Pohyb, deformace a přetvoření¶

Referenční a aktuální konfigurace¶

Definice konfigurací¶

Pro rozlišení, který tvar v čase se používá jako základ pro popis fyzikálních veličin, používá tento manuál dvě konfigurace.

Referenční konfigurace: nedeformovaný tvar na začátku analýzy (čas \(0\)), nazývaný také počáteční konfigurace. Bod v referenční konfiguraci je reprezentován materiálovou souřadnicí \(\boldsymbol{X}\), s objemem \(V\) a povrchem \(S\).
Aktuální konfigurace: deformovaný tvar v čase \(t\). Bod v aktuální konfiguraci je reprezentován prostorovou souřadnicí \(\boldsymbol{x}\), s objemem \(v\) a povrchem \(s\).

Pohyb se reprezentuje jako zobrazení mezi těmito dvěma konfiguracemi, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), a posunutí se definuje jako \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Zápis závislý na konfiguraci (velká/malá písmena)¶

Velikost písmene symbolu rozlišuje konfiguraci, ke které fyzikální veličina náleží.

Veličiny náležející referenční konfiguraci se zapisují velkými symboly (například \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Veličiny náležející aktuální konfiguraci se zapisují malými symboly (například \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Veličiny propojující obě konfigurace, například první Piola-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{P}\), používají obvyklý zápis a podle potřeby jsou v textu výslovně určeny.
V teorii malých deformací rozdíl mezi oběma konfiguracemi mizí, proto se používají pouze malé symboly (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradienty v referenční a aktuální konfiguraci¶

Zápis a význam se liší podle konfigurace, vzhledem k níž se prostorová derivace počítá.

Gradient v referenční konfiguraci \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient vzhledem k materiálovým souřadnicím. Příklad: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient v aktuální konfiguraci \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient vzhledem k prostorovým souřadnicím. Příklad: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Jsou svázány vztahem \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Konvenci pro časové derivace (materiálová časová derivace \(\dot{(\cdot)}\)) naleznete v části Tenzorový zápis a matematické základy.

Popis pohybu¶

Zobrazení pohybu a materiálový/prostorový popis¶

Považujeme-li kontinuum za soubor materiálových bodů označených jejich polohou \(\boldsymbol{X}\) v čase \(0\), pohyb se vyjadřuje zobrazením \(\phi\), které každému materiálovému bodu \(\boldsymbol{X}\) přiřazuje jeho polohu \(\boldsymbol{x}\) v čase \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Při konvenci, že referenční konfigurace je počáteční konfigurací, platí \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Podle volby nezávislých proměnných se rozlišují dva popisy.

Materiálový popis (Lagrangeův popis): vyjadřuje fyzikální veličiny jako funkce \((\boldsymbol{X}, t)\). V mechanice pevných těles je to přirozená volba, protože referenční konfigurace je dána jako pevný tvar.
Prostorový popis (Eulerův popis): vyjadřuje fyzikální veličiny jako funkce \((\boldsymbol{x}, t)\). Jde o standardní popis v mechanice tekutin.

Strukturální analýza FrontISTR je v zásadě založena na materiálovém popisu, ale metoda Updated Lagrange používá také veličiny v prostorovém popisu, protože aktuální konfigurace se používá jako nová referenční konfigurace.

Posunutí, rychlost a zrychlení¶

Jak bylo uvedeno v předchozí části, posunutí \(\boldsymbol{u}\) je definováno vztahem \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). O jeho velikosti se nic nepředpokládá, takže jsou zahrnuty i konečné deformace. Vektory rychlosti a zrychlení jsou definovány jako materiálové časové derivace \(\boldsymbol{u}\) při pevném materiálovém bodu:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Tyto rovnice definují rychlost a zrychlení.

Deformační gradient a deformační tenzory¶

Tenzor deformačního gradientu¶

Základní veličinou v mechanice kontinua s konečnými deformacemi je tenzor deformačního gradientu \(\boldsymbol{F}\). Je to lineární zobrazení, které převádí infinitesimální úsečku \(d\boldsymbol{X}\) v referenční konfiguraci na infinitesimální úsečku \(d\boldsymbol{x}\) v aktuální konfiguraci, a definuje se jako gradient zobrazení pohybu vzhledem k materiálovým souřadnicím:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Při této definici (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) platí v nedeformovaném stavu \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) se široce používá k definici deformace a napětí a k transformaci fyzikálních veličin mezi konfiguracemi.

Poměr objemů¶

Poměr odpovídajícího infinitesimálního objemu \(dv\) v aktuální konfiguraci k infinitesimálnímu objemu \(dV\) v referenční konfiguraci se nazývá poměr objemů \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibilita kontinua vyžaduje \(J > 0\). Zákon zachování hmotnosti se vyjadřuje jako \(\rho_0 = J\rho\).

Pravý a levý Cauchyho-Greenův deformační tenzor¶

Protože deformační gradient \(\boldsymbol{F}\) obsahuje rotaci tuhého tělesa, používají se jako míry vlastní deformace veličiny, z nichž byla rotace tuhého tělesa odstraněna. Pravý Cauchyho-Greenův deformační tenzor \(\boldsymbol{C}\) (referenční konfigurace) a levý Cauchyho-Greenův deformační tenzor \(\boldsymbol{b}\) (aktuální konfigurace) se definují jako

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Oba jsou symetrické tenzory a mají stejná vlastní čísla (druhé mocniny hlavních protažení). Hlavní invarianty hyperelastických funkcí deformační energie se vyjadřují pomocí těchto tenzorů.

Tenzory přetvoření¶

Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření¶

Jako míra přetvoření vztažená k referenční konfiguraci se Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření \(\boldsymbol{E}\) definuje jako

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Je to symetrický tenzor vyjadřující změnu skalárního součinu infinitesimálních vektorů v referenční konfiguraci, je invariantní vůči rotaci tuhého tělesa a v nedeformovaném stavu splňuje \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Použitím \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) dostaneme

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Tento vztah vyjadřuje přetvoření jako součet členů prvního a druhého řádu v gradientu posunutí; člen druhého řádu představuje geometrickou nelinearitu. V metodě Total Lagrange se používá jako energeticky sdružená dvojice \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansiho tenzor přetvoření¶

Jako míra přetvoření vztažená k aktuální konfiguraci se Almansiho tenzor přetvoření \(\boldsymbol{e}\) definuje jako

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

S Greenovým-Lagrangeovým přetvořením souvisí vztahem \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tenzor infinitesimálního přetvoření¶

Je-li gradient posunutí malý (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), lze zanedbat člen druhého řádu Greenova-Lagrangeova přetvoření. Protože pak rozdíl mezi oběma konfiguracemi mizí, vztah se redukuje na tenzor infinitesimálního přetvoření \(\boldsymbol{\varepsilon}\), přičemž gradient je zapsán v prostorových souřadnicích:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR používá tuto míru přetvoření pro lineární statickou analýzu, modální analýzu, analýzu frekvenční odezvy a lineární dynamickou analýzu. Analýza konečných deformací používá \(\boldsymbol{E}\) v metodě Total Lagrange a tenzor rychlosti deformace \(\boldsymbol{D}\) vztažený k aktuální konfiguraci v metodě Updated Lagrange.