Modalanalyse¶

Generaliseret egenværdiproblem¶

Ved analyse af frie svingninger i et kontinuum diskretiseres strukturen rumligt og modelleres som et system med flere frihedsgrader og koncentrerede masser, som vist i figur 2.3.1. For et udæmpet problem med frie svingninger er den styrende ligning (bevægelsesligningen) som følger.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Her er $u$ den generaliserede forskydningsvektor, $M$ massematricen og $K$ stivhedsmatricen. Lad $\omega$ være egenvinkelfrekvensen, lad $a$ og $b$ være vilkårlige konstanter, som ikke begge er nul, og lad $x$ være en vektor. Definér funktionen

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Dens anden afledte er

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Indsættelse af ligning $\eqref{eq:2.3.2}$ og ligning $\eqref{eq:2.3.3}$ i ligning $\eqref{eq:2.3.1}$ giver

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Dermed fås ovenstående ligning.

For en ikke-triviel svingning er $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ikke identisk nul.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Derfor fås ovenstående relation. Sættes $\lambda=\omega^2$, fås

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Dermed fås ovenstående ligning.

Skalaren $\lambda$ kaldes en egenværdi, vektoren $x$ kaldes en egenvektor, og problemet udtrykt ved ligning $\eqref{eq:2.3.5}$ kaldes et generaliseret egenværdiproblem.

Egenvinkelfrekvensen $\omega$ fås fra egenværdien $\lambda=\omega^2$, og den tilhørende egenvektor $x$ repræsenterer en svingningsform.

Eksempel på et system med flere frihedsgrader ved udæmpede frie svingninger

Figur 2.3.1 Eksempel på et system med flere frihedsgrader ved udæmpede frie svingninger

Matrixegenskaber og antagelser¶

For det generaliserede egenværdiproblem $Kx=\lambda Mx$, der blev opnået i det foregående afsnit, antager denne manual, at matricerne er symmetriske. For komplekse matricer svarer dette til hermitiske matricer; for reelle matricer svarer det til symmetriske matricer.

Lad $k_{ij}$ være $ij$-elementet i matricen $K$. Den hermiteske egenskab er

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

udtrykt ved ovenstående ligning, hvor $\bar{k}_{ji}$ er den komplekst konjugerede af $k_{ji}$. For reelle matricer bliver denne relation $k_{ij}=k_{ji}$.

En reel symmetrisk matrix $H$ er positiv definit, hvis der for enhver vektor $x$, som ikke er nul,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ovenstående ulighed gælder. I så fald er alle egenværdier for $H$ positive.

I et strukturelt egenværdiproblem behandles massematricen $M$ normalt som positiv definit. Stivhedsmatricen $K$ kan derimod være positiv semidefinit afhængigt af randbetingelserne og kan have nulegenværdier, der svarer til stivlegememoder.

Forskudt invers iteration¶

I praktisk strukturanalyse med finite element-metoden er alle egenværdier som regel ikke nødvendige; ofte er højst nogle få egenværdier af lav orden tilstrækkelige. HEC-MW er beregnet til storskala problemer, hvor matricerne er store og yderst sparsomme med mange nulelementer. Det er derfor vigtigt at beregne egenværdierne for lavordensmoder effektivt under hensyntagen til disse egenskaber.

For en forskydning $\sigma$ kan ligning $\eqref{eq:2.3.5}$, hvis $-\sigma$ ikke er en egenværdi og $K+\sigma M$ er ikke-singulær, transformeres som følger.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Denne transformation lader egenvektoren $x$ være uændret og afbilder egenværdien $\lambda$ på $1/(\lambda+\sigma)$.

Jo nærmere $\lambda$ ligger $-\sigma$, desto større bliver den transformerede egenværdis absolutværdi. I et strukturelt egenværdiproblem er $\lambda \geq 0$ og $\sigma \geq 0$, så den laveste egenværdi afbildes på egenværdien med den største absolutværdi. Ved at udnytte denne egenskab og anvende en iterativ metode, der har tendens til først at konvergere mod egenværdier med stor absolutværdi, på ligning $\eqref{eq:2.3.8}$, kan egenværdierne af lav orden beregnes effektivt i stigende rækkefølge.

Denne metode kaldes forskudt invers iteration.

For analyser med randbetingelser sætter FrontISTR $\sigma = 0$, og ligning $\eqref{eq:2.3.8}$ bliver $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, dvs. uforskudt invers iteration. Ved en ubundet fri-fri-analyse er $K$ singulær, fordi den har nulegenværdier svarende til stivlegememoder; ved at give $\sigma$ en positiv værdi regulariseres $K+\sigma M$. Værdien af $\sigma$ angives med SIGMA i !EIGEN.

Lanczos-metoden¶

Begrundelse (sammenligning med Jacobi-metoden)¶

Jacobi-metoden er en velkendt klassisk metode.

Den er effektiv, når matricen er lille og tæt. Da de matricer, som HEC-MW behandler, er store og sparsomme, anvendes Jacobi-metoden imidlertid ikke; i stedet anvendes den iterative Lanczos-metode.

Algoritme og egenskaber¶

Denne metode, som C. Lanczos foreslog i 1950'erne, er en algoritme til tridiagonalisering af en matrix og har følgende egenskaber.

Det er en iterativ metode, som kan udføre beregningen, mens matricen holdes sparsom.
Operationerne består hovedsageligt af matrix-vektor-produkter, hvilket gør metoden velegnet til parallelisering.
Den er velegnet til geometrisk domænedekomponering knyttet til finite element-mesh.
Den kan udføre effektive beregninger ved at begrænse antallet af egenværdier eller det modeinterval, der skal bestemmes.

Lanczos-metoden starter fra en begyndelsesvektor, konstruerer successivt ortogonale vektorer og bestemmer en basis for et Krylov-underrum.

Ved aritmetik med endelig præcision kan afrundingsfejl medføre, at vektorerne mister deres ortogonalitet. For at begrænse denne virkning reortogonaliserer FrontISTR-implementeringen hver vektor i forhold til de allerede beregnede Lanczos-basisvektorer.

Geometrisk fortolkning (Krylov-underrum)¶

Ved at anvende følgende variabeltransformationer på ligning $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan problemet omskrives som

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Dermed fås ovenstående ligning.

For en vilkårlig vektor $q_0$, som ikke er nul,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

rummet udspændt af disse vektorer,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

kaldes et Krylov-underrum.

Lanczos-metoden konstruerer successivt en basis for dette Krylov-underrum.

FrontISTR anvender følgende indre produkt knyttet til massematricen $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

til at ortonormalisere basisvektorerne. Det indre produkt $\langle x,y\rangle$ og normen $\|x\|$, der vises i de følgende figurer, fortolkes i FrontISTR-beregninger som dette $M$-indre produkt og den tilsvarende $M$-norm

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

henholdsvis.

Anvend den lineære transformation defineret ved matricen $A$ på en vilkårlig vektor $q_0$, som vist i figur 2.3.2.

$Lineær transformation af $q_0$ ved matricen $A$$

Figur 2.3.2 Lineær transformation af $q_0$ ved matricen $A$

Den transformerede vektor ortogonaliseres i det rum, som den udspænder sammen med den oprindelige vektor. Mere præcist udføres Gram-Schmidt-ortogonalisering som vist i figur 2.3.3. Lad den resulterende vektor være $r_1$; ved at normalisere den fås $q_1$.

$Vektor $q_1$, der er ortogonal på $q_0$$

Figur 2.3.3 Vektor $q_1$, der er ortogonal på $q_0$

Med samme fremgangsmåde fås $q_2$ ud fra $q_1$. Her er $q_2$ ortogonal på både $q_1$ og $q_0$, som vist i figur 2.3.4.

$Vektor $q_2$, der er ortogonal på $q_1$ og $q_0$$

Figur 2.3.4 Vektor $q_2$, der er ortogonal på $q_1$ og $q_0$

På denne måde konstruerer Lanczos-metoden successivt en ortonormal basis for Krylov-underrummet. Teoretisk gør egenværdiproblemets symmetri det muligt at udtrykke denne iteration som en treleddet rekursionsrelation, der omfatter de senest beregnede basisvektorer.

FrontISTR-implementeringen reortogonaliserer imidlertid hver vektor i forhold til de allerede beregnede Lanczos-basisvektorer ved hjælp af det $M$-indre produkt for at begrænse tab af ortogonalitet som følge af aritmetik med endelig præcision.

Tridiagonalisering¶

I Lanczos-iterationen i FrontISTR ortonormaliseres basisvektorerne med hensyn til det $M$-indre produkt, der er beskrevet i det foregående afsnit, så

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ovenstående relation gælder.

Ved brug af matricen $A$ fra ligning $\eqref{eq:2.3.10}$ er den teoretiske Lanczos-iteration

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

udtrykt ved ovenstående treleddede rekursionsrelation.

Først defineres $\alpha_i$ som følger.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Definér dernæst det foreløbige residual som

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

vist ovenfor.

For at begrænse tab af ortogonalitet som følge af aritmetik med endelig præcision reortogonaliserer FrontISTR-implementeringen $\tilde{r}_{i+1}$ i forhold til de allerede beregnede Lanczos-basisvektorer ved hjælp af det $M$-indre produkt. Hvis $r_{i+1}$ er residualet efter reortogonalisering, gælder

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ovenstående relationer.

Saml de $m$ basisvektorer, der er beregnet ved Lanczos-iterationen, i

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Efter et endeligt antal Lanczos-iterationer gælder da

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ovenstående relation.

Her er $e_m$ den $m$-dimensionale enhedsvektor, hvis $m$-te komponent er 1, og hvis øvrige komponenter er nul, og

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

er en symmetrisk tridiagonal matrix.

Egenværdierne for det oprindelige storskala egenværdiproblem kan således approksimeres ved at beregne egenværdierne for den tridiagonale matrix $T_m$.

Relaterede emner¶

Frekvensresponsanalyse — Frekvensrespons ved brug af resultater fra modalanalyse
Analysetyper — Funktionsoversigt over modalanalyse