Μετάβαση στο περιεχόμενο

Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων

Για να χειριστούμε υπολογιστικά την ασθενή μορφή της αρχής του εικονικού έργου, διαιρούμε την περιοχή του σώματος σε πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και παρεμβάλλουμε τις συντεταγμένες υλικών σημείων, τις μετατοπίσεις και τις δοκιμαστικές συναρτήσεις μέσα σε κάθε στοιχείο από τις κομβικές τιμές και τις συναρτήσεις σχήματος. Οι χωρικές παράγωγοι των συναρτήσεων σχήματος παρουσιάζονται στις Χωρικές παραγώγους των συναρτήσεων σχήματος, η διακριτοποίηση της ασθενούς μορφής στη Διακριτοποίηση του εσωτερικού εικονικού έργου, ενώ οι συγκεκριμένες μορφές των συναρτήσεων σχήματος για κάθε τύπο στοιχείου στο Σύστημα αρίθμησης στοιχείων και βιβλιοθήκη συναρτήσεων σχήματος και στις επόμενες ενότητες.

Διαμέριση της περιοχής και αθροίσματα ολοκληρωμάτων ανά στοιχείο

Η περιοχή \(\Omega_0\) στη διάταξη αναφοράς και η περιοχή \(\Omega\) στην τρέχουσα διάταξη προσεγγίζονται αντίστοιχα από τις ενώσεις των στοιχείων \(\Omega^e_0\) και \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(το \(e\) είναι ο αριθμός στοιχείου και τα όρια των στοιχείων είναι κοινά μεταξύ γειτονικών στοιχείων). Έτσι, τα ολοκληρώματα όγκου και επιφάνειας στην αρχή του εικονικού έργου διασπώνται σε αθροίσματα ολοκληρωμάτων ανά στοιχείο:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(το ίδιο ισχύει και για την τρέχουσα διάταξη με τις αντικαταστάσεις \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). Στη συνέχεια, η αξιολόγηση της ασθενούς μορφής ανάγεται στη συγκρότηση ολοκληρωμάτων ανά στοιχείο.

Παρεμβολή με κομβικές τιμές και συναρτήσεις σχήματος (ισοπαραμετρικά στοιχεία)

Σε κάθε στοιχείο \(\Omega^e_0\) αντιστοιχούν \(n_e\) κόμβοι. Έστω ότι οι συντεταγμένες στη διάταξη αναφοράς και οι κομβικές μετατοπίσεις του κόμβου στοιχείου \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) είναι \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Τα κομβικά διανύσματα του στοιχείου \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) και \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\), που σχηματίζονται από αυτές τις τιμές, περιέχουν μόνο τις συνιστώσες των κόμβων που συγκροτούν το στοιχείο \(e\), οι οποίες εξάγονται από τα καθολικά κομβικά διανύσματα \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (όπου \(n_g\) είναι ο συνολικός αριθμός κόμβων).

Με παραμέτρους τις φυσικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r}\), δηλαδή τις τοπικές συντεταγμένες μέσα στο στοιχείο, οι συναρτήσεις σχήματος \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) παρεμβάλλουν τις υλικές συντεταγμένες, τη μετατόπιση και τη δοκιμαστική συνάρτηση μέσα στο στοιχείο με κοινές συναρτήσεις σχήματος (ισοπαραμετρικό στοιχείο και μέθοδος Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Οι συναρτήσεις σχήματος κατασκευάζονται ώστε να ικανοποιούν τις ακόλουθες 2 ιδιότητες, ενώ το σχήμα του στοιχείου επιλέγεται έτσι ώστε η απεικόνιση από τις φυσικές στις υλικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) να είναι 1 προς 1 μέσα στο στοιχείο:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(το \(\boldsymbol{r}_\alpha\) είναι το σημείο φυσικών συντεταγμένων που αντιστοιχεί στον κόμβο \(\alpha\) και το \(\delta_{\alpha\beta}\) είναι το δέλτα του Kronecker). Η εξίσωση 1 εγγυάται την αναπαραγωγή άκαμπτης μεταφοράς και η εξίσωση 2 ότι η παρεμβαλλόμενη τιμή στον κόμβο συμπίπτει με την κομβική τιμή. Οι συγκεκριμένες μορφές των \(n_e\) και \(N_\alpha^e\) ανά τύπο στοιχείου παρουσιάζονται στο Σύστημα αρίθμησης στοιχείων και βιβλιοθήκη συναρτήσεων σχήματος και στις επόμενες ενότητες. Για να αποφεύγεται η υπερβολική επιβάρυνση του συμβολισμού, η εξάρτηση από τον τύπο στοιχείου αντιπροσωπεύεται από τον άνω δείκτη \(e\) κάθε στοιχείου.

Με τους παραπάνω κανόνες παρεμβολής, οι ολοκληρωτέες συναρτήσεις της ασθενούς μορφής μπορούν να εκφραστούν αποκλειστικά με τις κομβικές τιμές του στοιχείου \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) και τις \(N_\alpha^e\). Αντίθετα, η παραμόρφωση προκύπτει από την παρεμβαλλόμενη μετατόπιση και τη σχέση παραμόρφωσης–μετατόπισης, ενώ η τάση προκύπτει από αυτήν την παραμόρφωση και τον καταστατικό νόμο του υλικού· δεν παρεμβάλλονται απευθείας από κομβικές τιμές. Τα μεγέθη αυτά αξιολογούνται στα σημεία ολοκλήρωσης μέσα στο στοιχείο (Αριθμητική ολοκλήρωση).

Κανόνας διάταξης καθολικών κομβικών διανυσμάτων

Τα φυσικά μεγέθη που αποδίδονται στους κόμβους ταξινομούνται στο καθολικό κομβικό διάνυσμα κατά αύξουσα σειρά αριθμός κόμβου → βαθμός ελευθερίας. Αν η συνιστώσα του βαθμού ελευθερίας \(i\) στον κόμβο \(\alpha\) είναι \(u_{i\alpha}\), τότε σε 3 διαστάσεις (\(i=1,2,3\)) και σε 2 διαστάσεις (\(i=1,2\)), αντίστοιχα,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Το ίδιο πρότυπο διάταξης ακολουθούν οι συντεταγμένες \(\boldsymbol{X}^n\) και η δοκιμαστική συνάρτηση \(\delta\boldsymbol{u}^n\). Στα επόμενα κεφάλαια, οι μετασχηματισμοί σε μορφή μητρών και διανυσμάτων παρουσιάζονται χρησιμοποιώντας ως αντιπροσωπευτική την περίπτωση 3 διαστάσεων.

Σχετικά θέματα