Přeskočit obsah

Analýza frekvenční odezvy

Formulace úlohy

Analýza frekvenční odezvy vyhodnocuje ve frekvenční oblasti ustálenou amplitudu a fázi odezvy systému, když se vnější síla harmonicky mění v čase. Protože se řídicí pohybová rovnice s tlumením a bez tlumení řeší odlišně, tato kapitola nejprve odvodí vlastní módy z netlumeného volného kmitání a poté je použije jako modální bázi pro rozvoj tlumené harmonické odezvy.

Netlumené volné kmitání a vlastní módy

Při zanedbání tlumení má pohybová rovnice tvar

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Rozvinutím posunutí podle jednotlivých vlastních módů dostaneme

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Dosazením do rovnice \(\eqref{eq:2.6.1}\) dostaneme

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Jde o zobecněnou úlohu vlastních čísel. Numerické metody jejího řešení, včetně posunuté inverzní iterace a Lanczosovy metody, jsou popsány v části Modální analýza. Tato část shrnuje vlastnosti výsledných vlastních frekvencí a vlastních módů používaných v následném rozvoji harmonické odezvy.

Reálnost vlastních frekvencí

Lze ukázat, že vlastní frekvence je reálná. Položme \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Komplexním sdružením rovnice \(\eqref{eq:2.6.3}\) dostaneme rovnici \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Vynásobením \(\overline{U}_J^T\) dostaneme

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Z rovnice \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Protože matice hmotnosti je symetrická pozitivně definitní, pro nenulový vlastní vektor platí

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Proto

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Tedy \(\omega_j^2 = \lambda_j\) je reálné.

Ortogonalita a normalizace vlastních módů

Uvažujme dva různé módy.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Z toho plyne

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

a při různých vlastních číslech

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Různé vlastní módy jsou tedy ortogonální vzhledem k matici hmotnosti. Pro stejný mód zjednoduší další odvození normalizace vzhledem k matici hmotnosti podle rovnice \(\eqref{eq:2.6.12}\).

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonická odezva s tlumením

Dále je uvedena formulace analýzy frekvenční odezvy s tlumením. Řídicí pohybová rovnice je dána rovnicí \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Člen tlumení se předpokládá Rayleighova typu a vyjadřuje se rovnicí \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

S využitím vlastních vektorů získaných z modální analýzy lze vektor posunutí v čase t rozvinout podle rovnice \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Předpokládejme, že člen vnější síly má harmonický tvar

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Poté určíme \(b_{j}(t)\). Protože pohybová rovnice \(\eqref{eq:2.6.13}\) má tvar vynuceného kmitání,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

platí. Reálná a imaginární část koeficientu rozvoje \(b_{j}(t)\) jsou dány rovnicemi \(\eqref{eq:2.6.18}i\), resp. \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Tím získáme požadované koeficienty harmonické odezvy.

Související témata