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Virtuelle Arbeit äußerer Kräfte und Assemblierung der globalen Gleichungen

In Diskretisierung der virtuellen Arbeit innerer Kräfte wurde die linke Seite der schwachen Form auf den Element-Innenkraftvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-Methode) bzw. \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-Methode) zurückgeführt. Dieses Kapitel führt aus der virtuellen Arbeit äußerer Kräfte den Elementknoten-Außenkraftvektor \(\boldsymbol{F}^e\) ein und wendet anschließend die Assemblierung an, bei der Elementknotengrößen nach globalen Knotennummern umgeordnet und aufsummiert werden. Auf diese Weise wird schließlich das nichtlineare Gleichungssystem in den Knotenverschiebungen erhalten, das von der nichtlinearen Strukturanalyse in FrontISTR gelöst wird.

Elementweise Zerlegung der virtuellen Arbeit äußerer Kräfte

Die rechte Seite des Prinzips der virtuellen Arbeit lässt sich elementweise in die virtuelle Arbeit äußerer Kräfte zerlegen, die aus Volumenkräften und vorgegebenen Oberflächentraktionen an mechanischen Rändern besteht. Um die in Formfunktionen und Finite-Elemente-Approximation eingeführte Verschiebungsinterpolation in Matrixform zu schreiben, wird für den Knoten \(\alpha\) die Formfunktion \(N_\alpha^e\) auf der Diagonalen eines \(d \times d\)-Blocks \(\boldsymbol{N}_\alpha\) angeordnet; aus diesen Blöcken wird \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) gebildet, sodass \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) gilt. Durch Einsetzen in die in der Referenzkonfiguration formulierte virtuelle Arbeit äußerer Kräfte erhält man

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

wobei der Elementknoten-Außenkraftvektor als \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) angeordnet ist. Damit wird die virtuelle Arbeit äußerer Kräfte auf dieselbe Form „Elementknotenvektor × Testfunktion“ wie die Innenkraftseite zurückgeführt. Bei Formulierung in der aktuellen Konfiguration ergibt sich dieselbe Form durch die Ersetzungen \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) und \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\).

Assemblierung von Elementknotengrößen

Die für jedes Element erhaltenen Knotengrößen \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) werden zu globalen Vektoren zusammengeführt, die nach globaler Knotennummer geordnet sind. Für das Element \(\Omega^e\) sei die globale Knotennummer, die der lokalen Knotennummer \(\alpha\) entspricht,

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Eine Elementknotengröße ist identisch mit der entsprechenden Komponente der globalen Knotengröße (beispielsweise \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Da der Knoten \(i_g\) im Allgemeinen von mehreren Elementen gemeinsam genutzt wird, sammeln wir für den globalen Knoten \(i_g\) alle Paare \((e, \alpha)\) in der Menge

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Wird mit dieser Menge die Summe als \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) umgeschrieben, ergeben sich die Knoteninnenkraft und der globale Innenkraftvektor über alle \(n_g\) Knoten:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Dabei ist \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) die Resultierende der am Knoten \(i_g\) wirkenden Elementknoten-Innenkräfte und ist \(\boldsymbol{0}\), wenn keine äußere Kraft wirkt und Gleichgewicht herrscht. Mit demselben Verfahren erhält man bei der UL-Methode \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); da numerisch \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) gilt, wird im Folgenden außer dort, wo eine Unterscheidung erforderlich ist, einheitlich die Notation \(\boldsymbol{Q}\) verwendet. Der globale Außenkraftvektor \(\boldsymbol{F}\) wird durch dieselbe Summierung erhalten.

In der Implementierung wird die Menge \(\mathcal{E}(i_g)\) nicht explizit aufgebaut; stattdessen werden die Beiträge innerhalb der Elementschleife den entsprechenden Komponenten hinzuaddiert.

Globalen Innenkraftvektor Q mit 0 initialisieren: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (Anzahl der Elemente)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Der globale Außenkraftvektor \(\boldsymbol{F}\) wird nach demselben Verfahren aufgebaut. Das Addieren und Speichern von Elementknotengrößen in Vektoren und Matrizen, die nach globalen Knotennummern indiziert sind, wird als Assemblierung bezeichnet. Für Tensoren zweiter Ordnung, die zwei Knotennummern zugeordnet sind (z. B. Steifigkeitsmatrizen), wird dieselbe Art der Assemblierung mit der Menge \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{und}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) erhalten. Die konkrete Konstruktion ist unter Tangentialsteifigkeitsmatrix beschrieben.

Zu lösendes nichtlineares Gleichungssystem

Setzt man die assemblierten inneren und äußeren Kräfte in das Prinzip der virtuellen Arbeit ein und nutzt, dass dieses für jede Testfunktion \(\delta\boldsymbol{u}^n\) gilt, die die geometrischen Randbedingungen erfüllt, erhält man

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Im Kontext der inkrementellen Analyse (Rahmen der inkrementellen Analyse) wird der Zeitindex \(_{n+1}\) wieder eingeführt und der Hochindex \(^n\), der den globalen Knotenvektor bezeichnet, weggelassen. Die zu lösende Gleichung lautet dann

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Damit reduziert sich das diskretisierte Randwertproblem zum Zeitpunkt \(t_{n+1}\), bei dem die Knotenverschiebung \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) zu bestimmen ist, zusammen mit den geometrischen Randbedingungen auf die Lösung dieser nichtlinearen Gleichung in den Verschiebungen. Die Linearisierung der Gleichung und der Aufbau der Tangentialsteifigkeitsmatrix werden unter Tangentialsteifigkeitsmatrix beschrieben, das iterative Lösungsverfahren unter Newton-Raphson-Methode.

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