Translation update pending
The Danish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
Symboloversigt for fysiske størrelser¶
Denne side viser symbolerne for de fysiske størrelser, der anvendes i FrontISTR-teorimanualen. Se Tensornotation og matematisk grundlag for notationsregler (fed skrift for vektorer og tensorer, Einsteins summationskonvention og Voigt-notation).
Konfiguration og koordinatsystem¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Positionsvektor for et materialepunkt i referencekonfigurationen (startkonfigurationen), dvs. materialekoordinater |
| \(\boldsymbol{x}\) | Positionsvektor for et materialepunkt i den aktuelle konfiguration, dvs. rumlige koordinater |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bevægelsesafbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Område optaget af legemet i referencekonfigurationen |
| \(\Omega\) | Område optaget af legemet i den aktuelle konfiguration |
| \(\Gamma_0\) | Rand af \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Rand af \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrisk (forskydnings-)rand: \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen, hvor den angivne betingelse er foreskrevet |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekanisk rand: \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er foreskrevet; rand i den aktuelle konfiguration og referencekonfigurationen |
| \(\boldsymbol{n}\) | Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i den aktuelle konfiguration |
| \(\boldsymbol{N}\) | Udadrettet enhedsnormalvektor til en flade i referencekonfigurationen |
| \(t\) | Tidspunkt |
Konvention: Fysiske størrelser i referencekonfigurationen betegnes med store bogstaver eller indeks \(0\), mens størrelser i den aktuelle konfiguration betegnes med små bogstaver.
Tid og inkrementer (inkrementel analyse)¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysisk størrelse ved tidspunkt \(t\) (foranstillet hævet indeks). Eksempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spændingen ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Område i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rand i den aktuelle konfiguration ved tidspunkt \(t\) |
Konvention: Ved inkrementel analyse betragtes tilstanden frem til tidspunkt \(t\) som kendt, mens tilstanden ved \(t + \Delta t\) bestemmes som ukendt. Det foranstillede hævede tidsindeks udelades, når tidspunktet ikke behøver angives eksplicit. Formuleringen med referencekonfigurationen \(\Omega_0\) kaldes Total Lagrange-metoden, og formuleringen med den aktuelle konfiguration \(^{t}\Omega\) ved inkrementets start kaldes Updated Lagrange-metoden.
Forskydning, hastighed, acceleration og legemskraft¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Forskydningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Foreskrevet forskydning på den geometriske rand \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuel forskydning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hastighedsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Legemskraft (pr. masseenhed) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Overfladekraftvektor (pr. arealenhed): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Foreskrevet overfladekraft på den mekaniske rand \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differentialoperatorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiel tidsafledt (tidsafledt, der følger samme materialepunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient i referencekonfigurationen (med hensyn til materialekoordinater \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient i den aktuelle konfiguration (med hensyn til rumlige koordinater \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Bemærkning: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) er relateret ved \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). \(\nabla\) uden indeks anvendes, når konfigurationen kan afgøres af konteksten, eller når forskellen forsvinder, f.eks. ved små deformationer.
Deformationstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumenændringsforhold: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Højre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Venstre Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hastighedsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformationshastighedstensor (den symmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (den antisymmetriske del af \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tøjningstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-tøjningstensor (referencekonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-tøjningstensor (aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineær del af Almansi-tøjningstensoren (symmetrisk forskydningsgradient i den aktuelle konfiguration): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimal tøjningstensor (lineær approksimation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Bemærkning: \(\boldsymbol{E}\) anvendes primært i Total Lagrange-metoden, mens \(\boldsymbol{D}\) primært anvendes i Updated Lagrange-metoden.
Spændingstensorer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spændingstensor (sand spænding, aktuel konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Første Piola-Kirchhoff-spændingstensor (nominel spænding): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Anden Piola-Kirchhoff-spændingstensor (referencekonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Transformationsrelationer mellem spændingstensorerne:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvention: Total Lagrange-metoden bruger parret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mens Updated Lagrange-metoden bruger \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Massefylde og masse¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\rho\) | Massefylde i den aktuelle konfiguration |
| \(\rho_0\) | Massefylde i referencekonfigurationen |
Massebevarelse: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialekonstanter (lineært elastisk materiale)¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(E\) | Youngs modul (længdeelasticitetsmodul) |
| \(\nu\) | Poissons forhold |
| \(\lambda\) | Lamés første konstant: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Lamés anden konstant (forskydningsmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elasticitetstensor (fjerde orden): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialematrix (Voigt-notation, \(6\times6\) i tre dimensioner): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenter af elasticitetstensoren for et isotropt lineært elastisk materiale:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiske materialer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastisk potentialfunktion (tøjningsenergitæthedsfunktion) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hovedinvarianter for højre Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reducerede invarianter for \(\boldsymbol{C}\) (volumenændringen separeret) |
| \(C_1, C_2\) | Materialekonstanter for Mooney-Rivlin-modellen |
| \(D\) | Materialekonstant for volumetrisk elasticitet |
Elastoplastiske materialer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastisk komponent af deformationshastighedstensoren |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastisk komponent af deformationshastighedstensoren |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flydefunktion |
| \(\kappa\) | Intern variabel for plastisk tilstand (isotrop hærdningsvariabel) |
| \(\lambda^p\) | Plastisk multiplikator (multiplikator for plastisk tøjningshastighed): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisk potentiale (for associeret flyderegel \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ækvivalent spænding (f.eks. von Mises-spænding) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ækvivalent plastisk tøjning |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrop hærdningsfunktion |
Komplementaritetsbetingelse: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Finite element-metoden¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Områder i aktuel konfiguration og referencekonfiguration approksimeret ved finite element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementets område i aktuel konfiguration og referencekonfiguration |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Den del af elementranden, der tilhører den mekaniske rand |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturlige koordinater (elementets lokale koordinater) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt i de naturlige koordinater svarende til knude \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunktion for knude \(\alpha\) i element \(e\) |
| \(n_e\) | Antal knuder i elementet |
| \(n_g\) | Samlet antal knuder |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinat og forskydning for elementknude \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Koordinat- og forskydningsvektorer for elementknuder: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) osv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale knudekoordinat- og forskydningsvektorer (ordnet efter knudenummer → frihedsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Tøjnings-forskydningsmatrix (B-matrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunktionsmatrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er en \(d \times d\)-blok med formfunktionen \(N_\alpha^e\) for knude \(\alpha\) på diagonalen, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstivhedsmatrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrand for elementstivhedsmatricen (udtrykt i reference-/aktuel konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metode), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metode) | Elementets indre kraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Ydre knudekraft på elementknude \(\alpha\) og elementets vektor af ydre knudekræfter: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Global indre kraftvektor og global ydre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\), \(\boldsymbol{F}\) tilsvarende for den anden vektor |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Indre og ydre knudekraft ved global knude \(i_g\) (knudeblokke i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Global tangentstivhedsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). \(3\times 3\)-blok \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) arrangeret i række \(i_g\) og kolonne \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrektion i Newton-Raphson-iteration (opnået ved at løse den lineære ligning \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) i den \(i\)-te iteration) |
| \(i_g\) | Globalt knudenummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalt knudenummer svarende til det lokale knudenummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mængde af par \((e, \alpha)\) svarende til globalt knudenummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\); anvendes ved samling |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mængde af tripler \((e, \alpha, \beta)\) svarende til det globale knudepar \((i_g, i_h)\); anvendes ved samling af stivhedsmatricen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeks for knuderne i et element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeks for frihedsgrader (i tre dimensioner \(1, 2, 3\)) |
Højtydende elementer og strukturelementer¶
| Symbol | Beskrivelse |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Tøjnings-forskydningsmatrix med korrigeret volumetrisk del i B-bar-metoden (volumenkomponenten erstattes af B-matricen evalueret i elementcentrum) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformationsgradient med korrigeret volumetrisk del i F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumenforhold for deformationsgradienten evalueret i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Intern frihedsgradsvektor i inkompatible-mode-elementer (koefficienter for ekstra forskydningsmoder, der ikke garanterer kontinuitet på elementranden) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunktioner for inkompatible moder: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Tykkelse af skalelement |
| \(A\) | Tværsnitsareal for bjælkeelement |
| \(I\) | Andet arealmoment for bjælkeelementets tværsnit (betegnet \(I_y\) og \(I_z\) om de lokale \(y\)- og \(z\)-akser) |
| \(G\) | Forskydningsmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Bjælkeelementets længde |
| \(A_s\) | Forskydningsareal for bjælkeelementets tværsnit (FrontISTR bruger \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Koefficienter, der repræsenterer bidraget fra forskydningsdeformation i en Timoshenko-bjælke: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Relaterede emner¶
- Tensornotation og matematisk grundlag — Regler for fed skrift, Einsteins summationskonvention og Voigt-notation
- Bevægelse, deformation og tøjning — Definitioner af konfiguration, deformationsgradient og tøjning
- Bevægelse, deformation og tøjning — Udledning af de styrende ligninger
- Lineær elasticitet — Konkrete komponenter af materialematricen \(D\)