Seznam symbolů fyzikálních veličin
Tato stránka uvádí symboly fyzikálních veličin používané v teoretické příručce FrontISTR. Konvence zápisu (tučné značení vektorů a tenzorů, Einsteinova sumační konvence a Voigtův zápis) viz Tenzorový zápis a matematické základy.
Konfigurace a souřadnicové systémy
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{X}\) | Polohový vektor materiálového bodu v referenční (počáteční) konfiguraci (materiálové souřadnice) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Polohový vektor materiálového bodu v aktuální konfiguraci (prostorové souřadnice) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Zobrazení pohybu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Oblast zaujímaná tělesem v referenční konfiguraci |
| \(\Omega\) | Oblast zaujímaná tělesem v aktuální konfiguraci |
| \(\Gamma_0\) | Hranice \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Hranice \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrická (posunová) hranice: hranice v aktuální/referenční konfiguraci, na níž je předepsáno \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanická hranice: hranice v aktuální/referenční konfiguraci, na níž je předepsáno \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (nebo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vnější jednotkový normálový vektor k ploše v aktuální konfiguraci |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vnější jednotkový normálový vektor k ploše v referenční konfiguraci |
| \(t\) | Čas |
Konvence: Fyzikální veličiny v referenční konfiguraci se označují velkými písmeny nebo indexem \(0\), zatímco veličiny v aktuální konfiguraci malými písmeny.
Čas a přírůstky (přírůstková analýza)
| Symbol | Popis |
| \(\Delta t\) | Časový přírůstek: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fyzikální veličina v čase \(t\) (levý horní index). Příklad: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napětí v čase \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Oblast aktuální konfigurace v čase \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Hranice aktuální konfigurace v čase \(t\) |
Konvence: V přírůstkové analýze se stav do času \(t\) považuje za známý a stav v čase \(t + \Delta t\) se řeší jako neznámý. Levý horní index se vynechává, není-li třeba čas explicitně uvádět. Formulace používající jako referenci referenční konfiguraci \(\Omega_0\) se nazývá formulace Total Lagrange, zatímco formulace používající jako referenci aktuální konfiguraci \(^{t}\Omega\) na začátku přírůstku se nazývá formulace Updated Lagrange.
Posunutí, rychlost, zrychlení a objemová síla
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vektor posunutí: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Posunutí předepsané na geometrické hranici \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuální posunutí (testovací funkce): na \(\Gamma_B\) platí \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vektor rychlosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vektor zrychlení: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Objemová síla (na jednotku hmotnosti) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vektor trakce (na jednotku plochy): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Trakce předepsaná na mechanické hranici \(\Gamma_t\) (Neumannova data) |
Diferenciální operátory
| Symbol | Popis |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiálová časová derivace (časová derivace sledující tentýž materiálový bod): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient v referenční konfiguraci (gradient podle materiálových souřadnic \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient v aktuální konfiguraci (gradient podle prostorových souřadnic \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operátor symetrického gradientu: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Poznámka: \(\nabla_X\) a \(\nabla_x\) souvisejí vztahem \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez indexu, \(\nabla\), se používá, je-li konfigurace z kontextu zřejmá nebo když rozlišení zaniká, například v úlohách s malými deformacemi.
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tenzor deformačního gradientu: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Poměr objemů: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Pravý Cauchyho-Greenův tenzor deformace: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Levý Cauchyho-Greenův tenzor deformace: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tenzor gradientu rychlosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tenzor rychlosti deformace (symetrická část \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tenzor rotace (antisymetrická část \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tenzory přetvoření
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{E}\) | Greenův-Lagrangeův tenzor přetvoření (referenční konfigurace): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansiho tenzor přetvoření (aktuální konfigurace): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineární část Almansiho tenzoru přetvoření (symetrický gradient posunutí v aktuální konfiguraci): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tenzor malého přetvoření (lineární aproximace): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Poznámka: \(\boldsymbol{E}\) se používá především ve formulaci Total Lagrange, zatímco \(\boldsymbol{D}\) především ve formulaci Updated Lagrange.
Tenzory napětí
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchyho tenzor napětí (skutečné napětí, aktuální konfigurace): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | První Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí (nominální napětí): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Druhý Piolův-Kirchhoffův tenzor napětí (referenční konfigurace, symetrický): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Převodní vztahy mezi tenzory napětí:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvence: Formulace Total Lagrange používá dvojici \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), zatímco formulace Updated Lagrange používá dvojici \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Hustota a hmotnost
| Symbol | Popis |
| \(\rho\) | Hustota v aktuální konfiguraci |
| \(\rho_0\) | Hustota v referenční konfiguraci |
Zákon zachování hmotnosti: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiálové konstanty (lineární elasticita)
| Symbol | Popis |
| \(E\) | Youngův modul |
| \(\nu\) | Poissonovo číslo |
| \(\lambda\) | První Lamého konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Druhá Lamého konstanta (modul pružnosti ve smyku): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tenzor elasticity (čtvrtého řádu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), složky \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (nebo \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiálová matice (Voigtův zápis, \(6\times6\) ve 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Složky tenzoru elasticity pro izotropní lineárně elastický materiál:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastické materiály
| Symbol | Popis |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funkce elastického potenciálu (hustota deformační energie) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hlavní invarianty pravého Cauchyho-Greenova tenzoru \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Redukované invarianty \(\boldsymbol{C}\) (oddělená objemová změna) |
| \(C_1, C_2\) | Materiálové konstanty Mooneyho-Rivlinova modelu |
| \(D\) | Materiálová konstanta související s objemovou elasticitou |
Elastoplastické materiály
| Symbol | Popis |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastická složka tenzoru rychlosti deformace |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastická složka tenzoru rychlosti deformace |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funkce plasticity |
| \(\kappa\) | Vnitřní proměnná reprezentující plastický stav (proměnná izotropního zpevnění) |
| \(\lambda^p\) | Plastický multiplikátor (multiplikátor rychlosti plastického přetvoření): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastický potenciál (\(\Theta = F\) pro asociované pravidlo toku) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentní napětí (např. von Misesovo napětí) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentní plastické přetvoření |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funkce izotropního zpevnění |
Podmínka komplementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda konečných prvků
| Symbol | Popis |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Oblasti v aktuální a referenční konfiguraci aproximované diskretizací konečnými prvky: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Oblast prvku v aktuální a referenční konfiguraci |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Část hranice prvku náležející mechanické hranici |
| \(\boldsymbol{r}\) | Přirozené souřadnice (lokální souřadnice prvku) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Bod v přirozených souřadnicích odpovídající uzlu \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Tvarová funkce prvku \(e\) odpovídající uzlu \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Počet uzlů tvořících prvek |
| \(n_g\) | Celkový počet globálních uzlů |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Souřadnice a posunutí uzlu \(\alpha\) prvku |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektory uzlových souřadnic a posunutí prvku: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atd. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globální vektory uzlových souřadnic a posunutí (seřazené podle čísla uzlu a poté stupně volnosti) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matice vztahu přetvoření–posunutí (B-matice) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matice tvarových funkcí: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je pro uzel \(\alpha\) blok s tvarovou funkcí \(N_\alpha^e\) na diagonále o velikosti \(d \times d\); \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matice tuhosti prvku |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandy matice tuhosti prvku (vyjádřené v referenční a aktuální konfiguraci): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulace TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulace UL) | Vektor vnitřních sil prvku |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Uzlová vnější síla působící na uzel \(\alpha\) prvku a vektor uzlových vnějších sil prvku: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globální vektor vnitřních sil a globální vektor vnějších sil: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); obdobně pro \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Uzlová vnitřní síla a uzlová vnější síla v globálním uzlu \(i_g\) (uzlové bloky \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globální tečná matice tuhosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matice vytvořená umístěním bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) do řádku \(i_g\), sloupce \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vektor rezidua v Newtonově-Raphsonově iteraci: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korekce v Newtonově-Raphsonově iteraci (v \(i\). iteraci získaná řešením lineární rovnice \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\)) |
| \(i_g\) | Číslo globálního uzlu (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Číslo globálního uzlu odpovídající prvku \(e\) a lokálnímu číslu uzlu \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Pro číslo globálního uzlu \(i_g\) množina odpovídajících dvojic \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Používá se při sestavování |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Pro dvojici čísel globálních uzlů \((i_g, i_h)\) množina odpovídajících trojic \((e, \alpha, \beta)\); používá se při sestavování matice tuhosti |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indexy uzlů tvořících prvek |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indexy stupňů volnosti (\(1, 2, 3\) ve 3D) |
Pokročilé a konstrukční prvky
| Symbol | Popis |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matice vztahu přetvoření–posunutí s objemovou částí upravenou metodou B-bar (objemová složka je nahrazena B-maticí vyhodnocenou ve středu prvku) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformační gradient s objemovou částí upravenou metodou F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Poměr objemů deformačního gradientu vyhodnoceného ve středu prvku \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektor vnitřních stupňů volnosti prvku s nekompatibilními módy (koeficienty doplňkových módů posunutí, které nevynucují spojitost na hranici prvku) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Tvarové funkce pro nekompatibilní módy: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Tloušťka skořepinového prvku |
| \(A\) | Plocha průřezu nosníkového prvku |
| \(I\) | Druhý moment plochy průřezu nosníkového prvku |
| \(G\) | Modul pružnosti ve smyku: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Související témata