Μη γραμμικές επαναλήψεις και χρονική ολοκλήρωση¶

Το FrontISTR προωθεί τη λύση συνδυάζοντας μη γραμμικές επαναλήψεις και χρονική ολοκλήρωση σε κάθε υποβήμα, μέσα στον έλεγχο προσαυξήσεων κάθε βήματος. Η σελίδα αυτή περιγράφει τις επαναληπτικές δομές που βρίσκονται μεταξύ του εξωτερικού ελέγχου βημάτων και του εσωτερικού γραμμικού επιλυτή: επαναλήψεις Newton-Raphson, επαναλήψεις επαφής, χρονική ολοκλήρωση για δυναμική ανάλυση και το πλαίσιο χρονικής προώθησης και μη γραμμικής επανάληψης στη μη μόνιμη αγωγή θερμότητας.

Επισκόπηση λειτουργιών¶

Η μη γραμμική επίλυση και η χρονική ολοκλήρωση μέσα σε ένα βήμα έχουν ένθετη δομή πολλαπλών βρόχων, από τον εξωτερικό προς τον εσωτερικό. Κάθε επίπεδο έχει τον ακόλουθο ρόλο.

Το ποια από αυτά τα επίπεδα εμφανίζονται εξαρτάται από τον τύπο ανάλυσης.

Για την επιλογή του ίδιου του τύπου και του αλγορίθμου επαφής, ανατρέξτε στην ενότητα Επαφή και ενσωμάτωση. Η παρούσα σελίδα περιγράφει πώς ο επιλεγμένος αλγόριθμος οργανώνεται ως επαναληπτικός βρόχος.

Επιλογή σχήματος επίλυσης¶

Η επαναληπτική δομή καθορίζεται αυτόματα από τον επιλεγμένο τύπο ανάλυσης (Τύποι ανάλυσης), την παρουσία ή απουσία μη γραμμικότητας (γεωμετρική μη γραμμικότητα, μη γραμμικότητα υλικού ή επαφή) και τον αλγόριθμο επαφής (SLAGRANGE ή ALAGRANGE). Ο χρήστης ρυθμίζει άμεσα τα ανώτατα όρια του αριθμού επαναλήψεων και τα κριτήρια σύγκλισης.

Για τη ρύθμιση αυτών των παραμέτρων ισχύουν οι ακόλουθες κατευθυντήριες γραμμές.

• Για τυπικές αναλύσεις, το προεπιλεγμένο ανώτατο όριο επαναλήψεων είναι γενικά επαρκές. Αν ένα δύσκολα συγκλίνον πρόβλημα φτάσει στον μέγιστο αριθμό επαναλήψεων χωρίς σύγκλιση, χρησιμοποιήστε πρώτα cutback (Έλεγχος βημάτων)· αυξήστε το ανώτατο όριο μόνο αν αυτό δεν βελτιώσει τη σύγκλιση.
• Ρυθμίστε τα κριτήρια σύγκλισης ώστε να εξισορροπούν τη σταθερότητα της ανάλυσης και τον χρόνο υπολογισμού. Αυστηρότερα κριτήρια βελτιώνουν την ακρίβεια ισορροπίας, αλλά αυξάνουν τον αριθμό επαναλήψεων. Σε αναλύσεις επαφής και σε αναλύσεις με πολλαπλασιαστές Lagrange, ο συνδυασμός κριτηρίου προσαύξησης μετατόπισης ή κριτηρίου Lagrange με το κριτήριο υπολοίπου μπορεί να βελτιώσει τη σταθερότητα.
• Για τις παραμέτρους χρονικής ολοκλήρωσης της δυναμικής ανάλυσης (συντελεστές Newmark-β), ξεκινήστε με έναν τυπικό συνδυασμό τιμών και προσαρμόστε τες όταν θέλετε να αλλάξετε τα χαρακτηριστικά αριθμητικής απόσβεσης της ταλαντωτικής απόκρισης.
• Για το σχήμα χρονικής ολοκλήρωσης στη μη μόνιμη αγωγή θερμότητας, χρησιμοποιήστε Crank-Nicolson για προβλήματα με ομαλές μεταβολές θερμοκρασίας και Backward Euler όταν είναι σημαντικότερες οι απότομες μεταβολές ή η μακροχρόνια σταθερότητα.

Επανάληψη Newton-Raphson στη στατική ανάλυση¶

Στη μη γραμμική στατική ανάλυση, οι εξισώσεις ισορροπίας που περιλαμβάνουν γεωμετρική ή υλική μη γραμμικότητα επιλύονται επαναληπτικά με τη μέθοδο Newton-Raphson. Κάθε επανάληψη εκτελείται ως εξής.

1. Υπολογίζεται το διάνυσμα υπολοίπου \(\boldsymbol{R}\) για την τρέχουσα λύση.
2. Συναρμολογείται η εφαπτομενική μήτρα δυσκαμψίας \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Επιλύεται το γραμμικό σύστημα \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) ώστε να ληφθεί η διόρθωση μετατόπισης \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Η λύση ενημερώνεται ως \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Γίνεται σύγκριση με τα κριτήρια σύγκλισης. Αν επιτευχθεί σύγκλιση, η επανάληψη τερματίζεται· διαφορετικά, η διαδικασία επιστρέφει στο βήμα 1.

Ο γραμμικός επιλυτής εκτελεί την επίλυση του γραμμικού συστήματος (βήμα 3). Για την επιλογή επιλυτή και προρρυθμιστή, ανατρέξτε στην ενότητα Επιλυτής και προρρύθμιση.

Η επανάληψη ελέγχεται με τις παραμέτρους ελέγχου βήματος του !STEP. Οι κύριες τιμές ελέγχου είναι οι εξής.

Ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων Newton που χρησιμοποιείται στις αποφάσεις αυτόματης προσαύξησης και cutback της ενότητας Έλεγχος βημάτων αναφέρεται στον αριθμό των επαναλήψεων Newton που περιγράφονται εδώ. Ο αυτόματος έλεγχος προσαύξησης αυξάνει τη χρονική προσαύξηση μετά από υποβήμα που συνέκλινε σε λίγες επαναλήψεις και τη μειώνει μετά από υποβήμα που χρειάστηκε πολλές επαναλήψεις.

Επανάληψη επαφής στη στατική ανάλυση¶

Στην ανάλυση επαφής, η κατάσταση επαφής μεταβάλλεται κατά την επανάληψη λόγω επαφής, αποχωρισμού και ολίσθησης στις επιφάνειες επαφής, επομένως η επανάληψη Newton συνδυάζεται με ενημερώσεις της κατάστασης επαφής. Η δομή εξαρτάται από τον αλγόριθμο επίλυσης επαφής.

Και οι δύο αλγόριθμοι τοποθετούν έναν βρόχο αναζήτησης κατάστασης επαφής στο εξωτερικότερο επίπεδο. Σε κάθε διέλευση του βρόχου, η κατάσταση επαφής (επαφή/αποχωρισμός) επανεκτιμάται αφού συγκλίνει η εσωτερική επανάληψη Newton. Αν η κατάσταση έχει αλλάξει, ενημερώνεται η δομή της μήτρας δυσκαμψίας και εκτελείται ξανά η εσωτερική επανάληψη. Ο βρόχος τερματίζεται όταν η κατάσταση επαφής παραμένει αμετάβλητη από την προηγούμενη διέλευση και ικανοποιούνται τα κριτήρια σύγκλισης επαφής (κριτήρια δύναμης επαφής και πολλαπλασιαστή Lagrange). Το ανώτατο όριο διελεύσεων καθορίζεται από το MAXCONTITER του !STEP.

Με επαφή SLAGRANGE, οι βαθμοί ελευθερίας επαφής ενσωματώνονται στο γραμμικό σύστημα με την τυπική μέθοδο πολλαπλασιαστή Lagrange, σχηματίζοντας δομή δύο επιπέδων όπου η επανάληψη Newton βρίσκεται απευθείας μέσα στον βρόχο αναζήτησης κατάστασης επαφής. Δεν χρησιμοποιείται επανάληψη επαυξημένης Lagrange.

Με επαφή ALAGRANGE, προστίθεται επανάληψη επαυξημένης Lagrange μέσα στον βρόχο αναζήτησης κατάστασης επαφής και η επανάληψη Newton εκτελείται στο εσωτερικό της, σχηματίζοντας δομή τριών επιπέδων. Σε κάθε επανάληψη επαυξημένης Lagrange, ο περιορισμός επαφής επανεκτιμάται με συνδυασμό του όρου ποινής και του πολλαπλασιαστή Lagrange, βελτιώνοντας προοδευτικά την ακρίβεια του περιορισμού. Το ανώτατο όριο του αριθμού επαναλήψεων επαυξημένης Lagrange καθορίζεται από το AUGITER του !CONTACT_ALGO.

Οι τιμές ελέγχου για την επανάληψη επαφής είναι οι εξής.

Ο αριθμός επαναλήψεων επαφής που χρησιμοποιείται στις αποφάσεις αυτόματης προσαύξησης της ενότητας Έλεγχος βημάτων είναι ο αριθμός επαναλήψεων που περιγράφεται εδώ, συμπεριλαμβανομένων των ενημερώσεων της κατάστασης επαφής. Αναλύσεις στις οποίες η επαφή και ο αποχωρισμός εμφανίζονται συχνά τείνουν να απαιτούν περισσότερες επαναλήψεις επαφής, γεγονός που επηρεάζει επίσης τις αποφάσεις αυτόματης προσαύξησης και cutback. Για τους ίδιους τους τύπους επαφής, τους ορισμούς ζευγών και την επιλογή αλγορίθμου, ανατρέξτε στην ενότητα Επαφή και ενσωμάτωση. Για την επίλυση του γραμμικού συστήματος που περιέχει βαθμούς ελευθερίας επαφής, ανατρέξτε στην ενότητα Επιλυτής και προρρύθμιση.

Χρονική ολοκλήρωση στη δυναμική ανάλυση (έμμεση μέθοδος)¶

Η έμμεση μέθοδος δυναμικής ανάλυσης χρησιμοποιεί τη μέθοδο Newmark-β για να συσχετίσει τη μετατόπιση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση της επόμενης χρονικής στιγμής σε κάθε χρονικό βήμα και συνδυάζει αυτές τις σχέσεις με την εξίσωση κίνησης ώστε να ληφθεί η κατάσταση στον χρόνο \(t + \Delta t\). Ο περιορισμός σταθερότητας για το χρονικό βήμα \(\Delta t\) είναι ήπιος, επιτρέποντας την αποδοτική επίλυση δομικών αποκρίσεων που κυριαρχούνται από συνιστώσες χαμηλής συχνότητας.

Χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες 2 παράμετροι χρονικής ολοκλήρωσης.

Ο συνδυασμός \(\beta = 1/4\) και \(\gamma = 1/2\) ονομάζεται μέθοδος μέσης επιτάχυνσης και αποτελεί τυπική επιλογή που είναι άνευ όρων σταθερή και δεν έχει αριθμητική απόσβεση. Για την εισαγωγή αριθμητικής απόσβεσης, επιλέξτε \(\gamma\) μεγαλύτερο από \(1/2\). Για μαθηματικές λεπτομέρειες σχετικά με τους συνδυασμούς παραμέτρων, τη σταθερότητα και τα χαρακτηριστικά σφάλματος, ανατρέξτε στο θεωρητικό εγχειρίδιο.

Όταν περιλαμβάνεται μη γραμμικότητα (γεωμετρική μη γραμμικότητα, μη γραμμικότητα υλικού ή επαφή), εκτελείται επανάληψη Newton μέσα σε κάθε χρονικό βήμα· το γραμμικό σύστημα επιλύεται μέσα στην επανάληψη και η κατάσταση ενημερώνεται. Τα κριτήρια σύγκλισης χρησιμοποιούν το CONVERG και συναφείς τιμές κοινές με τη στατική ανάλυση. Στη δυναμική ανάλυση με επαφή, η ίδια επαναληπτική δομή με την Επανάληψη επαφής στη στατική ανάλυση ενσωματώνεται σε κάθε χρονικό βήμα.

Το χρονικό βήμα στη δυναμική ανάλυση ελέγχεται κυρίως από τις χρονικές συνθήκες του !STEP. Με σταθερές προσαυξήσεις, το !STEP καθορίζει το DTIME ως χρονικό βήμα και το ETIME ως διάρκεια του βήματος. Οι τιμές n_step και t_delta του !DYNAMIC αντιμετωπίζονται ως προεπιλεγμένες όταν παραλείπεται το !STEP και για λόγους συμβατότητας προς τα πίσω. Στη μη γραμμική έμμεση μέθοδο, το !STEP με INC_TYPE=AUTO ενεργοποιεί αυτόματες προσαυξήσεις και cutback, αυξάνοντας ή μειώνοντας το χρονικό βήμα ανάλογα με την κατάσταση των επαναλήψεων Newton και επαφής. Είτε χρησιμοποιούνται σταθερές είτε αυτόματες προσαυξήσεις, το χρονικό βήμα πρέπει να ορίζεται λαμβάνοντας υπόψη τόσο τη σύγκλιση όσο και την απαιτούμενη ακρίβεια.

Χρονική ολοκλήρωση στη δυναμική ανάλυση (ρητή μέθοδος)¶

Η ρητή μέθοδος δυναμικής ανάλυσης χρησιμοποιεί τη μέθοδο κεντρικών διαφορών για να υπολογίσει άμεσα την κατάσταση της επόμενης χρονικής στιγμής μόνο από τις πληροφορίες μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης της προηγούμενης χρονικής στιγμής. Επειδή δεν επιλύονται ταυτόχρονες εξισώσεις, το υπολογιστικό κόστος ανά 1 βήμα είναι χαμηλό. Ακόμη και όταν περιλαμβάνεται μη γραμμικότητα, κάθε χρονικό βήμα είναι ενημέρωση ενός σταδίου χωρίς επανάληψη Newton.

Το χρονικό βήμα έχει ανώτατο όριο που επιβάλλεται από συνθήκη σταθερότητας βάσει της ελάχιστης ιδιοπεριόδου του συστήματος (συνθήκη CFL). Χρονικό βήμα μεγαλύτερο από αυτό το όριο προκαλεί απόκλιση της αριθμητικής λύσης, επομένως δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν μεγάλα χρονικά βήματα όπως στην έμμεση μέθοδο. Η ρητή μέθοδος είναι πλεονεκτική για φαινόμενα όπως κρούση, διάδοση κυμάτων και επαφή υψηλής ταχύτητας, όπου απαιτούνται εκ φύσεως μικρά χρονικά βήματα.

Όταν περιλαμβάνεται επαφή, χρησιμοποιείται η μέθοδος Forward Increment Lagrange για την επιβολή περιορισμών επαφής. Οι δυνάμεις επαφής αξιολογούνται με τρόπο συμβατό με την ενημέρωση ενός σταδίου της ρητής μεθόδου.

Μέθοδος επίλυσης για ανάλυση απόκρισης συχνότητας¶

Η ανάλυση απόκρισης συχνότητας υπολογίζει άμεσα την περιοδική απόκριση μόνιμης κατάστασης στο πεδίο συχνότητας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπέρθεσης ιδιομορφών. Αξιολογεί την απόκριση μεταβάλλοντας τη συχνότητα διέγερσης και δεν χρειάζεται να παρακολουθεί χρονικό ιστορικό μέσω επαναλήψεων. Δεν εκτελούνται ούτε μη γραμμικές επαναλήψεις ούτε χρονική ολοκλήρωση.

Πριν από την ανάλυση απόκρισης συχνότητας πρέπει να εκτελεστεί ιδιομορφική ανάλυση για το ίδιο σύστημα και να εξαχθεί ο απαιτούμενος αριθμός ιδιομορφών. Υποστηρίζονται μόνο γραμμικά μοντέλα· η ανάλυση δεν μπορεί να εκτελεστεί όταν είναι ενεργοποιημένη γεωμετρική ή υλική μη γραμμικότητα. Για τη θέση αυτού του τύπου ανάλυσης, ανατρέξτε στην ενότητα Τύποι ανάλυσης.

Χρονική προώθηση και μη γραμμική επανάληψη στη μη μόνιμη αγωγή θερμότητας¶

Η μη μόνιμη αγωγή θερμότητας διαθέτει δικό της χρονικό βρόχο που ολοκληρώνεται μέσα στο !HEAT. Το χρονικό βήμα ελέγχεται μέσω διαδρομής ανεξάρτητης από τα !STEP και !AUTOINC_PARAM της δομικής ανάλυσης και, όταν οι ιδιότητες του υλικού εξαρτώνται από τη θερμοκρασία, εκτελείται μη γραμμική επανάληψη μέσα σε κάθε χρονικό βήμα.

Το σχήμα χρονικής ολοκλήρωσης επιλέγεται με την παράμετρο \(\beta\) του !HEAT.

Το χρονικό βήμα ελέγχεται προσαρμοστικά με συνδυασμό του αρχικού χρονικού βήματος, του ελάχιστου χρονικού βήματος και της μέγιστης μεταβολής θερμοκρασίας ανά 1 βήμα. Αν η μεταβολή θερμοκρασίας υπερβεί το DELTMX μετά τον υπολογισμό ενός χρονικού βήματος, το χρονικό βήμα μειώνεται και το βήμα επανυπολογίζεται. Η ανάλυση διακόπτεται αν το χρονικό βήμα πέσει κάτω από το ελάχιστο χρονικό βήμα DTMIN.

Όταν οι ιδιότητες του υλικού εξαρτώνται από τη θερμοκρασία, εκτελείται μη γραμμική επανάληψη μέσα σε κάθε χρονικό βήμα. Η επανάληψη ελέγχεται ως εξής.

Η μόνιμη αγωγή θερμότητας δεν χρησιμοποιεί χρονικά βήματα· εκτελείται μόνο μη γραμμική επανάληψη όταν οι ιδιότητες του υλικού εξαρτώνται από τη θερμοκρασία. Επειδή ο χρονικός έλεγχος της ανάλυσης αγωγής θερμότητας είναι ανεξάρτητος από το !STEP της δομικής ανάλυσης, ελέγξτε τις ρυθμίσεις !HEAT όταν προσαρμόζετε το χρονικό βήμα.

Σχετικά θέματα¶

• Τύποι ανάλυσης — Θέση κάθε τύπου ανάλυσης.
• Επαφή και ενσωμάτωση — Επιλογή τύπων επαφής, ορισμών ζευγών και αλγορίθμων επίλυσης.
• Επιλυτής και προρρύθμιση — Επίλυση των γραμμικών ταυτόχρονων εξισώσεων που καλούνται μέσα στην επανάληψη Newton.
• Έλεγχος βημάτων — Εξωτερικός έλεγχος βημάτων/υποβημάτων και αυτόματες προσαυξήσεις/cutback.
• Μέθοδος Newton-Raphson (Θεωρία) — Διατύπωση της επαναληπτικής μεθόδου επίλυσης.
• Κριτήρια σύγκλισης (Θεωρία) — Μαθηματικοί ορισμοί των δεικτών σύγκλισης.
• Μέθοδοι δυναμικής ανάλυσης (Θεωρία) — Διατύπωση των μεθόδων Newmark-β και κεντρικών διαφορών.
• Μη μόνιμη ανάλυση αγωγής θερμότητας (Θεωρία) — Διατύπωση της χρονικής ολοκλήρωσης για αγωγή θερμότητας.
• Ανάλυση επαφής (Θεωρία) — Διατύπωση της μεθόδου πολλαπλασιαστή Lagrange.
• Αναφορά λέξεων-κλειδιών: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.