Gå til indholdet

Konvergenskriterier

Som betingelse for at afslutte Newton-Raphson-iterationen (Newton-Raphson-metoden) anvender FrontISTR to familier af dimensionløse størrelser: residualnormkriteriet og korrektionsnormkriteriet. Begge har samme definition uanset analysetype (statisk analyse, implicit dynamisk analyse) og uanset om kontakt er til stede eller ej.

Opdeling af afgørelsesstørrelserne

Knudefrihedsgraderne indeholder komponenter med forskellige fysiske dimensioner. For elementer med 6 frihedsgrader har residualerne for translationsfrihedsgrader dimensionen kraft, hvorimod residualerne for rotationsfrihedsgrader har dimensionen moment. I en kontaktanalyse med Lagrange-multiplikator-metoden (Kontaktanalyse) tilføjes ydermere rækker i residualvektoren, der svarer til kontaktgaps (dimensionen længde).

Samles de i én kvadratsum, vil normens værdi ændre sig vilkårligt efter valget af enhedssystem, og tærsklens betydning kan ikke fastlægges. Derfor opdel FrontISTR afgørelsesstørrelserne dimension for dimension, og hver enkelt gøres dimensionløs med den tilsvarende referencestørrelse, før der træffes afgørelse.

Symbol Komponent Dimension
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Residualer for translationsfrihedsgrader (knudefrihedsgrader 1–3) Kraft
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Residualer for rotationsfrihedsgrader (knudefrihedsgrader 4–6, kun elementer med 6 frihedsgrader) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Korrektur til Lagrange-multiplikatorer Kraft

Trykfrihedsgraden i elementer med fluid-kobling (4 knudefrihedsgrader, \(u,v,w,p\)) indregnes ikke i afgørelsen.

For bjælke- og skalelementer (641/761/781) med 3 knudefrihedsgrader repræsenteres rotationen med frihedsgraderne 1–3 i en dummyknude, der er parret med translationsknuden. Da afgørelsen ikke skelner dummyknuder, er dummyknudernes residualer (momenter) også indeholdt i translationskomponenten \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Det samme gælder korrektionsnormkriteriet og afgørelsen baseret på maksimumværdi.

Residualet \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) udelader komponenterne for de frihedsgrader, der er givet forskydningsbindinger. Residualerne, der optræder i disse frihedsgrader, svarer til reaktionskræfter og er ikke en fejl i ligevægten (Newton-Raphson-metoden).

Residualnormkriterium

Residualet for iteration \(i\), \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\), gøres dimensionløs med størrelsen af de kræfter, der opstår i systemet på det tidspunkt. Referencekræften \(F_\mathrm{ref}\) for translationskomponenten og referencemomentet \(M_\mathrm{ref}\) for rotationskomponenten defineres som

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

Her er \(\boldsymbol{Q}\) indrekraftvektoren, og \(\boldsymbol{D}\) er summen af inerti- og viskøse kræfter

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(dynamisk analyse). I statisk analyse gælder \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indekserne \(t, r\) betegner henholdsvis translations- og rotationskomponenten fra det foregående afsnit. Afgørelsesstørrelsen er opfyldt, når

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

er tilfældet.

Referencen er valgt som maksimum af normerne for indrekraften og inerti- og viskøse kræfter frem for vektorsummen \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), fordi ligevægtstilstanden ved fri vibration uden ydre kræfter opfylder \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), så en referencestørrelse baseret på vektorsummen ville falde til \(0\). Med maksimum af normerne forekommer denne ophævelse ikke.

Når referencestørrelsen falder under den forudbestemte nedre grænse (\(10^{-8}\)) (f.eks. den første iteration, der startes fra en ubelastet tilstand), divideres der ikke med referencestørrelsen, og residualnormet selv anvendes som afgørelsesstørrelse. Afgørelsen er da baseret på residualernes absolutte værdier.

Korrektionsnormkriterium

Korrektur opnået i iteration \(i\), \(d\boldsymbol{u}_i\), gøres dimensionløs med forskydningsinkrementet \(\Delta\boldsymbol{u}\), der er akkumuleret indtil da i deltrinet.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

At korrektionen er blevet tilstrækkeligt lille i forhold til den akkumulerede forøgelse betyder, at iterationen er stagneret. Kriteriet anvendes som en supplerende afgørelse for problemer, hvor residualerne kun aftager langsomt. Hvis nævneren er \(0\), behandles kriteriet som ikke opfyldt.

Lagrange-multiplikatorkriterium

I en kontaktanalyse med Lagrange-multiplikator-metoden tilføjes multiplikatorens korrektur, som er gjort dimensionløs med multiplikatorens egen størrelse, til afgørelsen:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Da kontaktgapsebegrænsningerne er indarbejdet i det simultane system som ligninger for Lagrange-multiplikatoren, anses begrænsningerne for opfyldte, når multiplikatoren har konvergeret. Gaps' residualer, der har dimensionen længde, indregnes ikke i residualnormkriteriet, fordi de ikke kan lægges sammen med kraftresidualerne.

Lagrange-multiplikatorer er kontaktkræfter og har samme dimension som referencekræften \(F_\mathrm{ref}\), hvorfor nævneren begræses nedadtil med \(F_\mathrm{ref}\). Normaliseres der kun med \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), bliver afgørelsen uendeligt streng, når kontakten næsten ikke bærer nogen belastning, og for knuder, der lige er gået i kontakt, gælder \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) for \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), så afgørelsen ikke kan opfyldes. Behandlingen, når nævneren falder under den nedre grænse, er den samme som for residualnormkriteriet.

Afgørelse baseret på maksimumværdi

Da L2-normet er kvadratsummen over alle frihedsgrader, udvandes residualer, der kun befinder sig på enkelte knuder, over hele systemet og vurderes som mindre, jo flere knuder der er. For at fange tilstande, hvor ligevægten lokalt ikke er opfyldt, f.eks. på kontaktknuder, kan en afgørelse, hvor L2-normet i hvert af kriterierne indtil dette afsnit udskiftes med maksimumværdien af de absolutte værdier af frihedsgradskomponenterne, anvendes parallelt.

Maksimumværdien af vektoren \(\boldsymbol{v}\)'s translationskomponent defineres for knuden \(I\) og knudefrihedsgraden \(k\) som

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Rotationskomponenten \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) defineres tilsvarende for \(k = 4,5,6\), og for Lagrange-multiplikatorer som maksimumværdien af de absolutte værdier af alle komponenter. Afgørelsesstørrelsen er kriteriernes L2-normer, hvor denne maksimumværdi er sat i stedet for L2-normet i både tæller og nævner.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Det samme gælder rotationskomponenten. Behandlingen, når referencestørrelsen falder under den nedre grænse og når nævneren er \(0\), er den samme som for L2-normkriterierne.

At referencestørrelserne også er defineret som maksimumværdier af samme form skyldes, at afgørelsesstørrelsernes størrelse skal holdes på et niveau sammenligneligt med L2-normkriterierne, så tærskler af samme størrelsesorden kan anvendes. Der divideres ikke med en særskilt referencestørrelse for hver frihedsgradskomponent, fordi referencestørrelsen nærmer sig \(0\) i retninger uden belastning, hvorved afgørelsesstørrelsen mister sin betydning.

Ved afgørelsen baseret på maksimumværdi er knuden og frihedsgraden, der giver maksimumværdien, bestemt. FrontISTR skriver dette ud i loggen for hver iteration for både residualer og korrektioner.

Kombination af afgørelserne

Hver afgørelsesstørrelse indtil dette afsnit (residual, korrektur og Lagrange-multiplikator, translationskomponent og rotationskomponent, L2-norm og maksimumværdi) kan individuelt angives som enten brugt i afgørelsen (CHECK) eller ikke (SKIP). Som standard er alle afgørelser baseret på L2-normen CHECK, og alle afgørelser baseret på maksimumværdien er SKIP.

Hvis enten residualnormkriteriet eller korrektionsnormkriteriet er opfyldt, betragtes analysen som konvergeret. Lagrange-multiplikatorkriteriet er derimod en bekræftelse af, at kontaktbetingelserne er opfyldt, og kræves derfor altid ved analyser med Lagrange-multiplikatorer. Inden for ét kriterium skal alle de størrelser, der er angivet som CHECK, opfyldes, både blandt translationskomponenten og rotationskomponenten og blandt L2-normen og maksimumværdien.

For at udtrykke dette matematisk defineres følgende to for en gruppe \(G\) af afgørelsesstørrelser:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ er opfyldt} \ \vee\ m \text{ er SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ er CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) er sand, hvis der slet ikke er CHECK-markerede afgørelsesstørrelser i \(G\). Konvergensbetingelsen er

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Lagrange-multiplikatorkriterium}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{korrektionsnormkriterium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{korrektionsnormkriterium}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{residualnormkriterium}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{residualnormkriterium}) \right) \right\} \]

At der er sat \(\mathrm{any\_check}\) på de to grupper, der er forbundet med "eller", skyldes, at en gruppe uden en eneste CHECK-markerede afgørelsesstørrelse ellers ville kunne gå ubemærket gennem afgørelsen. Rotationskomponenter ved analyser uden rotationsfrihedsgrader og Lagrange-multiplikatorkriteriet ved analyser uden Lagrange-multiplikatorer anvendes ikke i afgørelsen, selv om CHECK er angivet. Ved standardindstillingen er konvergensbetingelsen

\[ \left( \text{Lagrange-multiplikatorkriterium} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{korrektionsnormkriterium} \right) \ \vee\ \left( \text{residualnormkriterium} \right) \right\} \]

og ved analyser med rotationsfrihedsgrader evalueres både translations- og rotationskomponenten, mens ved analyser uden Lagrange-multiplikatorer evalueres betingelsen uden Lagrange-multiplikatorkriteriet.

Angivelsesmåde og standardværdier for tærsklerne \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) for L2-normbaserede afgørelser findes i !STEP, tærskler for CHECK/SKIP og for maksimumværdibaserede afgørelser findes i !CONVERG_PARAM, og retningslinjer for at vælge imellem dem findes i Ikke-lineær iteration og tidsintegration (funktion).

Relaterede emner