Gå til indholdet

Lineær elastisk statisk analyse (introduktion)

Her præsenteres formuleringen af elastisk statisk analyse baseret på teorien for infinitesimale deformationer. Der antages lineær elasticitet for spændings-tøjningsrelationen. Dette kapitel er tænkt som en introduktion til den overordnede opbygning af strukturanalyse med finite element-metoden og er udformet som et selvstændigt kapitel.

Se Princippet om virtuelt arbejde for den generelle teori om virtuelt arbejde (formulering i aktuel konfiguration, initialkonfiguration og reduktion til infinitesimale deformationer), Lineær elasticitet for detaljer om den lineærelastiske konstitutive lov, Tensornotation og matematisk grundlag for konventioner for tensor- og Voigt-notation, Bevægelse, deformation og tøjning for den generelle formulering af endelige deformationer og Tangentstivhedsmatrix for løsningsmetoder til ikke-lineære problemer.

Grundligninger

Under antagelserne om infinitesimal deformation og lineær elasticitet består randværdiproblemet i faststofmekanik af ligevægtsligningen, mekaniske randbetingelser og geometriske randbetingelser (essentielle randbetingelser) (se figur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Her er \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spændingen, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) volumenkræften pr. volumenenhed, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) den foreskrevne overfladetraktion, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) den foreskrevne forskydning, og \(S_t, S_u\) er henholdsvis den mekaniske og geometriske rand.

Randværdiproblem i faststofmekanik (problem med infinitesimal deformation)

Figur 2.1.1 Randværdiproblem i faststofmekanik (problem med infinitesimal deformation)

Tøjnings-forskydningsrelationen skrives ved hjælp af den symmetriske gradientoperator som

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Den lineærelastiske konstitutive ligning er

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

hvor \(\boldsymbol{C}\) er elasticitetstensoren af fjerde orden.

Princippet om virtuelt arbejde

De generelle former for princippet om virtuelt arbejde (formulering i aktuel konfiguration, initialkonfiguration og reduktion til infinitesimale deformationer) er samlet i Princippet om virtuelt arbejde. Under antagelserne om infinitesimal deformation og lineær elasticitet er den svage form

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Ved at indsætte den konstitutive ligning \eqref{eq:2.1.5} og skrive \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notation fås den form, der anvendes direkte til diskretisering:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

hvor \(D\) er elasticitetsmatricen defineret i Lineær elasticitet. Ligningerne \eqref{eq:2.1.10} og \eqref{eq:2.1.7} udgør det princip om virtuelt arbejde, som diskretiseres nedenfor.

Diskretisering og samling af den globale ligning

Ved at diskretisere princippet om virtuelt arbejde i ligning\( \eqref{eq:2.1.10} \) over finite elementer fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

For hvert element interpoleres forskydningsfeltet ved hjælp af forskydningerne for de knuder, der udgør elementet, som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Tøjningen gives da ved hjælp af ligning\(\eqref{eq:2.1.4}\) som følger.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Ved at indsætte ligningerne \(\eqref{eq:2.1.12}\) og \(\eqref{eq:2.1.13}\) i ligning \(\eqref{eq:2.1.11}\) fås følgende.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ligning \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan samles på følgende form.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Her kan komponenterne i matricen og vektoren, der er defineret ved ligningerne \(\eqref{eq:2.1.16}\) og \(\eqref{eq:2.1.17}\), beregnes for hvert finite element og samles ved superposition.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Da ligning \(\eqref{eq:2.1.15}\) gælder for en vilkårlig virtuel forskydning \(\delta \boldsymbol{U}\), fås følgende ligning.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Forskydningsrandbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.3}\) udtrykkes på den anden side som følger.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Ved at løse ligning \(\eqref{eq:2.1.18}\) under begrænsningsbetingelsen i ligning \(\eqref{eq:2.1.19}\) kan knudeforskydningen \(\boldsymbol{U}\) bestemmes.

Relaterede emner