Κίνηση, παραμόρφωση και ανηγμένη παραμόρφωση¶

Διαμόρφωση αναφοράς και τρέχουσα διαμόρφωση¶

Ορισμός των διαμορφώσεων¶

Για να διακρίνεται ποιο σχήμα στον χρόνο χρησιμοποιείται ως βάση για την περιγραφή των φυσικών μεγεθών, το παρόν εγχειρίδιο χρησιμοποιεί δύο διαμορφώσεις.

Διαμόρφωση αναφοράς (reference configuration): το απαραμόρφωτο σχήμα κατά την έναρξη της ανάλυσης (χρόνος \(0\)), το οποίο ονομάζεται επίσης αρχική διαμόρφωση. Ένα σημείο στη διαμόρφωση αναφοράς παριστάνεται με την υλική συντεταγμένη \(\boldsymbol{X}\), ο όγκος με \(V\) και η επιφάνεια με \(S\).
Τρέχουσα διαμόρφωση (current configuration): το παραμορφωμένο σχήμα κατά τον χρόνο \(t\). Ένα σημείο στην τρέχουσα διαμόρφωση παριστάνεται με τη χωρική συντεταγμένη \(\boldsymbol{x}\), ο όγκος με \(v\) και η επιφάνεια με \(s\).

Η κίνηση παριστάνεται ως απεικόνιση μεταξύ αυτών των δύο διαμορφώσεων, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), και η μετατόπιση ορίζεται ως \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Συμβολισμός που εξαρτάται από τη διαμόρφωση (κεφαλαία/πεζά)¶

Η χρήση κεφαλαίων ή πεζών συμβόλων διακρίνει τη διαμόρφωση στην οποία ανήκει ένα φυσικό μέγεθος.

Τα μεγέθη που ανήκουν στη διαμόρφωση αναφοράς γράφονται με κεφαλαία σύμβολα (π.χ. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Τα μεγέθη που ανήκουν στην τρέχουσα διαμόρφωση γράφονται με πεζά σύμβολα (π.χ. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Τα μεγέθη που συνδέουν και τις δύο διαμορφώσεις, όπως η πρώτη τάση Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), ακολουθούν τον καθιερωμένο συμβολισμό και διευκρινίζονται στο κείμενο όπου απαιτείται.
Στη θεωρία μικρών παραμορφώσεων η διάκριση μεταξύ των δύο διαμορφώσεων εξαφανίζεται, επομένως χρησιμοποιούνται μόνο πεζά σύμβολα (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Βαθμίδα στη διαμόρφωση αναφοράς και στην τρέχουσα διαμόρφωση¶

Ο συμβολισμός και η σημασία διαφέρουν ανάλογα με τη διαμόρφωση ως προς την οποία λαμβάνεται η χωρική παράγωγος.

Βαθμίδα ως προς τη διαμόρφωση αναφοράς \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): βαθμίδα ως προς τις υλικές συντεταγμένες. Παράδειγμα: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Βαθμίδα ως προς την τρέχουσα διαμόρφωση \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): βαθμίδα ως προς τις χωρικές συντεταγμένες. Παράδειγμα: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Οι δύο βαθμίδες συνδέονται μέσω της σχέσης \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Για τη σύμβαση των χρονικών παραγώγων (υλική χρονική παράγωγος \(\dot{(\cdot)}\)), βλ. Τανυστικός συμβολισμός και μαθηματικές βάσεις.

Περιγραφή της κίνησης¶

Απεικόνιση της κίνησης και υλική/χωρική περιγραφή¶

Αν ένα συνεχές θεωρηθεί ως σύνολο υλικών σημείων που φέρουν ως ετικέτα τη θέση τους κατά τον χρόνο \(0\), \(\boldsymbol{X}\), τότε η κίνηση παριστάνεται από μια απεικόνιση που σε κάθε υλικό σημείο \(\boldsymbol{X}\) αντιστοιχίζει, κατά τον χρόνο \(t\), τη θέση \(\boldsymbol{x}\) και συμβολίζεται με \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Με τη σύμβαση ότι η διαμόρφωση αναφοράς είναι η αρχική διαμόρφωση, ισχύει \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Ανάλογα με την επιλογή των ανεξάρτητων μεταβλητών διακρίνονται δύο περιγραφές.

Υλική περιγραφή (περιγραφή Lagrange): τα φυσικά μεγέθη παριστάνονται ως συναρτήσεις των \((\boldsymbol{X}, t)\). Στη μηχανική στερεών αποτελεί φυσική επιλογή, επειδή η διαμόρφωση αναφοράς δίνεται ως σταθερό σχήμα.
Χωρική περιγραφή (περιγραφή Euler): τα φυσικά μεγέθη παριστάνονται ως συναρτήσεις των \((\boldsymbol{x}, t)\). Αυτή είναι η συνήθης περιγραφή στη μηχανική ρευστών.

Η δομική ανάλυση στο FrontISTR βασίζεται κατά κύριο λόγο στην υλική περιγραφή, αλλά στη μέθοδο Updated Lagrange χρησιμοποιούνται επίσης μεγέθη της χωρικής περιγραφής, επειδή η τρέχουσα διαμόρφωση χρησιμοποιείται ως νέα διαμόρφωση αναφοράς.

Μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση¶

Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα, η μετατόπιση \(\boldsymbol{u}\) ορίζεται ως \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Δεν γίνεται υπόθεση για το μέγεθός της, επομένως περιλαμβάνονται και οι πεπερασμένες παραμορφώσεις. Τα διανύσματα ταχύτητας και επιτάχυνσης ορίζονται ως υλικές χρονικές παράγωγοι της \(\boldsymbol{u}\) με το υλικό σημείο σταθερό:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Με αυτές τις σχέσεις ορίζονται η ταχύτητα και η επιτάχυνση.

Βαθμίδα παραμόρφωσης και τανυστές παραμόρφωσης¶

Τανυστής βαθμίδας παραμόρφωσης¶

Το θεμελιώδες μέγεθος στη μηχανική συνεχούς μέσου με πεπερασμένες παραμορφώσεις είναι ο τανυστής βαθμίδας παραμόρφωσης \(\boldsymbol{F}\). Αποτελεί τη γραμμική απεικόνιση που μεταφέρει ένα απειροστό γραμμικό στοιχείο \(d\boldsymbol{X}\) της διαμόρφωσης αναφοράς στο αντίστοιχο απειροστό γραμμικό στοιχείο \(d\boldsymbol{x}\) της τρέχουσας διαμόρφωσης και ορίζεται ως η βαθμίδα της απεικόνισης κίνησης ως προς τις υλικές συντεταγμένες:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Με αυτόν τον ορισμό (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), στην απαραμόρφωτη κατάσταση ισχύει \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). Ο \(\boldsymbol{F}\) χρησιμοποιείται ευρέως για τον ορισμό παραμορφώσεων και τάσεων, καθώς και για τον μετασχηματισμό φυσικών μεγεθών μεταξύ διαμορφώσεων.

Λόγος μεταβολής όγκου¶

Ο λόγος μεταξύ του απειροστού όγκου \(dV\) στη διαμόρφωση αναφοράς και του αντίστοιχου απειροστού όγκου \(dv\) στην τρέχουσα διαμόρφωση ονομάζεται λόγος μεταβολής όγκου \(J\) και δίνεται από

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Η αντιστρεψιμότητα του συνεχούς απαιτεί \(J > 0\). Η διατήρηση της μάζας εκφράζεται ως \(\rho_0 = J\rho\).

Δεξιός και αριστερός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green¶

Επειδή η βαθμίδα παραμόρφωσης \(\boldsymbol{F}\) περιλαμβάνει και στερεή περιστροφή, τα μέτρα της ίδιας της παραμόρφωσης χρησιμοποιούν μεγέθη από τα οποία έχει αφαιρεθεί η στερεή περιστροφή. Ο δεξιός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\) (διαμόρφωση αναφοράς) και ο αριστερός τανυστής παραμόρφωσης Cauchy-Green \(\boldsymbol{b}\) (τρέχουσα διαμόρφωση) ορίζονται ως

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Και οι δύο είναι συμμετρικοί τανυστές και έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές (τα τετράγωνα των κύριων λόγων επιμήκυνσης). Οι κύριες αναλλοίωτες των συναρτήσεων ενέργειας παραμόρφωσης υπερελαστικών υλικών εκφράζονται με αυτούς τους τανυστές.

Τανυστές παραμόρφωσης¶

Τανυστής παραμόρφωσης Green-Lagrange¶

Ως μέτρο παραμόρφωσης αναφερόμενο στη διαμόρφωση αναφοράς, ο τανυστής παραμόρφωσης Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) ορίζεται ως

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Είναι συμμετρικός τανυστής που παριστάνει τη μεταβολή του εσωτερικού γινομένου απειροστών διανυσμάτων στη διαμόρφωση αναφοράς, είναι αναλλοίωτος ως προς στερεές περιστροφές και ικανοποιεί \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Με χρήση της \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) προκύπτει

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Έτσι η παραμόρφωση εκφράζεται ως άθροισμα όρων πρώτης και δεύτερης τάξης της βαθμίδας μετατόπισης, όπου ο όρος δεύτερης τάξης εκφράζει τη γεωμετρική μη γραμμικότητα. Στη μέθοδο Total Lagrange χρησιμοποιείται ως συζυγές ως προς το έργο ζεύγος \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Τανυστής παραμόρφωσης Almansi¶

Ως μέτρο παραμόρφωσης αναφερόμενο στην τρέχουσα διαμόρφωση, ο τανυστής παραμόρφωσης Almansi \(\boldsymbol{e}\) ορίζεται ως

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Συνδέεται με την παραμόρφωση Green-Lagrange μέσω της σχέσης \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (ανάσυρση).

Τανυστής απειροστών παραμορφώσεων¶

Όταν η βαθμίδα μετατόπισης είναι μικρή (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), ο όρος δεύτερης τάξης της παραμόρφωσης Green-Lagrange μπορεί να παραλειφθεί. Επιπλέον, επειδή εξαφανίζεται η διάκριση μεταξύ των δύο διαμορφώσεων, η σχέση καταλήγει στον τανυστή απειροστών παραμορφώσεων \(\boldsymbol{\varepsilon}\), με τη βαθμίδα γραμμένη ως προς τις χωρικές συντεταγμένες:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Το FrontISTR χρησιμοποιεί αυτό το μέτρο παραμόρφωσης στη γραμμική στατική ανάλυση, στην ανάλυση ιδιομορφών, στην ανάλυση απόκρισης συχνότητας και στη γραμμική δυναμική ανάλυση. Στην ανάλυση πεπερασμένων παραμορφώσεων χρησιμοποιείται ο \(\boldsymbol{E}\) στη μέθοδο Total Lagrange και ο τανυστής ρυθμού παραμόρφωσης \(\boldsymbol{D}\), αναφερόμενος στην τρέχουσα διαμόρφωση, στη μέθοδο Updated Lagrange.