Μετάβαση στο περιεχόμενο

Κριτήρια σύγκλισης

Ως συνθήκη τερματισμού της επανάληψης Newton-Raphson (Μέθοδος Newton-Raphson), το FrontISTR χρησιμοποιεί δύο οικογένειες αδιάστατων ποσοτήτων, το κριτήριο νόρμας υπολοίπου και το κριτήριο νόρμας διόρθωσης. Και τα δύο έχουν κοινό ορισμό ανεξάρτητα από τον τύπο ανάλυσης (στατική ανάλυση, δυναμική ανάλυση έμμεσης μεθόδου) και από την παρουσία ή μη επαφής.

Διαχωρισμός των ποσοτήτων κρίσης

Στους βαθμούς ελευθερίας κόμβου συνυπάρχουν συστατικά διαφορετικών φυσικών διαστάσεων. Σε στοιχεία 6 βαθμών ελευθερίας, τα υπόλοιπα των μεταφραστικών βαθμών ελευθερίας έχουν διάσταση δύναμης, ενώ τα υπόλοιπα των περιστροφικών βαθμών ελευθερίας έχουν διάσταση ροπής. Επιπλέον, στην ανάλυση επαφής με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange, στο διάνυσμα υπολοίπου προστίθενται γραμμές που αντιστοιχούν στο χάσμα επαφής (διάσταση μήκους).

Αν συνδυάζονταν σε ένα μόνο άθροισμα τετραγώνων, η τιμή της νόρμας θα μεταβόλευε αυθαίρετα ανάλογα με το σύστημα μονάδων και η έννοια του ορίου δεν θα ήταν καθορισμένη. Για αυτό το λόγο το FrontISTR χωρίζει τις ποσότητες κρίσης ανά διάσταση, τις αδιαστατοποιεί με την αντίστοιχη ποσότητα αναφοράς και στη συνέχεια εκδίδει την κρίση.

Σύμβολο Συνιστώσα Διάσταση
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Υπόλοιπα των μεταφραστικών βαθμών ελευθερίας (βαθμοί ελευθερίας κόμβου 1–3) Δύναμη
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Υπόλοιπα των περιστροφικών βαθμών ελευθερίας (βαθμοί ελευθερίας κόμβου 4–6, μόνο στοιχεία 6 βαθμών ελευθερίας) Ροπή
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Ποσότητα διόρθωσης του πολλαπλασιαστή Lagrange Δύναμη

Οι βαθμοί ελευθερίας πίεσης των στοιχείων ρευστο-δομικής σύζευξης (4 βαθμοί ελευθερίας ανά κόμβο, \(u,v,w,p\)) δεν περιλαμβάνονται στην κρίση.

Στα στοιχεία δοκού και κελύφους 3 βαθμών ελευθερίας (641/761/781), οι περιστροφές αναπαρίστανται από τους βαθμούς ελευθερίας 1–3 ψευδοκόμβων που ζευγαρώνουν με τους μεταφραστικούς κόμβους. Επειδή η κρίση δεν διακρίνει τους ψευδοκόμβους, τα υπόλοιπά τους (ροπές) περιλαμβάνονται επίσης στο μεταφραστικό συστατικό \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Το ίδιο ισχύει και για το κριτήριο νόρμας διόρθωσης και για την κρίση βάσει μέγιστης τιμής.

Το υπόλοιπο \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) αποκλείει τα συστατικά των βαθμών ελευθερίας στους οποίους έχουν επιβληθεί περιορισμοί μετατόπισης. Αυτό συμβαίνει επειδή τα υπόλοιπα που εμφανίζονται σε αυτούς τους βαθμούς ελευθερίας αντιστοιχούν σε αντιδράσεις περιορισμού και δεν αποτελούν σφάλματα ισορροπίας (Μέθοδος Newton-Raphson).

Κριτήριο νόρμας υπολοίπου

Το υπόλοιπο \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) της \(i\) επανάληψης αδιαστατοποιείται με το μέγεθος των δυνάμεων που αναπτύσσονται στο σύστημα εκείνη τη στιγμή. Η δύναμη αναφοράς \(F_\mathrm{ref}\) του μεταφραστικού συστατικού και η ροπή αναφοράς \(M_\mathrm{ref}\) του περιστροφικού συστατικού ορίζονται ως

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

όπου το \(\boldsymbol{Q}\) είναι το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων και το \(\boldsymbol{D}\) το άθροισμα των δυνάμεων αδράνειας και ιξώδους

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(Δυναμική ανάλυση). Στη στατική ανάλυση ισχύει \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Οι δείκτες \(t, r\) αντιστοιχούν στο μεταφραστικό και στο περιστροφικό συστατικό, αντιστοίχως. Οι ποσότητες κρίσης είναι

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Η ποσότητα αναφοράς λαμβάνεται ως μέγιστη τιμή των νόρμων των εσωτερικών δυνάμεων και των δυνάμεων αδράνειας/ιξώδους, και όχι ως το διανυσματικό τους άθροισμα \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), επειδή σε ελεύθερη ταλάντωση χωρίς εξωτερική δύναμη, στην κατάσταση ισορροπίας ισχύει \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) και η ποσότητα αναφοράς του διανυσματικού αθροίσματος πέφτει στο \(0\). Με τη μέγιστη τιμή των νόρμων δεν συμβαίνει αυτή η αλληλοακύρωση.

Όταν μια ποσότητα αναφοράς πέφτει κάτω από το προκαθορισμένο κάτω όριο (\(10^{-8}\)) (π.χ. η πρώτη επανάληψη που ξεκινά από κατάσταση χωρίς φορτίο), η ίδια η νόρμα του υπολοίπου χρησιμοποιείται ως ποσότητα κρίσης, χωρίς διαίρεση με την ποσότητα αναφοράς. Τότε η κρίση γίνεται βάσει της απόλυτης τιμής του υπολοίπου.

Κριτήριο νόρμας διόρθωσης

Η ποσότητα διόρθωσης \(d\boldsymbol{u}_i\) που προκύπτει από την \(i\) επανάληψη αδιαστατοποιείται με το άθροισμα μεταβολών μετατόπισης \(\Delta\boldsymbol{u}\) που έχει συσσωρευτεί μέχρι τότε στο υποβήμα.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Το ότι η ποσότητα διόρθωσης έγινε αρκετά μικρή ως προς το συσσωρευμένο άθροισμα σημαίνει ότι η επανάληψη έχει στασιέψει. Χρησιμοποιείται ως βοηθητική κρίση για προβλήματα στα οποία το υπόλοιπο μειώνεται μόνο σταδιακά. Εάν ο παρονομαστής είναι \(0\), το κριτήριο αυτό θεωρείται ότι δεν ικανοποιείται.

Κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange

Στην ανάλυση επαφής με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange, προστίθεται στην κρίση η ποσότητα διόρθωσης των πολλαπλασιαστών, αδιαστατοποιημένη με το ίδιο τους το μέγεθος:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Επειδή οι περιορισμοί χάσματος επαφής ενσωματώνονται στο σύστημα εξισώσεων ως εξισώσεις για τους πολλαπλασιαστές Lagrange, θεωρείται ότι οι περιορισμοί ικανοποιούνται εφόσον οι πολλαπλασιαστές έχουν συγκλίνει. Τα υπόλοιπα του ίδιου του χάσματος, που έχουν διάσταση μήκους, δεν περιλαμβάνονται στο κριτήριο νόρμας υπολοίπου, αφού δεν μπορούν να προστεθούν στα υπόλοιπα δυνάμεων.

Οι πολλαπλασιαστές Lagrange είναι δυνάμεις επαφής και έχουν την ίδια διάσταση με τη δύναμη αναφοράς \(F_\mathrm{ref}\), οπότε ο παρονομαστής οριοθετείται από κάτω από \(F_\mathrm{ref}\). Με αδιαστατοποίηση μόνο από \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), σε κατάσταση όπου η επαφή φέρει ελάχιστο φορτίο, η κρίση γίνεται απεριορίστως αυστηρή, ενώ για κόμβους που μόλις έχουν έρθει σε επαφή ισχύει \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) με \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), οπότε η κρίση δεν μπορεί να ικανοποιηθεί. Η μεταχείριση όταν ο παρονομαστής πέφτει κάτω από το κάτω όριο είναι ίδια με αυτή του κριτηρίου νόρμας υπολοίπου.

Κρίση βάσει μέγιστης τιμής

Επειδή η L2 νόρμα είναι άθροισμα τετραγώνων πάνω από όλους τους βαθμούς ελευθερίας, ένα υπόλοιπο που παραμένει μόνο σε ορισμένους κόμβους αραιώνεται όλο και περισσότερο στο σύνολο καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κόμβων και αποτιμάται μικρότερο. Για να καταγραφούν καταστάσεις όπου η ισορροπία δεν ικανοποιείται τοπικά, όπως στους κόμβους επαφής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί παράλληλα κρίση που αντικαθιστά σε κάθε ένα από τα κριτήρια μέχρι εδώ την L2 νόρμα με τη μέγιστη απόλυτη τιμή των συστατικών βαθμού ελευθερίας.

Η μέγιστη τιμή του μεταφραστικού συστατικού του διανύσματος \(\boldsymbol{v}\) ορίζεται, ως προς τον κόμβο \(I\) και τον βαθμό ελευθερίας κόμβου \(k\), ως

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Η μέγιστη τιμή του περιστροφικού συστατικού \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) ορίζεται ανάλογα για \(k = 4,5,6\), ενώ για τους πολλαπλασιαστές Lagrange λαμβάνεται η μέγιστη απόλυτη τιμή όλων των συστατικών. Οι ποσότητες κρίσης προκύπτουν αντικαθιστώντας, σε κάθε κριτήριο, την L2 νόρμα, τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή, με τη μέγιστη αυτή τιμή.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Το ίδιο ισχύει και για το περιστροφικό συστατικό. Η μεταχείριση όταν μια ποσότητα αναφοράς πέφτει κάτω από το κάτω όριο, καθώς και όταν ο παρονομαστής είναι \(0\), είναι ίδια με αυτή των κριτηρίων L2 νόρμας.

Οι ποσότητες αναφοράς λαμβάνονται επίσης ως μέγιστες τιμές του ίδιου τύπου, ώστε το μέγεθος των ποσοτήτων κρίσης να παραμείνει σε συγκρίσιμο επίπεδο με αυτό των κριτηρίων L2 νόρμας και να μπορούν να χρησιμοποιηθούν όρια συγκρίσιμης τάξης. Δεν γίνεται διαίρεση με διαφορετική ποσότητα αναφοράς για κάθε συστατικό βαθμού ελευθερίας, επειδή σε κατευθύνσεις χωρίς φορτίο η ποσότητα αναφοράς πλησιάζει στο \(0\) και η ποσότητα κρίσης χάνει την έννοιά της.

Στην κρίση βάσει μέγιστης τιμής καθορίζονται ο κόμβος και ο βαθμός ελευθερίας που δίνουν τη μέγιστη τιμή. Το FrontISTR εξάγει αυτό, τόσο για το υπόλοιπο όσο και για την ποσότητα διόρθωσης, στο αρχείο καταγραφής ανά επανάληψη.

Συνδυασμός των κρίσεων

Κάθε ποσότητα κρίσης μέχρι εδώ (για υπόλοιπο, ποσότητα διόρθωσης και πολλαπλασιαστή Lagrange, για μεταφραστικό και περιστροφικό συστατικό, με L2 νόρμα ή μέγιστη τιμή) μπορεί να οριστεί ατομικά ώστε να χρησιμοποιείται στην κρίση (CHECK) ή όχι (SKIP). Προεπιλεγμένα, όλες οι κρίσεις βάσει L2 νόρμας είναι CHECK και όλες οι κρίσεις βάσει μέγιστης τιμής είναι SKIP.

Το κριτήριο νόρμας υπολοίπου και το κριτήριο νόρμας διόρθωσης θεωρούνται ότι η ανάλυση συγκλίνει όταν ικανοποιείται οποιονδήποτε από τους δύο. Αντίθετα, το κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange, αφού επιβεβαιώνει ότι οι περιορισμοί επαφής ικανοποιούνται, απαιτείται πάντα σε αναλύσεις όπου υπάρχουν πολλαπλασιαστές Lagrange. Εσωτερικά ενός κριτηρίου, πρέπει να ικανοποιούνται όλα τα συστατικά που έχουν οριστεί CHECK, μεταξύ μεταφραστικού και περιστροφικού συστατικού, καθώς μεταξύ L2 νόρμας και μέγιστης τιμής.

Για να εκφραστεί αυτό με εξισώσεις, ορίζονται για μία ομάδα \(G\) ποσοτήτων κρίσης οι δύο ποσότητες

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ ικανοποιείται} \ \vee\ m \text{ είναι SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ είναι CHECK} \right) \]

Το \(\mathrm{all\_ok}(G)\) γίνεται αληθές αν η \(G\) δεν περιέχει καμία ποσότητα κρίσης CHECK. Η συνθήκη σύγκλισης είναι

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Κριτήριο νόρμας διόρθωσης}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Κριτήριο νόρμας διόρθωσης}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Κριτήριο νόρμας υπολοίπου}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Κριτήριο νόρμας υπολοίπου}) \right) \right\} \]

Στις δύο ομάδες που συνδέονται με «ή», προστίθεται \(\mathrm{any\_check}\) ώστε μία ομάδα που δεν περιέχει καθόλου ποσότητα CHECK να μην περνά την κρίση χωρίς ελέγχο. Το περιστροφικό συστατικό αναλύσεων χωρίς περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας, καθώς και το κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange αναλύσεων χωρίς πολλαπλασιαστές Lagrange, δεν χρησιμοποιούνται στην κρίση ακόμα και αν έχει οριστεί CHECK. Με τις προεπιλεγμένες ρυθμίσεις, η συνθήκη σύγκλισης είναι

\[ \left( \text{Κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Κριτήριο νόρμας διόρθωσης} \right) \ \vee\ \left( \text{Κριτήριο νόρμας υπολοίπου} \right) \right\} \]

οπότε σε αναλύσεις με περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας αξιολογούνται τόσο το μεταφραστικό όσο και το περιστροφικό συστατικό, ενώ σε αναλύσεις χωρίς πολλαπλασιαστές Lagrange αξιολογείται η συνθήκη χωρίς το κριτήριο πολλαπλασιαστή Lagrange.

Για τη μέθοδο ορισμού και τις προεπιλεγμένες τιμές των ορίων \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) των κρίσεων βάσει L2 νόρμας, βλ. !STEP. Για τα CHECK/SKIP και τα όρια των κρίσεων βάσει μέγιστης τιμής, βλ. !CONVERG_PARAM. Για τον προσανατολισμό στην επιλογή μεταξύ τους, βλ. Μη γραμμική επανάληψη και χρονική ολοκλήρωση (λειτουργία).

Σχετικά θέματα