Symboloversigt for fysiske størrelser
Denne side viser symbolerne for de fysiske størrelser, der anvendes i FrontISTR-teorimanualen. Se Tensornotation og matematisk grundlag for notationsregler (fed skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summationskonvention og Voigt-notation).
Konfiguration og koordinatsystem
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{X}\) | Positionsvektor for et materialepunkt i referencekonfigurationen (startkonfigurationen), dvs. materialekoordinater |
| \(\boldsymbol{x}\) | Positionsvektor for et materialepunkt i den aktuelle konfiguration, dvs. rumlige koordinater |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bevægelsesafbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Område optaget af legemet i referencekonfigurationen |
| \(\Omega\) | Område optaget af legemet i den aktuelle konfiguration |
| \(\Gamma_0\) | Rand af \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Rand af \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrisk (forskydnings-)rand: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen, hvor den angivne betingelse er foreskrevet |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekanisk rand: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet; rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen |
| \(\boldsymbol{n}\) | Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i den aktuelle konfiguration |
| \(\boldsymbol{N}\) | Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i referencekonfigurationen |
| \(t\) | Tidspunkt |
Konvention: Fysiske størrelser i referencekonfigurationen betegnes med store bogstaver eller indeks \(0\), mens størrelser i den aktuelle konfiguration betegnes med små bogstaver.
Tid og inkrementer (inkrementel analyse)
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\Delta t\) | Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (foranstillet hævet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spændingen ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Område i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rand i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\) |
Konvention: Ved inkrementel analyse betragtes tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kendt, mens tilstanden ved \(t + \Delta t\) bestemmes som ukendt. Det foranstillede hævede tidsindeks udelades, når tidspunktet ikke behøver angives eksplicit. Formuleringen med referencekonfigurationen \(\Omega_0\) kaldes Total Lagrange-metoden, og formuleringen med den aktuelle konfiguration \(^{t}\Omega\) ved inkrementets start kaldes Updated Lagrange-metoden.
Forskydning, hastighed, acceleration og legemskraft
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{u}\) | Forskydningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Foreskrevet forskydning på den geometriske rand \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuel forskydning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hastighedsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Legemskraft (pr. masseenhed) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Overfladekraftvektor (pr. arealenhed): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Foreskrevet overfladekraft på den mekaniske rand \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differentialoperatorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiel tidsafledt (tidsafledt, der følger samme materialepunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient i referencekonfigurationen (med hensyn til materialekoordinater \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient i den aktuelle konfiguration (med hensyn til rumlige koordinater \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Bemærkning: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relateret ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). \(\nabla\) uden indeks anvendes, når konfigurationen kan afgøres af konteksten, eller når forskellen forsvinder, f.eks. ved små deformationer.
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumenændringsforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Højre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Venstre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hastighedsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformationshastighedstensor (den symmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (den antisymmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tøjningstensorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-tøjningstensor (referencekonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-tøjningstensor (aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineær del af Almansi-tøjningstensoren (symmetrisk forskydningsgradient i den aktuelle konfiguration): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimal tøjningstensor (lineær approksimation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Bemærkning: \(\boldsymbol{E}\) anvendes primært i Total Lagrange-metoden, mens \(\boldsymbol{D}\) primært anvendes i Updated Lagrange-metoden.
Spændingstensorer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spændingstensor (sand spænding, aktuel konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Første Piola-Kirchhoff-spændingstensor (nominel spænding): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Anden Piola-Kirchhoff-spændingstensor (referencekonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Transformationsrelationer mellem spændingstensorerne:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvention: Total Lagrange-metoden bruger parret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-metoden bruger \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Massefylde og masse
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\rho\) | Massefylde i den aktuelle konfiguration |
| \(\rho_0\) | Massefylde i referencekonfigurationen |
Massebevarelse: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialekonstanter (lineært elastisk materiale)
| Symbol | Beskrivelse |
| \(E\) | Youngs modul (længdeelasticitetsmodul) |
| \(\nu\) | Poissons forhold |
| \(\lambda\) | Lamés første konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Lamés anden konstant (forskydningsmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elasticitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialematrix (Voigt-notation, \(6\times6\) i tre dimensioner): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenter af elasticitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiske materialer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastisk potentialfunktion (tøjningsenergitæthedsfunktion) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hovedinvarianter for højre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reducerede invarianter for \(\boldsymbol{C}\) (volumenændringen separeret) |
| \(C_1, C_2\) | Materialekonstanter for Mooney-Rivlin-modellen |
| \(D\) | Materialekonstant for volumetrisk elasticitet |
Elastoplastiske materialer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastisk komponent af deformationshastighedstensoren |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastisk komponent af deformationshastighedstensoren |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flydefunktion |
| \(\kappa\) | Intern variabel for plastisk tilstand (isotrop hærdningsvariabel) |
| \(\lambda^p\) | Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøjningshastighed): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisk potentiale (for associeret flyderegel \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ækvivalent spænding (f.eks. von Mises-spænding) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ækvivalent plastisk tøjning |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrop hærdningsfunktion |
Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Finite element-metoden
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Områder i aktuel konfiguration og referencekonfiguration approksimeret ved finite element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementets område i aktuel konfiguration og referencekonfiguration |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Den del af elementranden, der tilhører den mekaniske rand |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturlige koordinater (elementets lokale koordinater) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt i de naturlige koordinater svarende til knude \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunktion for knude \(\alpha\) i element \(e\) |
| \(n_e\) | Antal knuder i elementet |
| \(n_g\) | Samlet antal knuder |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinat og forskydning for elementknude \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Koordinat- og forskydningsvektorer for elementknuder: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) osv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale knudekoordinat- og forskydningsvektorer (ordnet efter knudenummer → frihedsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Tøjnings-forskydningsmatrix (B-matrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunktionsmatrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blok med formfunktionen \(N_\alpha^e\) for knude \(\alpha\) på diagonalen, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstivhedsmatrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrand for elementstivhedsmatricen (udtrykt i reference-/aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metode), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metode) | Elementets indre kraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Ydre knudekraft på elementknude \(\alpha\) og elementets vektor af ydre knudekræfter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Global indre kraftvektor og global ydre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\) tilsvarende for den anden vektor |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Indre og ydre knudekraft ved global knude \(i_g\) (knudeblokke i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Global tangentstivhedsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) arrangeret i række \(i_g\) og kolonne \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrektion i Newton-Raphson-iteration (opnået ved at løse den lineære ligning \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) i den \(i\)-te iteration) |
| \(i_g\) | Globalt knudenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalt knudenummer svarende til det lokale knudenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mængde af par \((e, \alpha)\) svarende til globalt knudenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\); anvendes ved samling |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mængde af tripler \((e, \alpha, \beta)\) svarende til det globale knudepar \((i_g, i_h)\); anvendes ved samling af stivhedsmatricen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeks for knuderne i et element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeks for frihedsgrader (i tre dimensioner \(1, 2, 3\)) |
Højtydende elementer og strukturelementer
| Symbol | Beskrivelse |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Tøjnings-forskydningsmatrix med korrigeret volumetrisk del i B-bar-metoden (volumenkomponenten erstattes af B-matricen evalueret i elementcentrum) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformationsgradient med korrigeret volumetrisk del i F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumenforhold for deformationsgradienten evalueret i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Intern frihedsgradsvektor i inkompatible-mode-elementer (koefficienter for ekstra forskydningsmoder, der ikke garanterer kontinuitet på elementranden) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunktioner for inkompatible moder: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Tykkelse af skalelement |
| \(A\) | Tværsnitsareal for bjælkeelement |
| \(I\) | Andet arealmoment for bjælkeelementets tværsnit |
| \(G\) | Forskydningsmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Relaterede emner