Přeskočit obsah

Ověření pomocí modelu jednoduchého tvaru

Elastická statická analýza

Pro toto ověření se používá vetknutý nosník s diskretizací znázorněnou na obrázku 9.1.1. Analýzy byly provedeny pro sedm případů exA až exG s různými podmínkami zatížení podle obrázku 9.1.2. Případ exG má stejné podmínky zatížení jako exA, používá však přímý řešič.

Výsledky ověření pro jednotlivé případy jsou uvedeny v tabulkách 9.1.1 až 9.1.7.

Příklad sítě vetknutého nosníku (šestistěnné prvky) Obr. 9.1.1 Příklad sítě vetknutého nosníku (šestistěnné prvky)
(a) exA, G: Soustředěné zatížení
(b) exD: Gravitační zatížení
(c) exB: Plošně rozložené zatížení
(d) exE: Odstředivá síla
(e) exC: Objemové zatížení
(f) exF : Tepelné zatížení
Položka Hodnota
Youngův modul \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Délka \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissonovo číslo \(\nu = 0.3\)
Plocha průřezu \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Hustota \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Kvadratický moment plochy \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Gravitační zrychlení \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Lineární součinitel teplotní roztažnosti \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Obr. 9.1.2 Podmínky ověření modelu vetknutého nosníku

Tabulka 9.1.1 : exA: Výsledky ověření problému se soustředěným zatížením

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max}= -1.000\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 uzlů
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 uzlů
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 uzlů
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 uzlů
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 uzlů
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 uzlů
A731 40 - - -0.991 33 uzlů / přímá metoda
A741 20 - - -0.996 33 uzlů / přímá metoda

Tabulka 9.1.2 : exB: Výsledky ověření problému s plošně rozloženým zatížením

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max}= -3.750\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 uzlů
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 uzlů
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 uzlů
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 uzlů
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 uzlů
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 uzlů
B731 40 - - -3.722 33 uzlů / přímá metoda
B741 20 - - -3.743 33 uzlů / přímá metoda

Tabulka 9.1.3 : exC: Výsledky ověření problému s objemovým zatížením

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 uzlů
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 uzlů
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 uzlů
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 uzlů
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 uzlů
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 uzlů
C731 40 - - -2.922e-5 33 uzlů / přímá metoda
C741 20 - - -2.938e-5 33 uzlů / přímá metoda

Tabulka 9.1.4 : exD: Výsledky ověření problému s gravitačním zatížením

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 uzlů
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 uzlů
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 uzlů
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 uzlů
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 uzlů
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 uzlů
D731 40 - - -2.922e-5 33 uzlů / přímá metoda
D741 20 - - -2.938e-5 33 uzlů / přímá metoda

Tabulka 9.1.5 : exE: Výsledky ověření problému s odstředivou silou

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 uzlů
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 uzlů
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 uzlů
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 uzlů
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 uzlů
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 uzlů
E731 40 - - 2.619e-3 33 uzlů / přímá metoda
E741 20 - - 2.622e-3 33 uzlů / přímá metoda

Tabulka 9.1.6 : exF: Výsledky ověření problému s tepelným napětím

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 uzlů
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 uzlů
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 uzlů
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 uzlů
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 uzlů
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 uzlů

Tabulka 9.1.7 : exG: Výsledky ověření přímé metody (problém se soustředěným zatížením)

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota: δmax= -1.000 Poznámky
NASTRAN Komerční software FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 uzlů
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 uzlů
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 uzlů
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 uzlů
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 uzlů
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 uzlů
G731 40 - - -0.991 33 uzlů / přímá metoda
G741 20 - - -0.996 33 uzlů / přímá metoda

Nelineární statická analýza

(2-1) exnl1: Geometricky nelineární analýza

Ověřovací model pro případ exI je shodný s modely pro případy exA až exG. Obr. 9.1.3 ukazuje schéma ověřovacího modelu. Na tomto modelu je provedena geometricky nelineární analýza. Výsledky ověření jsou uvedeny v tabulce 9.1.8.

Nelineární výpočet používá referenční zatížení \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), s přírůstkem zatížení \(0.1P\) v 10 zatěžovacích krocích.

Ověřovací model Obr. 9.1.3 Ověřovací model

Tabulka 9.1.8 exI: Výsledky ověření (historie maximálního průhybu)

Název případu 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Lineární řešení
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analýza elastoplastické deformace

Tento ověřovací problém vychází z testu NL1 organizace National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), a provádí analýzu elastoplastické deformace zahrnující geometrickou nelinearitu a několik zákonů zpevnění. Obrázek 9.1.4 ukazuje model analýzy.

Model analýzy elastoplastické deformace

Obr. 9.1.4 Model analýzy elastoplastické deformace

(1) Podmínky ověření

Položka Hodnota
Materiál Misesův elastoplastický materiál
Youngův modul \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissonovo číslo \(\nu=0.25\)
Počáteční mez kluzu \(5\ \mathrm{MPa}\)
Počáteční přetvoření na mezi kluzu \(0.25\times10^{-4}\)
Koeficient izotropního zpevnění \(H_i = 0\) nebo \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Okrajové podmínky

Položka Okrajová podmínka Hodnota
Krok 1 Předepsané posunutí v uzlech 2 a 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 2 Předepsané posunutí v uzlech 2 a 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 3 Předepsané posunutí v uzlech 3 a 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 4 Předepsané posunutí v uzlech 3 a 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 5 Předepsané posunutí v uzlech 2 a 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 6 Předepsané posunutí v uzlech 2 a 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 7 Předepsané posunutí v uzlech 3 a 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 8 Předepsané posunutí v uzlech 3 a 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Všechny zde neuvedené uzly jsou plně vetknuty. Teoretické řešení tohoto problému je následující.

Přetvoření (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentní napětí (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Pro porovnání jsou výsledky výpočtu následující.

Přetvoření (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentní napětí (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktní analýza (1)

Tento ověřovací problém vychází z kontaktního patch testu CGS-4 organizace National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), a ověřuje schopnost kontaktu s konečným skluzem a třením. Obr. 9.1.5 ukazuje model analýzy.

Model kontaktní analýzy

Obr. 9.1.5 Model kontaktní analýzy

Podmínka rovnováhy pro tento problém je následující.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Ve fázi ulpívajícího tření je třecí síla

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

a ve fázi smykového tření je

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Tím dostáváme uvedený vztah.

Porovnání výsledků výpočtu s analytickým řešením je následující.

\(\mu\) \(F/G\) Analytické řešení \(F/G\) Výsledky výpočtu
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Kontaktní analýza (2): Hertzův kontaktní problém

Toto ověření analyzuje Hertzův kontaktní problém mezi nekonečně dlouhým válcem a nekonečnou rovinou. Poloměr válce je \(R = 8\ \mathrm{mm}\) a Youngův modul \(E\) a Poissonovo číslo \(\mu\) deformovatelného tělesa jsou \(1100\ \mathrm{MPa}\), resp. \(0.0\). Předpokládá se, že kontaktní plocha je ve srovnání s poloměrem válce dostatečně malá, a s ohledem na symetrii problému se analyzuje model čtvrtiny válce.

Model analýzy Hertzova kontaktního problému Obr. 9.1.6 Model analýzy Hertzova kontaktního problému

(1) Výsledky ověření poloměru kontaktu

Teoretický vztah pro výpočet poloměru kontaktu je následující:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

kde

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Tím dostáváme uvedený výraz. Za daných podmínek výpočtu, když je tlak \(F=100\), poloměr kontaktu je \(a=1.36\).

Obr. 9.1.7 ukazuje ekvivalentní uzlové síly v kontaktních bodech. Poloměr kontaktu se získá extrapolací tohoto rozložení uzlových sil.

Rozložení ekvivalentních uzlových sil v kontaktních bodech

Obr. 9.1.7 Rozložení ekvivalentních uzlových sil v kontaktních bodech

(2) Výsledky ověření maximálního smykového napětí

V teoretickém řešení je v kontaktní poloze

\[ z = 0.78a \]

maximální smykové napětí

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Tento vztah udává teoretické maximum smykového napětí. Za daných podmínek výpočtu

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Za daných podmínek tedy platí uvedená hodnota. Pro porovnání dává výpočet

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Výpočet tedy dává uvedenou hodnotu.

Rozložení smykového napětí (maximální hodnota = 15.6 Obr. 9.1.8 Rozložení smykového napětí (maximální hodnota = 15.6)

(3) Modální analýza

Ověřovací modely pro případy exJ a exK jsou shodné s modely pro případy exA až exG. Obr. 9.1.9 ukazuje schéma ověřovacího modelu. Na tomto modelu je provedena modální analýza. Vypočítají se první tři vlastní frekvence. Případ exJ používá iterační řešič, zatímco případ exK používá přímý řešič. Výsledky ověření jsou uvedeny v tabulkách 9.1.9 až 9.1.12.

Ověřovací model Obr. 9.1.9 Ověřovací model

Vlastní frekvence vetknutého nosníku se získají z následujících rovnic.

První vlastní frekvence

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Druhá vlastní frekvence

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Třetí vlastní frekvence

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Hodnoty vlastností ověřovacího modelu jsou

Položka Hodnota
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

První tři vlastní frekvence jsou tedy následující:

Číslo módu Hodnota
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabulka 9.1.9 : exJ: Výsledky ověření iterační metody pro první vlastní frekvenci

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : n1=3.609e3 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 uzlů
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 uzlů
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 uzlů
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 uzlů
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 uzlů
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 uzlů

Tabulka 9.1.10 : Výsledky ověření iterační metody exJ pro druhou vlastní frekvenci

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : n2=2.262e4 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 uzlů
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 uzlů
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 uzlů
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 uzlů
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 uzlů
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 uzlů

Poznámka) U trojrozměrných modelů jsou první dva módy degenerované. Proto je v tabulce jako druhá vlastní frekvence uvedena třetí vypočtená vlastní frekvence.

Tabulka 9.1.11 : Výsledky ověření přímé metody exK pro první vlastní frekvenci

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : n1=3.609e3 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 uzlů
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 uzlů
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 uzlů
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 uzlů
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 uzlů
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 uzlů
J731 40 - 3.606e3 220 uzlů
J741 20 - 3.594e3 220 uzlů

Tabulka 9.1.12 : Výsledky ověření přímé metody exK pro druhou vlastní frekvenci

Název případu Počet prvků Předpokládaná hodnota : n2=2.262e4 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 uzlů / problém rovinné napjatosti
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 uzlů / problém rovinné napjatosti
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 uzlů / problém rovinné napjatosti
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 uzlů
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 uzlů
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 uzlů
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 uzlů
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 uzlů
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 uzlů
J731 40 - 2.156e4 220 uzlů
J741 20 - 2.153e4 220 uzlů

Poznámka) U trojrozměrných modelů jsou první dva módy degenerované. Proto je v tabulce jako druhá vlastní frekvence uvedena třetí vypočtená vlastní frekvence.

(4) Analýza vedení tepla

Společné podmínky pro ustálené analýzy vedení tepla jsou uvedeny na obrázku 9.1.10. Jednotlivé podmínky pro ověřovací případy exM až exT jsou uvedeny na obrázku 9.1.11. Rozdělení sítě je ekvivalentní tomu, které se používá pro exA.

Výsledky ověření pro jednotlivé případy jsou v tabulkách 9.1.13 až 9.1.20 uvedeny jako tabulky rozložení teploty.

Analýza vedení tepla
Délka mezi A a B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Plocha průřezu \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Teplotní závislost tepelné vodivosti

Tepelná vodivost \(\lambda\) (W/(m·K)) Teplota (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Obr. 9.1.10 : Podmínky ověření ustálené analýzy vedení tepla
exM: Lineární materiál
exN: Problém s předepsanou teplotou
exO: Problém se soustředěným tepelným tokem
exP: Problém s rozloženým tepelným tokem
exQ: Problém s konvekčním přenosem tepla
exR: Problém s přenosem tepla sáláním
exS: Problém s objemovou produkcí tepla
exT: Problém s vnitřní mezerou

Obr. 9.1.11 : Podmínky analýzy pro jednotlivé ověřovací případy

Tabulka 9.1.13 : Výsledky ověření exM (ustálený výpočet lineárního materiálu)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabulka 9.1.14 : Výsledky ověření exN (problém s předepsanou teplotou)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabulka 9.1.15 : Výsledky ověření exO (problém se soustředěným tepelným tokem)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabulka 9.1.16 : Výsledky ověření exP (problém s rozloženým tepelným tokem)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabulka 9.1.17 : Výsledky ověření exQ (problém s konvekčním přenosem tepla)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabulka 9.1.18 : Výsledky ověření exR (problém s přenosem tepla sáláním)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabulka 9.1.19 : Výsledky ověření exS (problém s objemovou produkcí tepla)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabulka 9.1.20 : Výsledky ověření exT (problém s vnitřní mezerou)

Název případu Typ prvku Prvky/uzly Vzdálenost od konce A (m)
Konec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Konec B
Komerční software 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Lineární dynamická analýza

V exW se provádí lineární dynamická analýza stejného vetknutého nosníku jako v bodě (1). Obr. 9.1.12 ukazuje podmínky ověření. Pro stejné rozdělení sítě se ověřuje vliv časového přírůstku na výsledky. Používají se implicitní i explicitní metody časové integrace s typy prvků 361 a 342. Výsledky ověření jsou uvedeny v tabulce 9.1.22 a na obrázcích 9.1.13 až 9.1.15.

Model analýzy Model analýzy

Časový průběh vnější síly F Časový průběh vnější síly F

Teoretické řešení posunutí bodu buzení je následující:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

kde

\[ \(F_0:\ \text{Konstantní vektor}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Obr. 9.1.12 : Podmínky ověření lineární dynamické analýzy

Podmínky ověření:
Délka \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Šířka průřezu \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Výška průřezu \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngův modul \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissonovo číslo \(\nu\) \(0.3\)
Hustota \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Gravitační zrychlení \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Vnější síla \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Prvek Lineární šestistěnný prvek
Kvadratický čtyřstěnný prvek
Řešení Implicitní metoda
Parametr \(\gamma\) metody Newmark-\(\beta\) 1/2
Parametr \(\beta\) metody Newmark-\(\beta\) 1/4
Explicitní metoda
Tlumení Žádné

Tabulka 9.1.21 : Podmínky ověření lineární dynamické analýzy (pokračování)

Název případu Typ prvku Počet uzlů Počet prvků Řešení Časový přírůstek \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implicitní metoda 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explicitní metoda 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explicitní metoda 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explicitní metoda 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explicitní metoda 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explicitní metoda 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explicitní metoda 1.0E-07

Tabulka 9.1.22 : Výsledky ověření lineární dynamické analýzy exW (vetknutý nosník)

Název případu Typ prvku Počet uzlů Počet prvků Metoda Posunutí ve směru z v čase \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implicitní metoda 1.9753 Divergovalo
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explicitní metoda 1.9753 Divergovalo

Diagram deformace a rozložení ekvivalentního napětí vetknutého nosníku Obr. 9.1.13 : Diagram deformace a rozložení ekvivalentního napětí vetknutého nosníku

(a) Typ prvku 361 : Implicitní metoda (a) Typ prvku 361 : Implicitní metoda

(b) Typ prvku 361 : Explicitní metoda (b) Typ prvku 361: Explicitní metoda

Obr. 9.1.14 Časový průběh posunutí bodu buzení \(u_z\)

(a) Typ prvku 342: Implicitní metoda (a) Typ prvku 342: Implicitní metoda

(b) Typ prvku 342: Explicitní metoda (b) Typ prvku 342: Explicitní metoda

Obr. 9.1.15 : Časový průběh posunutí bodu buzení \(u_z\)

Analýza frekvenční odezvy

V tomto ověření se provádí analýza frekvenční odezvy vetknutého nosníku a ověřuje se porovnáním s výsledky univerzálního komerčního řešiče. Model analýzy a podmínky ověření jsou uvedeny níže.

Podmínky analýzy:
Youngův modul \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissonovo číslo \(\nu\) \(0.3\)
Hustota \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Gravitační zrychlení \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Zatížení \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametr Rayleighova tlumení \(R_m\) \(0.0\)
Parametr Rayleighova tlumení \(R_k\) \(7.2E-07\)

Obr. 9.1.16 : Model analýzy (lineární čtyřstěnný prvek (126 prvků a 55 uzlů))

Prvních pět vlastních frekvencí získaných modální analýzou a frekvenční odezva v bodě buzení jsou uvedeny níže.

mód FrontISTR Komerční software
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Frekvenční závislost velikosti posunutí v bodě buzení Obr. 9.1.17 : Frekvenční závislost velikosti posunutí v bodě buzení