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Liste der Symbole physikalischer Größen¶
Diese Seite listet die Symbole für physikalische Größen auf, die im FrontISTR-Theoriehandbuch verwendet werden. Zu den Notationsregeln (Fettschrift für Vektoren und Tensoren, Einsteinsche Summenkonvention und Voigt-Notation) siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen.
Konfigurationen und Koordinatensysteme¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Ortsvektor eines Materialpunkts in der Referenzkonfiguration (Ausgangskonfiguration), d. h. Materialkoordinaten |
| \(\boldsymbol{x}\) | Ortsvektor eines Materialpunkts in der aktuellen Konfiguration, d. h. Raumkoordinaten |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Bewegungsabbildung: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Vom Körper in der Referenzkonfiguration eingenommenes Gebiet |
| \(\Omega\) | Vom Körper in der aktuellen Konfiguration eingenommenes Gebiet |
| \(\Gamma_0\) | Rand von \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Rand von \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrischer (Verschiebungs-)Rand: Rand in aktueller bzw. Referenzkonfiguration, auf dem \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) vorgegeben ist |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanischer Rand: Rand in aktueller bzw. Referenzkonfiguration, auf dem \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (oder \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) vorgegeben ist |
| \(\boldsymbol{n}\) | Nach außen gerichteter Einheitsnormalenvektor einer Fläche in der aktuellen Konfiguration |
| \(\boldsymbol{N}\) | Nach außen gerichteter Einheitsnormalenvektor einer Fläche in der Referenzkonfiguration |
| \(t\) | Zeit |
Konvention: Physikalische Größen in der Referenzkonfiguration werden mit Großbuchstaben oder dem Index \(0\) bezeichnet, Größen in der aktuellen Konfiguration mit Kleinbuchstaben.
Zeit und Inkremente (inkrementelle Analyse)¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Zeitinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Physikalische Größe zum Zeitpunkt \(t\) (vorangestellter Hochindex). Beispiel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) ist die Cauchy-Spannung zum Zeitpunkt \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Gebiet der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rand der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt \(t\) |
Konvention: Bei der inkrementellen Analyse wird der Zustand bis zum Zeitpunkt \(t\) als bekannt behandelt und der Zustand zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\) als unbekannt bestimmt. Der vorangestellte Hochindex wird weggelassen, wenn die Zeit nicht ausdrücklich angegeben werden muss. Eine Formulierung, die die Referenzkonfiguration \(\Omega_0\) als Bezug verwendet, heißt Total-Lagrange-Formulierung; eine Formulierung, die die aktuelle Konfiguration \(^{t}\Omega\) zu Beginn des Inkrements als Bezug verwendet, heißt Updated-Lagrange-Formulierung.
Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Volumenkraft¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Verschiebungsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Auf dem geometrischen Rand \(\Gamma_B\) vorgegebene Verschiebung |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuelle Verschiebung (Testfunktion): auf \(\Gamma_B\) gilt \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Geschwindigkeitsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Beschleunigungsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Volumenkraft (pro Masseneinheit) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Oberflächenkraftvektor (pro Flächeneinheit): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Auf dem mechanischen Rand \(\Gamma_t\) vorgegebene Oberflächenkraft (Neumann-Daten) |
Differentialoperatoren¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materielle Zeitableitung (Zeitableitung entlang desselben Materialpunkts): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient in der Referenzkonfiguration (Gradient bezüglich der Materialkoordinaten \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient in der aktuellen Konfiguration (Gradient bezüglich der Raumkoordinaten \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrischer Gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Hinweis: \(\nabla_X\) und \(\nabla_x\) stehen über \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) in Beziehung. Ein Gradient ohne Index, \(\nabla\), wird verwendet, wenn die Konfiguration aus dem Kontext eindeutig ist oder der Unterschied verschwindet, etwa bei kleinen Verformungen.
Deformationstensoren¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformationsgradient: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volumenänderungsverhältnis: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Rechter Cauchy-Green-Deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Linker Cauchy-Green-Deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Geschwindigkeitsgradiententensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformationsgeschwindigkeitstensor (symmetrischer Anteil von \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spintensor (antisymmetrischer Anteil von \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Dehnungstensoren¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-Dehnungstensor (Referenzkonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-Dehnungstensor (aktuelle Konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Linearer Anteil des Almansi-Dehnungstensors (symmetrischer Verschiebungsgradient in der aktuellen Konfiguration): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimaler Dehnungstensor (lineare Näherung): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Hinweis: \(\boldsymbol{E}\) wird hauptsächlich in der Total-Lagrange-Formulierung und \(\boldsymbol{D}\) hauptsächlich in der Updated-Lagrange-Formulierung verwendet.
Spannungstensoren¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-Spannungstensor (wahre Spannung, aktuelle Konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Erster Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (Nennspannung): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Zweiter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (Referenzkonfiguration, symmetrisch): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Umrechnungsbeziehungen zwischen den Spannungstensoren:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvention: In der Total-Lagrange-Formulierung wird das Paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), in der Updated-Lagrange-Formulierung das Paar \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) verwendet.
Dichte und Masse¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\rho\) | Massendichte in der aktuellen Konfiguration |
| \(\rho_0\) | Massendichte in der Referenzkonfiguration |
Massenerhaltung: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialkonstanten (lineare Elastizität)¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(E\) | Elastizitätsmodul (Youngscher Modul) |
| \(\nu\) | Poissonzahl |
| \(\lambda\) | Erste Lamé-Konstante: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Zweite Lamé-Konstante (Schubmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elastizitätstensor (4. Ordnung): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), Komponenten \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (oder \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialmatrix (Voigt-Notation, in 3D \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenten des Elastizitätstensors für ein isotropes linear-elastisches Material:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastische Materialien¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastische Potentialfunktion (Formänderungsenergiedichte) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green-Tensors \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reduzierte Invarianten von \(\boldsymbol{C}\) (Volumenänderungsanteil abgetrennt) |
| \(C_1, C_2\) | Materialkonstanten des Mooney-Rivlin-Modells |
| \(D\) | Materialkonstante für die volumetrische Elastizität |
Elastoplastische Materialien¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastischer Anteil des Deformationsgeschwindigkeitstensors |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastischer Anteil des Deformationsgeschwindigkeitstensors |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Fließfunktion |
| \(\kappa\) | Interne Variable zur Beschreibung des plastischen Zustands (isotrope Verfestigungsvariable) |
| \(\lambda^p\) | Plastischer Multiplikator (Multiplikator der plastischen Dehnrate): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisches Potential (bei assoziierter Fließregel \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Vergleichsspannung (z. B. von-Mises-Spannung) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Äquivalente plastische Dehnung |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrope Verfestigungsfunktion |
Komplementaritätsbedingung: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Finite-Elemente-Methode¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Durch Finite-Elemente-Diskretisierung approximierte Gebiete in aktueller und Referenzkonfiguration: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementgebiet in aktueller und Referenzkonfiguration |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Teil des Elementrands, der zum mechanischen Rand gehört |
| \(\boldsymbol{r}\) | Natürliche Koordinaten (lokale Elementkoordinaten) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt in natürlichen Koordinaten, der dem Knoten \(\alpha\) entspricht |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunktion des Elements \(e\) für Knoten \(\alpha\) |
| \(n_e\) | Anzahl der Knoten eines Elements |
| \(n_g\) | Gesamtzahl der globalen Knoten |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinaten und Verschiebung des Elementknotens \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektoren der Elementknotenkoordinaten und -verschiebungen: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) usw. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globale Knotenkoordinaten- und Verschiebungsvektoren (geordnet nach Knotennummer und anschließend Freiheitsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Dehnungs-Verschiebungs-Matrix (B-Matrix) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunktionsmatrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) enthält für Knoten \(\alpha\) die Formfunktion \(N_\alpha^e\) diagonal in einem \(d \times d\)-Block, und \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementsteifigkeitsmatrix |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integranden der Elementsteifigkeitsmatrix (in Referenz- bzw. aktueller Konfiguration dargestellt): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-Formulierung), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-Formulierung) | Element-Innenkraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Äußere Knotenkraft am Elementknoten \(\alpha\) sowie Vektor der äußeren Elementknotenkräfte: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globaler Innenkraftvektor und globaler äußerer Kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); entsprechend für \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Knoteninnenkraft und äußere Knotenkraft am globalen Knoten \(i_g\) (Knotenblöcke von \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globale Tangentialsteifigkeitsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrix mit dem \(3\times 3\)-Block \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) in Zeile \(i_g\) und Spalte \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor in der Newton-Raphson-Iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrektur der Newton-Raphson-Iteration (in der \(i\)-ten Iteration durch Lösen der linearen Gleichung \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) erhalten) |
| \(i_g\) | Globale Knotennummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globale Knotennummer, die im Element \(e\) der lokalen Knotennummer \(\alpha\) entspricht: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Menge der zur globalen Knotennummer \(i_g\) gehörenden Paare \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Wird bei Assemblierungsoperationen verwendet |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Zum Paar globaler Knotennummern \((i_g, i_h)\) gehörende Menge der Tupel \((e, \alpha, \beta)\); wird zur Assemblierung der Steifigkeitsmatrix verwendet |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indizes für die Knoten eines Elements |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indizes für Freiheitsgrade (in 3D \(1, 2, 3\)) |
Erweiterte Elemente und Strukturelemente¶
| Symbol | Beschreibung |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Dehnungs-Verschiebungs-Matrix mit nach dem B-bar-Verfahren modifiziertem Volumenanteil (der Volumenanteil wird durch die am Elementzentrum ausgewertete B-Matrix ersetzt) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformationsgradient mit nach dem F-bar-Verfahren modifiziertem Volumenanteil: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volumenänderungsverhältnis des am Elementzentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ausgewerteten Deformationsgradienten: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Interner Freiheitsgradvektor eines Elements mit inkompatiblen Moden (Koeffizienten zusätzlicher Verschiebungsmoden, die am Elementrand keine Stetigkeit erzwingen) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunktionen der inkompatiblen Moden: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Dicke eines Schalenelements |
| \(A\) | Querschnittsfläche eines Balkenelements |
| \(I\) | Flächenträgheitsmoment des Querschnitts eines Balkenelements (um die lokalen \(y\)- und \(z\)-Achsen als \(I_y\) bzw. \(I_z\) bezeichnet) |
| \(G\) | Schubmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Elementlänge eines Balkenelements |
| \(A_s\) | Schubfläche des Querschnitts eines Balkenelements (FrontISTR verwendet \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Koeffizienten für den Beitrag der Schubverformung eines Timoshenko-Balkens: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Verwandte Themen¶
- Tensornotation und mathematische Grundlagen — Regeln für Fettschrift, Einsteinsche Summenkonvention und Voigt-Notation
- Bewegung, Verformung und Dehnung — Definitionen von Konfigurationen, Deformationsgradient und Dehnung
- Bewegung, Verformung und Dehnung — Herleitung der Grundgleichungen
- Lineare Elastizität — Explizite Komponenten der Materialmatrix \(D\)