Verifikation med model med enkel geometri¶

Elastisk statisk analyse¶

I denne verifikation anvendes en udkragningsbjælke med et net som vist i figur 9.1.1. Der blev udført analyser for syv tilfælde, exA til exG, med belastningsbetingelserne varieret som vist i figur 9.1.2. Tilfælde exG har samme belastningsbetingelser som exA, men anvender en direkte løser.

Verifikationsresultatet for hver belastningsbetingelse er vist i tabel 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Eksempel på net for udkragningsbjælke (heksaederelementer)

	(a) exA,G: Koncentreret belastning
	(b) exD: Tyngdekraft
	(c) exB: Fladefordelt belastning
	(d) exE: Centrifugalkraft
	(e) exC: Volumenbelastning
	(f) exF: Termisk belastning

Fig. 9.1.2 Verifikationsbetingelser for modellen med udkragningsbjælke

Tabel 9.1.1: exA: Verifikationsresultater for problemet med koncentreret belastning

Tabel 9.1.2: exB: Verifikationsresultater for problemet med fladefordelt belastning

Tabel 9.1.3: exC: Verifikationsresultater for problemet med volumenbelastning

Tabel 9.1.4: exD: Verifikationsresultater for tyngdekraftsproblemet

Tabel 9.1.5: exE: Verifikationsresultater for centrifugalkraftsproblemet

Tabel 9.1.6: exF: Verifikationsresultater for problemet med termisk spændingsbelastning

Tabel 9.1.7: exG: Verifikationsresultater for den direkte metode (problem med koncentreret belastning)

Ikke-lineær statisk analyse¶

(2-1) exnl1: Geometrisk ikke-lineær analyse¶

Verifikationsmodellen for tilfælde exI er identisk med modellerne for tilfælde exA til exG. Figur 9.1.3 viser en skematisk fremstilling af verifikationsmodellen. Der udføres en geometrisk ikke-lineær analyse af denne model. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.8.

Den ikke-lineære beregning udføres for referencelasten \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), med et belastningsinkrement på \(0.1P\) over 10 trin.

Fig. 9.1.3 Verifikationsmodel

Tabel 9.1.8 exI: Verifikationsresultater (historik for maksimal nedbøjning)

(2-2) exnl2: Elastoplastisk deformationsanalyse¶

Dette verifikationsproblem er baseret på National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 fra NAFEMS, og udfører elastoplastisk deformationsanalyse med geometrisk ikke-linearitet og flere hærdningsregler. Figur 9.1.4 viser analysemodellen.

Fig. 9.1.4 Model for elastoplastisk deformationsanalyse

(1) Verifikationsbetingelser

(2) Randbetingelser

Alle knuder, der ikke er angivet her, er fuldt fastholdt. Den teoretiske løsning for dette problem er som følger.

Til sammenligning er beregningsresultaterne som følger.

Kontaktanalyse (1)¶

Dette verifikationsproblem er baseret på kontakt-patch-testproblemet CGS-4 fra National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), og tester kontaktfunktionen med finite sliding og friktion. Figur 9.1.5 viser analysemodellen.

Fig. 9.1.5 Model for kontaktanalyse

Ligevægtsbetingelsen for dette problem er som følger.

I fasen med klæbende friktion er friktionskraften

og i fasen med glidende friktion er den

Dette giver ovenstående relation.

Sammenligningen mellem beregningsresultaterne og den analytiske løsning er som følger.

Kontaktanalyse (2): Hertz-kontaktproblem¶

Denne verifikation analyserer Hertz-kontaktproblemet mellem en uendeligt lang cylinder og et uendeligt plan. Cylinderens radius er \(R = 8\ \mathrm{mm}\), og det deformerbare legemes Youngs modul \(E\) og Poissons forhold \(\mu\) er henholdsvis \(1100\ \mathrm{MPa}\) og \(0.0\). Kontaktområdet antages at være tilstrækkeligt lille i forhold til cylinderens radius, og under hensyntagen til problemets symmetri analyseres en kvart cylindermodel.

Fig. 9.1.6 Analysemodel for Hertz-kontaktproblemet

(1) Verifikationsresultater for kontaktradius¶

Den teoretiske formel til beregning af kontaktradius er som følger:

hvor

Dette giver ovenstående udtryk. Ved \(F=100\) er kontaktradius under de aktuelle beregningsbetingelser \(a=1.36\).

Figur 9.1.7 viser de ækvivalente knudekræfter ved kontaktpunkterne. Kontaktradius bestemmes ved ekstrapolation af denne fordeling af knudekræfter.

Fig. 9.1.7 Fordeling af ækvivalente knudekræfter ved kontaktpunkterne

(2) Verifikationsresultater for maksimal forskydningsspænding¶

I den teoretiske løsning, ved kontaktpositionen

er den maksimale forskydningsspænding

Dette er den teoretiske maksimale forskydningsspænding. Under de aktuelle beregningsbetingelser,

Dette er den teoretiske værdi under de aktuelle betingelser. Til sammenligning giver beregningen

Dette er det beregnede resultat.

Fig. 9.1.8 Fordeling af forskydningsspænding (maksimal værdi = 15.6)

(3) Modalanalyse¶

Verifikationsmodellerne for tilfælde exJ og exK er identiske med modellerne for tilfælde exA til exG. Figur 9.1.9 viser en skematisk fremstilling af verifikationsmodellen. Der udføres en modalanalyse af denne model. De første tre egenfrekvenser beregnes. Tilfælde exJ anvender en iterativ løser, mens tilfælde exK anvender en direkte løser. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.9 til 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Verifikationsmodel

Udkragningsbjælkens egenfrekvenser bestemmes ud fra følgende ligninger.

Første mode

Anden mode

Tredje mode

Egenskabsværdierne for verifikationsmodellen er

De første tre egenfrekvenser er således følgende:

Tabel 9.1.9: exJ: Verifikationsresultater for iterativ metode for den første egenfrekvens

Tabel 9.1.10: Verifikationsresultater for exJ med iterativ metode for den anden egenfrekvens

Bemærk: I de tredimensionale (3D) modeller er første og anden svingningsform degenererede. Derfor angives den tredje beregnede egenfrekvens i tabellen som den anden egenfrekvens.

Tabel 9.1.11: Verifikationsresultater for exK med direkte metode for den første egenfrekvens

Tabel 9.1.12: Verifikationsresultater for exK med direkte metode for den anden egenfrekvens

Bemærk: I 3D-modellerne er første og anden svingningsform degenererede. Derfor angives den tredje beregnede egenfrekvens i tabellen som den anden egenfrekvens.

(4) Varmeledningsanalyse¶

De fælles betingelser for de stationære varmeledningsanalyser er vist i figur 9.1.10. De individuelle betingelser for verifikationstilfældene exM til exT er vist i figur 9.1.11. Netinddelingen svarer til den, der anvendes for exA.

Verifikationsresultaterne (tabel over temperaturfordeling) for hvert tilfælde er vist i tabel 9.1.13–9.1.20.

Temperaturafhængighed af varmeledningsevne

Fig. 9.1.10: Verifikationsbetingelser for stationær varmeledningsanalyse

exM: Lineært materiale
exN: Problem med foreskrevet temperatur
exO: Problem med koncentreret varmeflux
exP: Problem med fordelt varmeflux
exQ: Problem med konvektiv varmeoverførsel
exR: Problem med strålingsvarmeoverførsel
exS: Problem med volumetrisk varmeudvikling
exT: Problem med intern spalte

Fig. 9.1.11: Analysebetingelser for hvert verifikationstilfælde

Tabel 9.1.13: Verifikationsresultater for exM (stationær beregning med lineært materiale)

Tabel 9.1.14: Verifikationsresultater for exN (problem med foreskrevet temperatur)

Tabel 9.1.15: Verifikationsresultater for exO (problem med koncentreret varmeflux)

Tabel 9.1.16: Verifikationsresultater for exP (problem med fordelt varmeflux)

Tabel 9.1.17: Verifikationsresultater for exQ (problem med konvektiv varmeoverførsel)

Tabel 9.1.18: Verifikationsresultater for exR (problem med strålingsvarmeoverførsel)

Tabel 9.1.19: Verifikationsresultater for exS (problem med volumetrisk varmeudvikling)

Tabel 9.1.20: Verifikationsresultater for exT (problem med intern spalte)

Lineær dynamisk analyse¶

I exW udføres en lineær dynamisk analyse af den samme udkragningsbjælke som i punkt (1). Figur 9.1.12 viser verifikationsbetingelserne. For den samme netinddeling verificeres tidsinkrementets indflydelse på resultaterne. Der anvendes både implicitte og eksplicitte tidsintegrationsmetoder med elementtype 361 og 342. Verifikationsresultaterne er vist i tabel 9.1.22 og figur 9.1.13 til 9.1.15.

Analysemodel

Tidshistorik for den ydre kraft F

Den teoretiske løsning for vibrationspunktets forskydning er som følger:

hvor

Fig. 9.1.12: Verifikationsbetingelser for lineær dynamisk analyse

Verifikationsbetingelser:

Tabel 9.1.21: Verifikationsbetingelser for den lineære dynamiske analyse (fortsat)

Tabel 9.1.22: Verifikationsresultater for lineær dynamisk analyse af exW (udkragningsbjælke)

Fig. 9.1.13: Deformationsdiagram og fordeling af ækvivalent spænding for udkragningsbjælken

(a) Elementtype 361 : Implicit metode

(b) Elementtype 361: Eksplicit metode

Fig. 9.1.14 Tidshistorik for forskydningen af excitationspunktet \(u_z\)

(a) Elementtype 342: Implicit metode

(b) Elementtype 342: Eksplicit metode

Fig. 9.1.15: Tidshistorik for vibrationspunktets forskydning \(u_z\)

Frekvensresponsanalyse¶

I denne verifikation udføres en frekvensresponsanalyse af en udkragningsbjælke, og den verificeres ved sammenligning med resultater fra kommerciel software til generelle formål. Analysemodellen og verifikationsbetingelserne er vist nedenfor.

Analysebetingelser:

Fig. 9.1.16 : Analysemodel (førsteordens tetraederelement (126 elementer og 55 knuder))

De første fem egenfrekvenser fra modalanalysen og frekvensresponsen ved excitationspunktet er vist nedenfor:

Fig. 9.1.17 : Frekvensafhængighed af forskydningsamplituden ved vibrationspunkterne