Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ελαστοπλαστικότητα

Το παρόν κεφάλαιο πραγματεύεται το πλαίσιο του ελαστοπλαστικού καταστατικού νόμου που χρησιμοποιεί το FrontISTR. Για λεπτομέρειες σχετικά με την επιλογή και τις προδιαγραφές εισόδου, ανατρέξτε στο 03_material της ενότητας λειτουργιών.

Φαινόμενο (πλαστική παραμόρφωση)

TBD (θα συνταχθεί στην επόμενη φάση).

Πλαίσιο καταστατικού νόμου

Το FrontISTR χρησιμοποιεί ελαστοπλαστική καταστατική εξίσωση που βασίζεται σε συσχετισμένο νόμο ροής. Η καταστατική εξίσωση εκφράζει τη σχέση μεταξύ του ρυθμού Jaumann της τάσης Kirchhoff και του τανυστή ρυθμού παραμόρφωσης, ενώ η ανάλυση παραμόρφωσης εφαρμόζει τη διατύπωση updated Lagrange.

Έστω ότι η συνθήκη διαρροής ενός ελαστοπλαστικού υλικού δίνεται ως εξής.

Αρχική συνθήκη διαρροής:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Επακόλουθη συνθήκη διαρροής:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

όπου

  • \(F\): συνάρτηση διαρροής
  • \(\sigma_{y_0}\): αρχική τάση διαρροής
  • \(\sigma_y\): επακόλουθη τάση διαρροής
  • \(\sigma\): τανυστής τάσης
  • \(e\): τανυστής απειροστής παραμόρφωσης
  • \(e^p\): τανυστής πλαστικής παραμόρφωσης
  • \(\overline{e}^p\): ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση

Θεωρείται ότι η σχέση τάσης διαρροής–ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης συμπίπτει με τη σχέση τάσης–πλαστικής παραμόρφωσης σε μονοαξονική κατάσταση.

Σχέση τάσης–πλαστικής παραμόρφωσης σε μονοαξονική κατάσταση

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

όπου \(H'\) είναι το μέτρο σκλήρυνσης λόγω παραμόρφωσης.

Σχέση ισοδύναμης τάσης–ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Γενικά, η επακόλουθη συνάρτηση διαρροής είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας και του έργου πλαστικής παραμόρφωσης, αλλά εδώ, για απλούστευση, θεωρείται ότι εξαρτάται μόνο από την ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση \(\overline{e}^p\). Κατά την εξέλιξη της πλαστικής παραμόρφωσης πρέπει να εξακολουθεί να ισχύει \(F = 0\), επομένως πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη εξίσωση.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Εδώ, το \(\dot{F}\) παριστάνει τη χρονική παράγωγο του \(F\). Στη συνέχεια, η χρονική παράγωγος οποιουδήποτε μεγέθους \(A\) συμβολίζεται με \(\dot{A}\).

Θεωρούμε την ύπαρξη πλαστικού δυναμικού \(\Theta\) και εκφράζουμε τον ρυθμό πλαστικής παραμόρφωσης με την ακόλουθη εξίσωση.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Εδώ, το \(\dot{\lambda}\) είναι συντελεστής.

Επιπλέον, θεωρώντας ότι το πλαστικό δυναμικό \(\Theta\) είναι ίσο με τη συνάρτηση διαρροής \(F\), υποθέτουμε τον ακόλουθο συσχετισμένο νόμο ροής.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Αντικαθιστώντας αυτήν την εξίσωση στη συνθήκη συνέπειας προκύπτει η ακόλουθη σχέση.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Εδώ, το \(D\) είναι η μήτρα ελαστικότητας και

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Η ελαστοπλαστική σχέση τάσης–παραμόρφωσης γράφεται ως εξής.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Αν είναι γνωστή η συνάρτηση διαρροής \(F\) του ελαστοπλαστικού υλικού, από αυτήν την εξίσωση προκύπτει ο καταστατικός νόμος του.

Συναρτήσεις διαρροής

Παρακάτω παρατίθενται οι ελαστοπλαστικές συναρτήσεις διαρροής που χρησιμοποιεί το FrontISTR.

Συνάρτηση διαρροής Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Εδώ, το \(J_2\) είναι η δεύτερη αναλλοίωτη του αποκλίνοντος τανυστή τάσης.

Συνάρτηση διαρροής Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Εδώ, τα \(\sigma_1, \sigma_3\) είναι η μέγιστη και η ελάχιστη κύρια τάση, το \(c\) είναι η συνοχή και το \(\phi\) η γωνία εσωτερικής τριβής.

Συνάρτηση διαρροής Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Εδώ, οι σταθερές υλικού \(\alpha\) και \(\sigma_y\) υπολογίζονται από τη συνοχή και τη γωνία τριβής του υλικού ως εξής.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Σχετικά θέματα