Μετάβαση στο περιεχόμενο

Τανυστικός συμβολισμός και μαθηματικές βάσεις

Το παρόν κεφάλαιο συγκεντρώνει τις συμβάσεις τανυστικού συμβολισμού, δεικτογραφίας και συμβολισμού Voigt που χρησιμοποιούνται στα επόμενα κεφάλαια του Εγχειριδίου Θεωρίας του FrontISTR. Εδώ περιγράφονται μόνο καθαροί κανόνες συμβολισμού που δεν εξαρτώνται από τον ορισμό των φυσικών μεγεθών. Οι συμβάσεις συμβολισμού που εξαρτώνται από τη διάταξη που σχετίζεται με την κίνηση του συνεχούς μέσου (διάταξη αναφοράς/τρέχουσα διάταξη), όπως η διάκριση κεφαλαίων και πεζών χαρακτήρων και η διάκριση υλικών και χωρικών παραγώγων, παρουσιάζονται στο Κίνηση, παραμόρφωση και ανηγμένη παραμόρφωση, όπου εισάγεται η έννοια της διάταξης.

Τανυστικός συμβολισμός

Έντονη γραφή για διανύσματα και τανυστές

Ως τυπογραφική σύμβαση, τα βαθμωτά μεγέθη και οι συνιστώσες διανυσμάτων και τανυστών γράφονται με κανονική γραφή (όπως \(\rho\), \(x_i\)), ενώ τα ίδια τα διανυσματικά και τανυστικά μεγέθη γράφονται με έντονη γραφή (όπως \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Σύμβαση αθροίσεως Einstein

Εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά, εφαρμόζεται η σύμβαση αθροίσεως Einstein: όταν ο ίδιος δείκτης εμφανίζεται δύο (2) φορές στον ίδιο όρο, γίνεται άθροιση ως προς αυτόν τον δείκτη. Για παράδειγμα,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

και η συνιστώσα \(i,j\) του γινομένου \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) των τανυστών \(\boldsymbol{A}\) και \(\boldsymbol{B}\) είναι

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Ως σύμβαση δεικτών, όταν τα \(i, j, k, l, \ldots\) χρησιμοποιούνται ως δείκτες χωρίς άλλη διευκρίνιση, δηλώνουν δείκτες που σχετίζονται με βαθμούς ελευθερίας (\(1, 2, 3\) στις τρεις (3) διαστάσεις), ενώ τα πεζά ελληνικά γράμματα \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ως δείκτες δηλώνουν δείκτες που σχετίζονται με τους κόμβους που συγκροτούν ένα στοιχείο.

Εσωτερικό γινόμενο, ανάστροφος και τανυστικό γινόμενο

Ο ανάστροφος του τανυστή \(\boldsymbol{A}\) συμβολίζεται με \(\boldsymbol{A}^T\). Το εσωτερικό γινόμενο (διπλή συστολή) τανυστών δεύτερης (2) τάξης \(\boldsymbol{A}\) και \(\boldsymbol{B}\) γράφεται

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων \(\boldsymbol{a}\) και \(\boldsymbol{b}\) είναι \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), ενώ το τανυστικό τους γινόμενο είναι \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Συμβολισμός Voigt

Η τάση και η παραμόρφωση είναι συμμετρικοί τανυστές δεύτερης (2) τάξης ως προς τους βαθμούς ελευθερίας και οι συντελεστές που εκφράζουν τη γραμμική σχέση μεταξύ τους αποτελούν τανυστή τέταρτης (4) τάξης. Ο άμεσος χειρισμός τους σε πρόγραμμα είναι δυσμενής ως προς το υπολογιστικό κόστος και την υλοποίηση (πολυδιάστατοι πίνακες και βαθιά εμφωλευμένοι βρόχοι). Για τον λόγο αυτό, τα συνήθη προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων αξιοποιούν τη συμμετρία και συμπτύσσουν την τάση και την παραμόρφωση σε διανύσματα στήλης και τον τανυστή ελαστικότητας τέταρτης (4) τάξης σε δισδιάστατη μήτρα. Αυτό ονομάζεται συμβολισμός Voigt. (2)

Στη συνέχεια, η μητρωική ή διανυσματική αναπαράσταση ενός τανυστικού μεγέθους \(\boldsymbol{A}\) συμβολίζεται με \(\hat{A}\), ώστε να διακρίνεται από τον αρχικό τανυστή.

Διανυσματική αναπαράσταση τάσης και παραμόρφωσης

Για τον συμμετρικό τανυστή τάσης \(\boldsymbol{\sigma}\) και τον τανυστή παραμόρφωσης \(\boldsymbol{\varepsilon}\), στις δύο (2) διαστάσεις,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

και στις τρεις (3) διαστάσεις,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

αντιμετωπίζονται ως διανύσματα στήλης όπως φαίνεται παραπάνω. Ο ίδιος κανόνας εφαρμόζεται σε παράγωγα μεγέθη, όπως μεταβολές και διαφορικά. Προσέξτε ότι οι διατμητικές συνιστώσες στην πλευρά της παραμόρφωσης έχουν συντελεστή 2 (στην πλευρά της τάσης δεν έχουν). Χάρη σε αυτήν την ασυμμετρία, το εσωτερικό γινόμενο τανυστών γράφεται συνοπτικά ως εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Στην υλοποίηση είναι εύκολο να γίνει λάθος στον συντελεστή 2 των διατμητικών συνιστωσών παραμόρφωσης, επομένως πρέπει να τηρείται πάντοτε η σύμβαση «χωρίς συντελεστή για την τάση / με συντελεστή για την παραμόρφωση». Η ίδια ακριβώς σύμβαση Voigt εφαρμόζεται και στα μεγέθη της διάταξης αναφοράς (τάση δεύτερου (2) Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) και παραμόρφωση Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Μητρωική αναπαράσταση τανυστή τέταρτης (4) τάξης

Για τη γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (σε συνιστώσες \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), χρησιμοποιώντας τη συμμετρία του \(\boldsymbol{\varepsilon}\) προκύπτει

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Στις τρεις (3) διαστάσεις, αν το \(\tilde{C}\) διαταχθεί ως μήτρα υλικού 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), η αρχική τανυστική σχέση εκφράζεται ως

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Στη συνέχεια του παρόντος εγχειριδίου, εκτός αν δηλώνεται διαφορετικά, η μήτρα υλικού συμβολίζεται με \(D\) (ή \(\hat{C}\)). Για τις συγκεκριμένες συνιστώσες στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, ανατρέξτε στη Γραμμική ελαστικότητα.

Συμβάσεις διαφορικών τελεστών

Τελεστής συμμετρικής κλίσης

Ο τελεστής συμμετρικής κλίσης \(\nabla_S\) για ένα διανυσματικό πεδίο \(\boldsymbol{u}\) ορίζεται ως

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Σε συνιστώσες, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Η παραμόρφωση μικρών παραμορφώσεων \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) μπορεί να εκφραστεί συνοπτικά με αυτόν τον τελεστή. Η διάκριση της διάταξης (αναφοράς/τρέχουσας) ως προς την οποία λαμβάνεται η κλίση στις πεπερασμένες παραμορφώσεις παρουσιάζεται στο Κίνηση, παραμόρφωση και ανηγμένη παραμόρφωση.

Υλική χρονική παράγωγος

Η υλική χρονική παράγωγος ενός μεγέθους \(A\) (η χρονική παράγωγος ακολουθώντας το ίδιο υλικό σημείο) συμβολίζεται με άνω τελεία \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Η ταχύτητα και η επιτάχυνση ακολουθούν αυτήν τη σύμβαση.

Σχετικά θέματα