Μετάβαση στο περιεχόμενο

Συναρτήσεις σχήματος τρισδιάστατων στερεών στοιχείων

Για τις συναρτήσεις σχήματος \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) που εισήχθησαν στην ενότητα Συναρτήσεις σχήματος και προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων, το κεφάλαιο αυτό συνοψίζει τα φυσικά συστήματα συντεταγμένων και τις συγκεκριμένες μορφές των τρισδιάστατων στερεών στοιχείων που χρησιμοποιεί το FrontISTR στην ανάλυση συνεχούς μέσου. Καλύπτονται έξι τύποι: τετραεδρικά πρώτης/δεύτερης τάξης (341, 342), πρισματικά πρώτης/δεύτερης τάξης (351, 352) και εξαεδρικά πρώτης/δεύτερης τάξης (361, 362). Για τη σειρά κόμβων και την αρίθμηση επιφανειών στη μορφή πλέγματος HEC-MW, ανατρέξτε στη Βιβλιοθήκη στοιχείων της αναφοράς λειτουργιών.

Η διαδικασία με την οποία οι συναρτήσεις σχήματος και η ορίζουσα του Ιακωβιανού σχηματίζουν την ολοκλήρωση στοιχείου ακολουθεί την ενότητα Αριθμητική ολοκλήρωση. Οι διατυπώσεις B-bar, F-bar και ασύμβατης μορφής για το 361, καθώς και οι συναρτήσεις σχήματος δοκών και κελυφών, καλύπτονται στις Προηγμένες διατυπώσεις στοιχείων.

Φυσικά συστήματα συντεταγμένων και εσωτερική σειρά κόμβων

Οι συναρτήσεις σχήματος ορίζονται στις φυσικές συντεταγμένες \(\boldsymbol{r}\) κάθε στοιχείου. Για τα τρισδιάστατα στερεά στοιχεία χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα τρία είδη φυσικών συστημάτων συντεταγμένων, ανάλογα με τη γεωμετρία του στοιχείου.

  • Εξάεδρο (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Τετράεδρο (341, 342): ογκομετρικές συντεταγμένες \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Ως ανεξάρτητες μεταβλητές λαμβάνονται \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) και \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Τριγωνικό πρίσμα (351, 352): οι ογκομετρικές συντεταγμένες \((\xi, \eta)\) του τριγωνικού άκρου (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) συνδυάζονται με την αξονική συντεταγμένη \(\zeta \in [-1, 1]\) ώστε \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Η βοηθητική ποσότητα \(a = 1 - \xi - \eta\) χρησιμοποιείται ως τρίτη ογκομετρική συντεταγμένη του τριγωνικού άκρου.

Για τα στοιχεία πρώτης τάξης, η αρίθμηση κόμβων είναι ίδια στη μορφή εισόδου HEC-MW και στην εσωτερική μορφή. Στα στοιχεία δεύτερης τάξης, η σύμβαση σειράς των μεσαίων κόμβων ακμών διαφέρει μεταξύ των δύο μορφών. Το FrontISTR δέχεται στην είσοδο τη μορφή HEC-MW (γωνιακοί κόμβοι πρώτα και κατόπιν οι ενδιάμεσοι κόμβοι στις ακμές 1-2, 2-3, …), ενώ οι συναρτήσεις σχήματος της βιβλιοθήκης στοιχείων έχουν υλοποιηθεί με διαφορετική σειρά κόμβων.

Η διαφορά επιλύεται από το hecmw2fstr_mesh_conv, το οποίο καλείται αμέσως μετά την ανάγνωση του πλέγματος και αναδιατάσσει τους κόμβους ανά στοιχείο. Από τα τρισδιάστατα στερεά στοιχεία, μετατροπή απαιτείται για τους ακόλουθους δύο τύπους.

Τύπος στοιχείου Πίνακας μετατροπής Περιεχόμενο
342 (τετράεδρο δεύτερης τάξης) Table342 Αναδιάταξη των 10 κόμβων σε \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (τριγωνικό πρίσμα δεύτερης τάξης) Table352 Αναδιάταξη των 15 κόμβων σε \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Επειδή η αναδιάταξη εφαρμόζεται απευθείας στον πίνακα αποθήκευσης της συνδεσιμότητας στοιχείων, όλες οι επόμενες κλήσεις της βιβλιοθήκης στοιχείων χρησιμοποιούν την εσωτερική σειρά κόμβων του FrontISTR. Για το εξαεδρικό στοιχείο δεύτερης τάξης 362, η σειρά των μεσαίων κόμβων είναι ίδια στη μορφή εισόδου HEC-MW και στην εσωτερική μορφή του FrontISTR, επομένως δεν υπάρχει πίνακας μετατροπής. Κατά την έξοδο αποτελεσμάτων καλείται η αντίστροφη μετατροπή fstr2hecmw_mesh_conv, ώστε η σειρά κόμβων να επανέλθει στη μορφή HEC-MW πριν από την εγγραφή. Έτσι ο χρήστης χρειάζεται να λαμβάνει υπόψη μόνο τη μορφή HEC-MW τόσο στην είσοδο όσο και στην έξοδο. Οι αριθμοί κόμβων στις συναρτήσεις σχήματος που ακολουθούν αναφέρονται στην εσωτερική μορφή FrontISTR μετά τη μετατροπή.

Συναρτήσεις σχήματος στοιχείων πρώτης τάξης

Οι συναρτήσεις σχήματος του τετραεδρικού στοιχείου πρώτης τάξης (341) είναι οι ίδιες οι ογκομετρικές συντεταγμένες:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Οι συναρτήσεις σχήματος του πρισματικού στοιχείου πρώτης τάξης (351) είναι το γινόμενο των γραμμικών συναρτήσεων σχήματος του τριγωνικού άκρου (\(a, \xi, \eta\)) και των γραμμικών συναρτήσεων σχήματος κατά τον άξονα (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Οι συναρτήσεις σχήματος του εξαεδρικού στοιχείου πρώτης τάξης (361) είναι το τανυστικό γινόμενο των γραμμικών συναρτήσεων σχήματος στις τρεις αξονικές διευθύνσεις:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Εδώ, \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) είναι οι τιμές των φυσικών συντεταγμένων του κόμβου \(\alpha\) (κάθε συνιστώσα είναι \(\pm 1\)).

Συναρτήσεις σχήματος στοιχείων δεύτερης τάξης

Οι συναρτήσεις σχήματος του τετραεδρικού στοιχείου δεύτερης τάξης (342) χωρίζονται σε τέσσερις γωνιακούς κόμβους και έξι μεσαίους κόμβους ακμών:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Οι ενδιάμεσοι κόμβοι 5–10 αντιστοιχούν στα μέσα των ακμών 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 και 3-4 αντίστοιχα.

Οι συναρτήσεις σχήματος του πρισματικού στοιχείου δεύτερης τάξης (352) αποτελούνται από έξι γωνιακούς κόμβους, έξι μεσαίους κόμβους ακμών στις τριγωνικές επιφάνειες και τρεις μεσαίους κόμβους στις αξονικές ακμές:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Οι ενδιάμεσοι κόμβοι 7–9 αντιστοιχούν στα μέσα των ακμών του κάτω τριγώνου (\(\zeta = -1\)), οι 10–12 στα μέσα των ακμών του άνω τριγώνου (\(\zeta = +1\)) και οι 13–15 στα μέσα των αξονικών ακμών.

Το εξαεδρικό στοιχείο δεύτερης τάξης (362) είναι στοιχείο 20 κόμβων της οικογένειας Serendipity. Έστω \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) οι φυσικές συντεταγμένες του κόμβου \(\alpha\). Για τους γωνιακούς κόμβους (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), κάθε συνιστώσα είναι \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Για τους μεσαίους κόμβους ακμών (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), μία από τις τρεις φυσικές συντεταγμένες είναι \(0\) και οι άλλες δύο είναι \(\pm 1\)), για κόμβους με \(\xi_\alpha = 0\) (ακμή στη διεύθυνση του άξονα \(\xi\)):

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Οι ενδιάμεσοι κόμβοι στις διευθύνσεις των αξόνων \(\eta\) και \(\zeta\) δίνονται ανάλογα, με τον τετραγωνικό όρο στην αντίστοιχη φυσική συντεταγμένη.

Σχετικά θέματα