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Verifikation anhand eines Modells mit einfacher Geometrie

Elastische statische Analyse

Für diese Verifikation wird ein Kragträger verwendet, der wie in Abbildung 9.1.1 dargestellt vernetzt ist. Es wurden Analysen für sieben Fälle, exA bis exG, mit den in Abbildung 9.1.2 dargestellten unterschiedlichen Lastbedingungen durchgeführt. Fall exG weist dieselben Lastbedingungen wie exA auf, verwendet jedoch einen direkten Solver.

Die Verifikationsergebnisse für die einzelnen Lastbedingungen sind in den Tabellen 9.1.1 bis 9.1.7 dargestellt.

Beispiel für die Vernetzung des Kragträgers (Hexaederelemente) Abbildung 9.1.1 Beispiel für die Vernetzung des Kragträgers (Hexaederelemente)
(a) exA, G: Konzentrierte Last
(b) exD: Schwerkraft
(c) exB: Verteilte Flächenlast
(d) exE: Zentrifugalkraft
(e) exC: Volumenlast
(f) exF : Thermische Last
Posten Wert
Elastizitätsmodul \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Länge \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Querkontraktionszahl \(\nu = 0.3\)
Querschnittsfläche \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Massendichte \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Flächenträgheitsmoment \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Erdbeschleunigung \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Linearer Wärmeausdehnungskoeffizient \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Abbildung 9.1.2 Verifikationsbedingungen für das Kragträgermodell

Tabelle 9.1.1 exA: Verifikationsergebnisse des Problems mit konzentrierter Last

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -1.000\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 Knoten / ebener Spannungszustand
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 Knoten / ebener Spannungszustand
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 Knoten / ebener Spannungszustand
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 Knoten / ebener Spannungszustand
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 Knoten
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 Knoten
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 Knoten
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 Knoten
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 Knoten
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 Knoten
A731 40 - - -0.991 33 Knoten / direktes Verfahren
A741 20 - - -0.996 33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.2 exB: Verifikationsergebnisse des Problems mit verteilter Flächenlast

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -3.750\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 Knoten / ebener Spannungszustand
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 Knoten / ebener Spannungszustand
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 Knoten / ebener Spannungszustand
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 Knoten / ebener Spannungszustand
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 Knoten
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 Knoten
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 Knoten
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 Knoten
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 Knoten
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 Knoten
B731 40 - - -3.722 33 Knoten / direktes Verfahren
B741 20 - - -3.743 33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.3 exC: Verifikationsergebnisse des Volumenlastproblems

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 Knoten / ebener Spannungszustand
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 Knoten / ebener Spannungszustand
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 Knoten / ebener Spannungszustand
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 Knoten / ebener Spannungszustand
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 Knoten
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 Knoten
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 Knoten
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 Knoten
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 Knoten
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 Knoten
C731 40 - - -2.922e-5 33 Knoten / direktes Verfahren
C741 20 - - -2.938e-5 33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.4 exD: Verifikationsergebnisse des Schwerkraftproblems

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 Knoten / ebener Spannungszustand
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 Knoten / ebener Spannungszustand
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 Knoten / ebener Spannungszustand
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 Knoten / ebener Spannungszustand
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 Knoten
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 Knoten
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 Knoten
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 Knoten
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 Knoten
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 Knoten
D731 40 - - -2.922e-5 33 Knoten / direktes Verfahren
D741 20 - - -2.938e-5 33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.5 exE: Verifikationsergebnisse des Zentrifugalkraftproblems

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 Knoten / ebener Spannungszustand
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 Knoten / ebener Spannungszustand
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 Knoten
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 Knoten
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 Knoten
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 Knoten
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 Knoten
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 Knoten
E731 40 - - 2.619e-3 33 Knoten / direktes Verfahren
E741 20 - - 2.622e-3 33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.6 exF: Verifikationsergebnisse des Problems mit thermischer Spannungslast

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 Knoten / ebener Spannungszustand
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 Knoten / ebener Spannungszustand
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 Knoten / ebener Spannungszustand
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 Knoten / ebener Spannungszustand
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 Knoten
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 Knoten
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 Knoten
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 Knoten
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 Knoten
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 Knoten

Tabelle 9.1.7 exG: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens (Problem mit konzentrierter Last)

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert: δmax= -1.000 Bemerkungen
NASTRAN Kommerzielle Software FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 Knoten / ebener Spannungszustand
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 Knoten / ebener Spannungszustand
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 Knoten / ebener Spannungszustand
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 Knoten / ebener Spannungszustand
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 Knoten
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 Knoten
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 Knoten
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 Knoten
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 Knoten
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 Knoten
G731 40 - - -0.991 33 Knoten / direktes Verfahren
G741 20 - - -0.996 33 Knoten / direktes Verfahren

Nichtlineare statische Analyse

(2-1) exnl1: Geometrisch nichtlineare Analyse

Das Verifikationsmodell für Fall exI ist mit den Modellen der Fälle exA bis exG identisch. Abbildung 9.1.3 zeigt eine schematische Darstellung des Verifikationsmodells. An diesem Modell wird eine geometrisch nichtlineare Analyse durchgeführt. Die Verifikationsergebnisse sind in Tabelle 9.1.8 dargestellt.

Für die nichtlineare Berechnung wird die Referenzlast \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\) zugrunde gelegt; die Berechnung erfolgt mit einem Lastinkrement von \(0.1P\) in 10 Lastschritten.

Verifikationsmodell Abbildung 9.1.3 Verifikationsmodell

Tabelle 9.1.8 exI: Verifikationsergebnisse (Verlauf der maximalen Durchbiegung)

Fallname 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Lineare Lösung
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastische Verformungsanalyse

Dieses Verifikationsproblem basiert auf dem NAFEMS-Test NL1 der National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), und führt eine elastoplastische Verformungsanalyse unter Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität und mehrerer Verfestigungsregeln durch. Abbildung 9.1.4 zeigt das Analysemodell.

Modell für die elastoplastische Verformungsanalyse

Abbildung 9.1.4 Modell für die elastoplastische Verformungsanalyse

(１) Verifikationsbedingungen

Posten Wert
Material Mises-elastoplastisches Material
Elastizitätsmodul \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Querkontraktionszahl \(\nu=0.25\)
Anfangsfließspannung \(5\ \mathrm{MPa}\)
Anfangsfließdehnung \(0.25\times10^{-4}\)
Isotroper Verfestigungskoeffizient \(H_i = 0\) oder \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(２) Randbedingungen

Posten Randbedingung Wert
Schritt 1 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 2 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 3 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 4 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 5 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 6 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 7 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 8 Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Alle hier nicht aufgeführten Knoten sind vollständig festgehalten. Die theoretische Lösung für dieses Problem lautet wie folgt.

Dehnung (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Vergleichsspannung (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Zum Vergleich lauten die Berechnungsergebnisse wie folgt.

Dehnung (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Vergleichsspannung (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktanalyse (1)

Dieses Verifikationsproblem basiert auf dem Kontakt-Patch-Test CGS-4 der National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), und prüft die Kontaktfunktion mit endlichem Gleiten und Reibung. Abbildung 9.1.5 zeigt das Analysemodell.

Kontaktanalysemodell

Abbildung 9.1.5 Kontaktanalysemodell

Die Gleichgewichtsbedingung für dieses Problem lautet wie folgt.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

In der Haftreibungsphase beträgt die Reibkraft

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

und in der Gleitreibungsphase beträgt sie

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Damit ergibt sich die obige Beziehung.

Der Vergleich zwischen den Berechnungsergebnissen und der analytischen Lösung lautet wie folgt.

\(\mu\) \(F/G\) Analytische Lösung \(F/G\) Berechnungsergebnisse
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Kontaktanalyse (2): Hertz-Kontaktproblem

In dieser Verifikation wird das Hertz-Kontaktproblem zwischen einem unendlich langen Zylinder und einer unendlichen Ebene analysiert. Der Zylinderradius beträgt \(R = 8\ \mathrm{mm}\); der Elastizitätsmodul \(E\) und die Querkontraktionszahl \(\mu\) des verformbaren Körpers betragen \(1100\ \mathrm{MPa}\) bzw. \(0.0\). Es wird angenommen, dass die Kontaktfläche im Vergleich zum Zylinderradius hinreichend klein ist; unter Berücksichtigung der Symmetrie des Problems wird ein Viertelzylindermodell analysiert.

Analysemodell für das Hertz-Kontaktproblem Abbildung 9.1.6 Analysemodell für das Hertz-Kontaktproblem

(1) Verifikationsergebnisse für den Kontaktradius

Die theoretische Formel zur Berechnung des Kontaktradius lautet wie folgt:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

wobei

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Damit ergibt sich der oben angegebene Ausdruck. Unter den vorliegenden Berechnungsbedingungen beträgt der Kontaktradius bei einem Druck von \(F=100\) \(a=1.36\).

Abbildung 9.1.7 zeigt die äquivalenten Knotenkräfte an den Kontaktpunkten. Der Kontaktradius wird durch Extrapolation dieser Knotenkräfteverteilung bestimmt.

Verteilung der äquivalenten Knotenkräfte an den Kontaktpunkten

Abbildung 9.1.7 Verteilung der äquivalenten Knotenkräfte an den Kontaktpunkten

(2) Verifikationsergebnisse für die maximale Schubspannung

In der theoretischen Lösung gilt an der Kontaktposition

\[ z = 0.78a \]

die maximale Schubspannung beträgt

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Dies ist die theoretische maximale Schubspannung. Unter den vorliegenden Berechnungsbedingungen

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Dies ist der theoretische Wert unter den vorliegenden Berechnungsbedingungen. Zum Vergleich ergibt die Berechnung

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Die Berechnung ergibt dagegen den oben angegebenen Wert.

Schubspannungsverteilung (Maximalwert = 15.6 Abbildung 9.1.8 Schubspannungsverteilung (Maximalwert = 15.6)

(3) Modalanalyse

Die Verifikationsmodelle für die Fälle exJ und exK sind mit den Modellen der Fälle exA bis exG identisch. Abbildung 9.1.9 zeigt eine schematische Darstellung des Verifikationsmodells. An diesem Modell wird eine Modalanalyse durchgeführt. Es werden die ersten drei Eigenfrequenzen berechnet. Fall exJ verwendet einen iterativen Solver, während Fall exK einen direkten Solver verwendet. Die Verifikationsergebnisse sind in den Tabellen 9.1.9 bis 9.1.12 dargestellt.

VerifikationsModell Abbildung 9.1.9 Verifikationsmodell

Die Eigenfrequenzen des Kragträgers werden aus den folgenden Gleichungen bestimmt.

Erste Eigenfrequenz

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Zweite Eigenfrequenz

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Dritte Eigenfrequenz

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Die Kennwerte des Verifikationsmodells sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Posten Wert
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Damit ergeben sich die ersten drei Eigenfrequenzen wie folgt:

Modennummer Wert
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabelle 9.1.9 exJ: Verifikationsergebnisse des iterativen Verfahrens (erste Eigenfrequenz)

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : n1=3.609e3 Bemerkungen
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 Knoten
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 Knoten
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 Knoten
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 Knoten
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 Knoten
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 Knoten

Tabelle 9.1.10 exJ: Verifikationsergebnisse des iterativen Verfahrens (zweite Eigenfrequenz)

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : n2=2.262e4 Bemerkungen
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 Knoten
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 Knoten
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 Knoten
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 Knoten
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 Knoten
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 Knoten

Hinweis: Bei den dreidimensionalen (3D) Modellen sind die erste und die zweite Mode entartet. Daher wird in der Tabelle die dritte berechnete Eigenfrequenz als zweite Eigenfrequenz angegeben.

Tabelle 9.1.11 exK: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens (erste Eigenfrequenz)

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : n1=3.609e3 Bemerkungen
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 Knoten
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 Knoten
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 Knoten
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 Knoten
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 Knoten
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 Knoten
J731 40 - 3.606e3 220 Knoten
J741 20 - 3.594e3 220 Knoten

Tabelle 9.1.12 exK: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens (zweite Eigenfrequenz)

Fallname Anzahl der Elemente Vorhergesagter Wert : n2=2.262e4 Bemerkungen
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 Knoten
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 Knoten
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 Knoten
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 Knoten
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 Knoten
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 Knoten
J731 40 - 2.156e4 220 Knoten
J741 20 - 2.153e4 220 Knoten

Hinweis: Bei den 3D-Modellen sind die erste und die zweite Mode entartet. Daher wird in der Tabelle die dritte berechnete Eigenfrequenz als zweite Eigenfrequenz angegeben.

(4) Wärmeleitungsanalyse

Die gemeinsamen Bedingungen für die stationären Wärmeleitungsanalysen sind in Abbildung 9.1.10 dargestellt. Die einzelnen Bedingungen für die Verifikationsfälle exM bis exT sind in Abbildung 9.1.11 dargestellt. Die Netzeinteilung entspricht der für exA verwendeten.

Die Tabellen 9.1.13 bis 9.1.20 zeigen die Temperaturverteilungen als Verifikationsergebnisse für die einzelnen Fälle.

Wärmeleitungsanalyse
Länge zwischen AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Querschnittsfläche \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit

Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatur (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Abbildung 9.1.10 Verifikationsbedingungen der stationären Wärmeleitungsanalyse
exM: Lineares Material
exN: Problem mit vorgegebener Temperatur
exO: Problem mit konzentriertem Wärmestrom
exP: Problem mit verteilter Wärmestromdichte
exQ: Problem mit konvektivem Wärmeübergang
exR: Problem mit Wärmestrahlung
exS: Problem mit volumetrischer Wärmeerzeugung
exT: Problem mit internem Spalt

Abbildung 9.1.11 Analysebedingungen für die einzelnen Verifikationsfälle

Tabelle 9.1.13 Verifikationsergebnisse von exM (stationäre Berechnung mit linearem Material)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabelle 9.1.14 Verifikationsergebnisse von exN (Problem mit vorgegebener Temperatur)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabelle 9.1.15 Verifikationsergebnisse von exO (Problem mit konzentriertem Wärmestrom)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelle 9.1.16 Verifikationsergebnisse von exP (Problem mit verteilter Wärmestromdichte)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelle 9.1.17 Verifikationsergebnisse von exQ (Problem mit konvektivem Wärmeübergang)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabelle 9.1.18 Verifikationsergebnisse von exR (Problem mit Wärmestrahlung)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabelle 9.1.19 Verifikationsergebnisse von exS (Problem mit volumetrischer Wärmeerzeugung)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabelle 9.1.20 Verifikationsergebnisse von exT (Problem mit internem Spalt)

Fallname Elementtyp Elemente/Knoten Abstand von Ende A (m)
Kante A 2.0 4.0 6.0 8,0 Kante B
Kommerzielle Software 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Lineare dynamische Analyse

In exW wird eine lineare dynamische Analyse am selben Kragträger wie in Punkt (1) durchgeführt. Abbildung 9.1.12 zeigt die Verifikationsbedingungen. Bei gleicher Netzeinteilung wird der Einfluss des Zeitinkrements auf die Ergebnisse verifiziert. Es werden sowohl implizite als auch explizite Zeitintegrationsverfahren mit den Elementtypen 361 und 342 verwendet. Die Verifikationsergebnisse sind in Tabelle 9.1.22 und den Abbildungen 9.1.13 bis 9.1.15 dargestellt.

Analysemodell Analysemodell

Zeitverlauf der äußeren Kraft F Zeitverlauf der äußeren Kraft F

Die theoretische Lösung für die Verschiebung des Anregungspunkts lautet wie folgt:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

wobei

\[ \(F_0:\ \text{Konstanter Vektor}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Abbildung 9.1.12 Verifikationsbedingungen der linearen dynamischen Analyse

Verifikationsbedingungen:
Länge \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Querschnittsbreite \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Querschnittshöhe \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Elastizitätsmodul \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Querkontraktionszahl \(\nu\) \(0.3\)
Dichte \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Erdbeschleunigung \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Äußere Kraft \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Element Hexaederelement erster Ordnung
Tetraederelement zweiter Ordnung
Lösung Implizites Verfahren
Parameter \(\gamma\) des Newmark-\(\beta\)-Verfahrens 1/2
Parameter \(\beta\) des Newmark-\(\beta\)-Verfahrens 1/4
Explizites Verfahren
Dämpfung Keine

Tabelle 9.1.21 Verifikationsbedingungen der linearen dynamischen Analyse (Fortsetzung)

Fallname Elementtyp Anzahl der Knoten Anzahl der Elemente Lösung Zeitinkrement \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implizites Verfahren 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explizites Verfahren 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explizites Verfahren 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explizites Verfahren 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explizites Verfahren 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explizites Verfahren 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explizites Verfahren 1.0E-07

Tabelle 9.1.22 Verifikationsergebnisse der linearen dynamischen Analyse von exW (Kragträger)

Fallname Elementtyp Anzahl der Knoten Anzahl der Elemente Verfahren Verschiebung in z-Richtung zum Zeitpunkt \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implizites Verfahren 1.9753 Divergiert
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explizites Verfahren 1.9753 Divergiert

Verformungsdarstellung und Vergleichsspannungsverteilung des Kragträgers Abbildung 9.1.13 Verformungsdarstellung und Vergleichsspannungsverteilung des Kragträgers

(a) Elementtyp 361 : Implizites Verfahren (a) Elementtyp 361: Implizites Verfahren

(b) Elementtyp 361 : Explizites Verfahren (b) Elementtyp 361: Explizites Verfahren

Abbildung 9.1.14 Zeitverlauf der Verschiebung \(u_z\) am Anregungspunkt

(a) Elementtyp 342: Implizites Verfahren (a) Elementtyp 342: Implizites Verfahren

(b) Elementtyp 342: Explizites Verfahren (b) Elementtyp 342: Explizites Verfahren

Abbildung 9.1.15 Zeitverlauf der Verschiebung \(u_z\) am Anregungspunkt

Frequenzganganalyse

In dieser Verifikation wird eine Frequenzganganalyse eines Kragträgers durchgeführt und durch Vergleich mit den Ergebnissen einer universell einsetzbaren kommerziellen Software verifiziert. Das Analysemodell und die Verifikationsbedingungen sind nachstehend dargestellt.

Analysebedingungen:
Elastizitätsmodul \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Querkontraktionszahl \(\nu\) \(0.3\)
Dichte \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Erdbeschleunigung \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Last \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter der Rayleigh-Dämpfung \(R_m\) \(0.0\)
Parameter der Rayleigh-Dämpfung \(R_k\) \(7.2E-07\)

Abbildung 9.1.16 Analysemodell (Tetraederelemente erster Ordnung: 126 Elemente, 55 Knoten)

Die ersten fünf aus der Modalanalyse erhaltenen Eigenfrequenzen und der Frequenzgang am Anregungspunkt sind nachfolgend dargestellt:

Mode FrontISTR Kommerzielle Software
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Frequenzabhängigkeit des Verschiebungsbetrags am Anregungspunkt Abbildung 9.1.17 Frequenzabhängigkeit des Verschiebungsbetrags am Anregungspunkt