Přeskočit obsah

Translation update pending

The Czech translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Seznam symbolů fyzikálních veličin

Tato stránka uvádí symboly fyzikálních veličin používané v teoretické příručce FrontISTR. Konvence zápisu (tučné značení vektorů a tenzorů, Einsteinova sumační konvence a Voigtův zápis) viz Tenzorový zápis a matematické základy.

Konfigurace a souřadnicové systémy

Symbol Popis
\(\boldsymbol{X}\) Polohový vektor materiálového bodu v referenční (počáteční) konfiguraci (materiálové souřadnice)
\(\boldsymbol{x}\) Polohový vektor materiálového bodu v aktuální konfiguraci (prostorové souřadnice)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Zobrazení pohybu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Oblast zaujímaná tělesem v referenční konfiguraci
\(\Omega\) Oblast zaujímaná tělesem v aktuální konfiguraci
\(\Gamma_0\) Hranice \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Hranice \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrická (posunová) hranice: hranice v aktuální/referenční konfiguraci, na níž je předepsáno \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mechanická hranice: hranice v aktuální/referenční konfiguraci, na níž je předepsáno \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (nebo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vnější jednotkový normálový vektor k ploše v aktuální konfiguraci
\(\boldsymbol{N}\) Vnější jednotkový normálový vektor k ploše v referenční konfiguraci
\(t\) Čas

Konvence: Fyzikální veličiny v referenční konfiguraci se označují velkými písmeny nebo indexem \(0\), zatímco veličiny v aktuální konfiguraci malými písmeny.

Čas a přírůstky (přírůstková analýza)

Symbol Popis
\(\Delta t\) Časový přírůstek: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fyzikální veličina v čase \(t\) (levý horní index). Příklad: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napětí v čase \(t\)
\(^{t}\Omega\) Oblast aktuální konfigurace v čase \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Hranice aktuální konfigurace v čase \(t\)

Konvence: V přírůstkové analýze se stav do času \(t\) považuje za známý a stav v čase \(t + \Delta t\) se řeší jako neznámý. Levý horní index se vynechává, není-li třeba čas explicitně uvádět. Formulace používající jako referenci referenční konfiguraci \(\Omega_0\) se nazývá formulace Total Lagrange, zatímco formulace používající jako referenci aktuální konfiguraci \(^{t}\Omega\) na začátku přírůstku se nazývá formulace Updated Lagrange.

Posunutí, rychlost, zrychlení a objemová síla

Symbol Popis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor posunutí: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Posunutí předepsané na geometrické hranici \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuální posunutí (testovací funkce): na \(\Gamma_B\) platí \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor rychlosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor zrychlení: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Objemová síla (na jednotku hmotnosti)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor trakce (na jednotku plochy): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Trakce předepsaná na mechanické hranici \(\Gamma_t\) (Neumannova data)

Diferenciální operátory

Symbol Popis
\(\dot{(\cdot)}\) Materiálová časová derivace (časová derivace sledující tentýž materiálový bod): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient v referenční konfiguraci (gradient podle materiálových souřadnic \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient v aktuální konfiguraci (gradient podle prostorových souřadnic \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operátor symetrického gradientu: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Poznámka: \(\nabla_X\) a \(\nabla_x\) souvisejí vztahem \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez indexu, \(\nabla\), se používá, je-li konfigurace z kontextu zřejmá nebo když rozlišení zaniká, například v úlohách s malými deformacemi.

Tenzory deformace

Symbol Popis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor deformačního gradientu: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Poměr objemů: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Pravý Cauchyho-Greenův tenzor deformace: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Levý Cauchyho-Greenův tenzor deformace: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradientu rychlosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor rychlosti deformace (symetrická část \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor rotace (antisymetrická část \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzory přetvoření

Symbol Popis
\(\boldsymbol{E}\) Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření (referenční konfigurace): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansiho tenzor přetvoření (aktuální konfigurace): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Lineární část Almansiho tenzoru přetvoření (symetrický gradient posunutí v aktuální konfiguraci): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor malého přetvoření (lineární aproximace): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Poznámka: \(\boldsymbol{E}\) se používá především ve formulaci Total Lagrange, zatímco \(\boldsymbol{D}\) především ve formulaci Updated Lagrange.

Tenzory napětí

Symbol Popis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyho tenzor napětí (skutečné napětí, aktuální konfigurace): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) První Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí (nominální napětí): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Druhý Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí (referenční konfigurace, symetrický): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Převodní vztahy mezi tenzory napětí:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvence: Formulace Total Lagrange používá dvojici \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), zatímco formulace Updated Lagrange používá dvojici \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Hustota a hmotnost

Symbol Popis
\(\rho\) Hustota v aktuální konfiguraci
\(\rho_0\) Hustota v referenční konfiguraci

Zákon zachování hmotnosti: \(\rho_0 = J\rho\).

Materiálové konstanty (lineární elasticita)

Symbol Popis
\(E\) Youngův modul
\(\nu\) Poissonovo číslo
\(\lambda\) První Lamého konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druhá Lamého konstanta (modul pružnosti ve smyku): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elasticity (čtvrtého řádu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), složky \(C_{ijkl}\)
\(D\) (nebo \(\hat{\tilde{C}}\)) Materiálová matice (Voigtův zápis, \(6\times6\) ve 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Složky tenzoru elasticity pro izotropní lineárně elastický materiál:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastické materiály

Symbol Popis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkce elastického potenciálu (hustota deformační energie)
\(I_1, I_2, I_3\) Hlavní invarianty pravého Cauchyho-Greenova tenzoru \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Redukované invarianty \(\boldsymbol{C}\) (oddělená objemová změna)
\(C_1, C_2\) Materiálové konstanty Mooneyho-Rivlinova modelu
\(D\) Materiálová konstanta související s objemovou elasticitou

Elastoplastické materiály

Symbol Popis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastická složka tenzoru rychlosti deformace
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastická složka tenzoru rychlosti deformace
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkce plasticity
\(\kappa\) Vnitřní proměnná reprezentující plastický stav (proměnná izotropního zpevnění)
\(\lambda^p\) Plastický multiplikátor (multiplikátor rychlosti plastického přetvoření): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastický potenciál (\(\Theta = F\) pro asociované pravidlo toku)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentní napětí (např. von Misesovo napětí)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentní plastické přetvoření
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkce izotropního zpevnění

Podmínka komplementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metoda konečných prvků

Symbol Popis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Oblasti v aktuální a referenční konfiguraci aproximované diskretizací konečnými prvky: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Oblast prvku v aktuální a referenční konfiguraci
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Část hranice prvku náležející mechanické hranici
\(\boldsymbol{r}\) Přirozené souřadnice (lokální souřadnice prvku)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Bod v přirozených souřadnicích odpovídající uzlu \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Tvarová funkce prvku \(e\) odpovídající uzlu \(\alpha\)
\(n_e\) Počet uzlů tvořících prvek
\(n_g\) Celkový počet globálních uzlů
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Souřadnice a posunutí uzlu \(\alpha\) prvku
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektory uzlových souřadnic a posunutí prvku: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atd.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globální vektory uzlových souřadnic a posunutí (seřazené podle čísla uzlu a poté stupně volnosti)
\(\boldsymbol{B}\) Matice vztahu přetvoření–posunutí (B-matice)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matice tvarových funkcí: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je pro uzel \(\alpha\) blok s tvarovou funkcí \(N_\alpha^e\) na diagonále o velikosti \(d \times d\); \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matice tuhosti prvku
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandy matice tuhosti prvku (vyjádřené v referenční a aktuální konfiguraci): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulace TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulace UL) Vektor vnitřních sil prvku
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Uzlová vnější síla působící na uzel \(\alpha\) prvku a vektor uzlových vnějších sil prvku: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globální vektor vnitřních sil a globální vektor vnějších sil: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); obdobně pro \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Uzlová vnitřní síla a uzlová vnější síla v globálním uzlu \(i_g\) (uzlové bloky \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globální tečná matice tuhosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matice vytvořená umístěním bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) do řádku \(i_g\), sloupce \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor rezidua v Newtonově-Raphsonově iteraci: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekce v Newtonově-Raphsonově iteraci (v \(i\). iteraci získaná řešením lineární rovnice \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\))
\(i_g\) Číslo globálního uzlu (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Číslo globálního uzlu odpovídající prvku \(e\) a lokálnímu číslu uzlu \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Pro číslo globálního uzlu \(i_g\) množina odpovídajících dvojic \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Používá se při sestavování
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Pro dvojici čísel globálních uzlů \((i_g, i_h)\) množina odpovídajících trojic \((e, \alpha, \beta)\); používá se při sestavování matice tuhosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indexy uzlů tvořících prvek
\(i, j, k, l, \ldots\) Indexy stupňů volnosti (\(1, 2, 3\) ve 3D)

Pokročilé a konstrukční prvky

Symbol Popis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matice vztahu přetvoření–posunutí s objemovou částí upravenou metodou B-bar (objemová složka je nahrazena B-maticí vyhodnocenou ve středu prvku)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformační gradient s objemovou částí upravenou metodou F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Poměr objemů deformačního gradientu vyhodnoceného ve středu prvku \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor vnitřních stupňů volnosti prvku s nekompatibilními módy (koeficienty doplňkových módů posunutí, které nevynucují spojitost na hranici prvku)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Tvarové funkce pro nekompatibilní módy: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Tloušťka skořepinového prvku
\(A\) Plocha průřezu nosníkového prvku
\(I\) Druhý moment plochy průřezu nosníkového prvku (kolem místních os \(y\) a \(z\) se značí \(I_y\) a \(I_z\))
\(G\) Modul pružnosti ve smyku: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Délka nosníkového prvku
\(A_s\) Smyková plocha průřezu nosníkového prvku (FrontISTR používá \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Součinitele vyjadřující příspěvek smykové deformace u Timoshenkova nosníku: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Související témata