protože tlakové stupně volnosti jsou vnitřními stupni volnosti prvku,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

v tomto tvaru se provede statická kondenzace a efektivní tuhost zahrnující pouze vnější (posunové) stupně volnosti se předá do globálního sestavení.

FrontISTR implementuje prvek U-P konkrétně pro 8uzlový lineární hexaedrický prvek s jedním tlakovým stupněm volnosti na prvek (konstantním uvnitř prvku). Lze jej použít pro formulace malých deformací, Total Lagrange a Updated Lagrange. Ve formulaci Updated Lagrange se deviátorické napětí aktualizuje pomocí objektivní rychlosti napětí (typu Jaumann/Hughes-Winget) a tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) se následně aplikuje s hodnotou získanou statickou kondenzací.

Skořepinové prvky

Skořepinové prvky založené na Reissnerově-Mindlinově teorii desek/skořepin se používají pro tenkostěnné deskové a skořepinové konstrukce. S klesající tloušťkou nízkořádové prvky desek/skořepin založené na posunutí nadhodnocují příčnou smykovou deformaci mechanismem analogickým objemovému lockingu (smykový locking), což způsobuje nadměrný růst tuhosti pro ohybové módy. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] tomuto problému zabraňuje tak, že znovu vzorkuje pouze složky smykové deformace v předem definovaných vazebních bodech prvku a tyto vzorkované hodnoty interpoluje zpět přes prvek.

Uzly skořepinového prvku MITC leží na střednicové ploše a každý uzel má šest stupňů volnosti: tři translační složky a tři rotační složky kolem souřadného systému normály ke střednicové ploše. Tuhost prvku se vyhodnocuje trojrozměrnou Gaussovou integrací přes přirozené souřadnice střednicové plochy a směr tloušťky a tloušťka \(h\) se při vyhodnocení konstitutivního vztahu zadává jako vlastnost prvku.

FrontISTR poskytuje MITC3 (ID prvku 731), MITC4 (741) a MITC9 (743), které jsou reprezentovány jedinou vrstvou střednicové plochy, a dále vrstvené skořepinové prvky MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 uzly, 3 stupně volnosti na uzel) a MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 uzly, 3 stupně volnosti na uzel), jejichž uzly jsou uspořádány ve dvou vrstvách přes tloušťku. U vrstvených skořepinových prvků tvoří uzlové stupně volnosti pouze tři translační složky, zatímco ohybové módy odpovídající rotačním stupňům volnosti jsou reprezentovány dvouvrstvým uspořádáním.

Nosníkové prvky

Prutové členy, například nosníky a rámové konstrukce, se diskretizují nosníkovými prvky. FrontISTR používá Timoshenkovu formulaci nosníku, která zohledňuje smykovou deformaci a vyjadřuje ohyb i smyk jako funkce translačních a rotačních stupňů volnosti.

Každý uzel nosníku má šest stupňů volnosti: tři translační složky a tři rotační složky kolem osy nosníku a příčných os. Tuhost prvku se vyhodnocuje jednorozměrnou numerickou integrací podél osy nosníku. Plocha průřezu \(A\) a druhé momenty plochy \(I\) ve směrech ohybu a kroucení se zadávají jako vlastnosti průřezu nosníku a spolu s Youngovým modulem \(E\) a smykovým modulem \(G\) určují osovou, ohybovou, torzní a smykovou tuhost.

FrontISTR poskytuje 2uzlový přímý nosníkový prvek (ID prvku 611) a 4uzlový tetraedrický hybridní objemově-nosníkový prvek reprezentovaný 3 uzly (641, pro smíšené stupně volnosti).

Související témata