Přeskočit obsah

Kritéria konvergence

Jako podmínku ukončení Newton-Raphsonovy iterace (Newtonova-Raphsonova metoda) používá FrontISTR dvě skupiny bezrozměrných veličin: kritérium normy rezidua a kritérium normy korekce. Obe mají bez ohledu na druh analýzy (statická analýza, implicitní dynamická analýza) a na přítomnost kontaktu stejné definice.

Rozdělení veličiny rozhodování

Uzlové stupně volnosti obsahují složky s odlišnými fyzikálními rozměry. U prvků se 6 stupni volnosti mají rezidua posuvných stupňů volnosti rozměr síly, zatímco rezidua rotačních stupňů volnosti mají rozměr momentu. Navíc v kontaktní analýze metodou Lagrangeových multiplikátorů (Kontaktní analýza) se k vektoru rezidua přidávají řádky odpovídající kontaktní mezeře (rozměr délky).

Kdyby se tyto složky sloučily do jednoho součtu čtverců, hodnota normy by se libovolně měnila podle zvolené jednotkové soustavy a význam práhu by nebyl stanoven. FrontISTR proto rozděluje veličiny rozhodování podle rozměrů a každou z nich bezrozměrní příslušnou referenční veličinou, a teprve potom rozhoduje.

Symbol Složka Rozměr
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Rezidua posuvných stupňů volnosti (uzlové stupně volnosti 1–3) Síla
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Rezidua rotačních stupňů volnosti (uzlové stupně volnosti 4–6, pouze prvky se 6 stupni volnosti) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Korekce Lagrangeových multiplikátorů Síla

Tlakový stupeň volnosti prvků s vazbou na tekutinu (4 uzlové stupně volnosti, \(u,v,w,p\)) se do rozhodování nezapočítává.

U nosníkových a skořepinových prvků se 3 uzlovými stupni volnosti (641/761/781) se rotace vyjadřují stupni volnosti 1–3 fiktivního uzlu spárovaného s posuvným uzlem. Protože rozhodování nerozlišuje fiktivní uzly, jsou rezidua fiktivních uzlů (momenty) zahrnuta i v posuvné složce \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Stejně je tomu i u kritéria normy korekce a u rozhodování podle maximální hodnoty.

Reziduum \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) neobsahuje složky stupňů volnosti, na které jsou kladena omezení posunutí. Je to proto, že rezidua objevující se v těchto stupních volnosti odpovídají reakcím omezení a nejsou chybou rovnováhy (Newtonova-Raphsonova metoda).

Kritérium normy rezidua

Reziduum \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) z \(i\)-té iterace se bezrozměrní velikostí sil působících v systému v daném okamžiku. Referenční sílu \(F_\mathrm{ref}\) pro posuvnou složku a referenční moment \(M_\mathrm{ref}\) pro rotační složku definujeme takto:

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

Kde \(\boldsymbol{Q}\) je vektor vnitřných sil a \(\boldsymbol{D}\) součet sil setrvačnosti a viskózních sil

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(viz Metody dynamické analýzy). Při statické analýze je \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Doplňky \(t, r\) označují posuvnou a rotační složku z předchozí sekce. Veličiny rozhodování jsou

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

.

Referenční veličinou je maximum norem vnitřných sil a sil setrvačnosti a viskozity, nikoli jejich vektorový součet \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\). Důvodem je, že při volném kmitání bez působení vnějších sil platí v rovnovážném stavu \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) a referenční veličina vektorového součtu by klesla na \(0\). U maxima norem k této kompenzaci nedochází.

Pokud referenční veličina klesne pod předepsanou dolní mez (\(10^{-8}\)) (například první iterace po startu ze stavu bez zatížení), nedělí se referenční veličinou a jako veličina rozhodování se bere samotná norma rezidua. Rozhodování je v tomto případě provedeno podle absolutní hodnoty rezidua.

Kritérium normy korekce

Korekce \(d\boldsymbol{u}_i\) získaná v \(i\)-té iteraci se bezrozměrní přírůstkem posunutí \(\Delta\boldsymbol{u}\) akumulovaným v daném podkroku dosud.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Dostatečně malá korekce vzhledem k akumulovanému přírůstku znamená, že iterace stagnuje. Používá se jako doplňkové rozhodování pro úlohy, ve kterých reziduum klesá jen pomalu. Pokud je jmenovatel \(0\), považuje se kritérium za nesplněné.

Kritérium Lagrangeových multiplikátorů

V kontaktní analýze metodou Lagrangeových multiplikátorů se do rozhodování přidává vztah, ve kterém je korekce multiplikátorů bezrozměrněna jejich vlastní velikostí

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

. Omezení kontaktní mezerky je do soustavy rovnic zapracováno jako rovnice pro Lagrangeovy multiplikátory, a proto se považuje za splněné, pokud multiplikátory konvergovaly. Samotná rezidua mezerky, která mají rozměr délky, se do kritéria normy rezidua nezapočítávají, protože je nelze sečíst s rezidui sil.

Lagrangeovy multiplikátory jsou kontaktní síly a mají stejný rozměr jako referenční síla \(F_\mathrm{ref}\), proto se jmenovatel omezí zdola hodnotou \(F_\mathrm{ref}\). Bezrozměrnění pouze pomocí \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) by způsobilo, že by se rozhodování stalo neomezeně přísným ve stavu, kdy kontakt téměř nenese zatížení, a u uzlů, které právě vstoupily do kontaktu, by platilo \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) při \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\) a rozhodování by nebylo možné splnit. Způsob zpracování, když jmenovatel klesne pod dolní mez, je stejný jako u kritéria normy rezidua.

Rozhodování podle maximální hodnoty

L2 norma je součtem čtverců všech stupňů volnosti, a proto se reziduum zbylé pouze na některých uzlech s rostoucím počtem uzlů celkově zředí a vyhodnotí se jako menší. Aby bylo možné zachytit lokální stavy, ve kterých rovnováha není splněna (například na kontaktních uzlech), lze společně s kritérii uvedenými výše použít rozhodování, ve kterém se v každém z nich L2 norma nahradí maximem absolutních hodnot složek stupňů volnosti.

Maximum posuvné složky vektoru \(\boldsymbol{v}\) definujeme pro uzel \(I\) a uzlový stupeň volnosti \(k\) jako

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

. Rotační složka \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) se definuje obdobně pro \(k = 4,5,6\); pro Lagrangeovy multiplikátory se bere maximum absolutních hodnot všech složek. Veličiny rozhodování se získají tak, že se L2 normy jednotlivých kritérií nahradí tímto maximem v čitateli i ve jmenovateli:

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

. Pro rotační složky platí totéž. Způsob zpracování, když referenční veličina klesne pod dolní mez a když je jmenovatel \(0\), je stejný jako u kritérií s L2 normou.

Referenční veličiny jsou také maxima stejného tvaru, aby zůstala velikost veličin rozhodování srovnatelná s kritérii s L2 normou a aby se daly použít srovnatelné prahy. Po složkách stupňů volnosti se nedělí jinými referenčními veličinami, protože ve směrech bez zatížení by se referenční veličina blížila \(0\) a veličina rozhodování by ztratila smysl.

Při rozhodování podle maximální hodnoty je určen uzel a stupeň volnosti poskytující maximum. FrontISTR tento údaj pro reziduum a korekci vypisuje do protokolu jednotlivých iterací.

Kombinace rozhodování

Každou z veličin rozhodování uvedených výše (pro reziduum, korekci a Lagrangeovy multiplikátory, pro posuvnou a rotační složku, s rozlišením L2 normy a maximální hodnoty) lze individuálně určit, zda se použije v rozhodování (CHECK) nebo ne (SKIP). Ve výchozím nastavení jsou všechna rozhodování podle L2 normy CHECK a všechna rozhodování podle maximální hodnoty SKIP.

Kritérium normy rezidua a kritérium normy korekce se považují za splněné, pokud je splněno kterékoliv z nich. Kritérium Lagrangeových multiplikátorů je naopak ověřením, že omezení kontaktu jsou splněná, a proto se v analýzách, ve kterých se Lagrangeovy multiplikátory vyskytují, vyžaduje vždy. Uvnitř jednoho kritéria musí být splněny všechny složky označené CHECK, a to mezi posuvnou a rotační složkou i mezi L2 normou a maximální hodnotou.

Pro vyjádření vztahy definujeme pro skupinu \(G\) veličin rozhodování dva následující výrazy:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ je splněna} \ \vee\ m \text{ je SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ je CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) je pravdivý, pokud \(G\) neobsahuje žádnou veličinu rozhodování označenou CHECK. Podmínka konvergence je

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Kritérium Lagrangeových multiplikátorů}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Kritérium normy korekce}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Kritérium normy korekce}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Kritérium normy rezidua}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Kritérium normy rezidua}) \right) \right\} \]

. Doplňením \(\mathrm{any\_check}\) ke dvěma skupinám spojeným „nebo“ se zabraňuje tomu, aby skupina bez jediné veličiny označené CHECK nepropustila rozhodnutí bez zjištění. Rotační složky analýz bez rotačních stupňů volnosti a kritérium Lagrangeových multiplikátorů analýz bez Lagrangeových multiplikátorů se do rozhodování nepoužívají, i když je pro ně zadán CHECK. Při výchozím nastavení je podmínka konvergence

\[ \left( \text{Kritérium Lagrangeových multiplikátorů} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Kritérium normy korekce} \right) \ \vee\ \left( \text{Kritérium normy rezidua} \right) \right\} \]

a v analýzách s rotačními stupni volnosti se hodnotí jak posuvná, tak rotační složka, zatímco v analýzách bez Lagrangeových multiplikátorů se hodnotí podmínka bez kritéria Lagrangeových multiplikátorů.

Způsob zadání a výchozí hodnoty prahů \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) rozhodování podle L2 normy viz !STEP, nastavení CHECK/SKIP a prahy rozhodování podle maximální hodnoty viz !CONVERG_PARAM, vodítko pro použití kritérií viz Nelineární iterace a časová integrace.

Související témata