Ιδιομορφική ανάλυση¶

Γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών¶

Για την ανάλυση ελεύθερων ταλαντώσεων ενός συνεχούς μέσου, η κατασκευή διακριτοποιείται χωρικά και μοντελοποιείται ως σύστημα πολλών βαθμών ελευθερίας με συγκεντρωμένες μάζες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.1. Για πρόβλημα ελεύθερης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση, η εξίσωση που διέπει το πρόβλημα (εξίσωση κίνησης) είναι η ακόλουθη.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Εδώ, $u$ είναι το διάνυσμα γενικευμένων μετατοπίσεων, $M$ το μητρώο μάζας και $K$ το μητρώο δυσκαμψίας. Έστω $\omega$ η φυσική κυκλική συχνότητα, έστω $a$ και $b$ αυθαίρετες σταθερές που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, και έστω $x$ ένα διάνυσμα. Ορίζεται η συνάρτηση

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Η δεύτερη παράγωγός της είναι

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Αντικαθιστώντας την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.2}$ και την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.3}$ στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.1}$, προκύπτει

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Έτσι προκύπτει η παραπάνω εξίσωση.

Για μια μη τετριμμένη ταλάντωση, το $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Επομένως, προκύπτει η παραπάνω σχέση. Θέτοντας $\lambda=\omega^2$, προκύπτει

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Έτσι προκύπτει η παραπάνω εξίσωση.

Το βαθμωτό μέγεθος $\lambda$ ονομάζεται ιδιοτιμή, το διάνυσμα $x$ ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα και το πρόβλημα που εκφράζεται από την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.5}$ ονομάζεται γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών.

Η φυσική κυκλική συχνότητα $\omega$ προκύπτει από την ιδιοτιμή $\lambda=\omega^2$, και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα $x$ παριστάνει μια ιδιομορφή ταλάντωσης.

Παράδειγμα συστήματος πολλών βαθμών ελευθερίας για ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Σχήμα 2.3.1 Παράδειγμα συστήματος πολλών βαθμών ελευθερίας για ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ιδιότητες και παραδοχές μητρώων¶

Για το γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών $Kx=\lambda Mx$ που προέκυψε στην προηγούμενη ενότητα, το παρόν εγχειρίδιο θεωρεί ότι τα μητρώα είναι συμμετρικά. Για μιγαδικά μητρώα, αυτό αντιστοιχεί σε ερμιτιανά μητρώα· για πραγματικά μητρώα, αντιστοιχεί σε συμμετρικά μητρώα.

Έστω $k_{ij}$ το στοιχείο $ij$ του μητρώου $K$. Η ερμιτιανή ιδιότητα είναι

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

όπως εκφράζεται από την παραπάνω εξίσωση, όπου $\bar{k}_{ji}$ είναι το μιγαδικό συζυγές του $k_{ji}$. Για πραγματικά μητρώα, η σχέση αυτή γίνεται $k_{ij}=k_{ji}$.

Ένα πραγματικό συμμετρικό μητρώο $H$ είναι θετικά ορισμένο εάν, για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ισχύει η παραπάνω ανισότητα. Στην περίπτωση αυτή, όλες οι ιδιοτιμές του $H$ είναι θετικές.

Σε ένα δομικό πρόβλημα ιδιοτιμών, το μητρώο μάζας $M$ θεωρείται συνήθως θετικά ορισμένο. Το μητρώο δυσκαμψίας $K$, ωστόσο, μπορεί να είναι θετικά ημιορισμένο ανάλογα με τις δεσμεύσεις και να έχει μηδενικές ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε ιδιομορφές στερεού σώματος.

Μετατοπισμένη αντίστροφη επανάληψη¶

Στην πρακτική δομική ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, συνήθως δεν απαιτούνται όλες οι ιδιοτιμές· συχνά επαρκούν το πολύ λίγες ιδιοτιμές χαμηλής τάξης. Το HEC-MW προορίζεται για προβλήματα μεγάλης κλίμακας, στα οποία τα μητρώα είναι μεγάλα και εξαιρετικά αραιά, με πολλά μηδενικά στοιχεία. Επομένως, είναι σημαντικό να υπολογίζονται αποδοτικά οι ιδιοτιμές των ιδιομορφών χαμηλής τάξης, λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα χαρακτηριστικά.

Για μετατόπιση $\sigma$, εάν το $-\sigma$ δεν είναι ιδιοτιμή και το $K+\sigma M$ είναι μη ιδιάζον, η εξίσωση $\eqref{eq:2.3.5}$ μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ο μετασχηματισμός αυτός αφήνει αμετάβλητο το ιδιοδιάνυσμα $x$ και απεικονίζει την ιδιοτιμή $\lambda$ στην $1/(\lambda+\sigma)$.

Κατά συνέπεια, όσο πλησιέστερα βρίσκεται η $\lambda$ στο $-\sigma$, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή της μετασχηματισμένης ιδιοτιμής. Σε ένα δομικό πρόβλημα ιδιοτιμών ισχύουν $\lambda \geq 0$ και $\sigma \geq 0$, οπότε η χαμηλότερη ιδιοτιμή απεικονίζεται στην ιδιοτιμή με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Αξιοποιώντας αυτή την ιδιότητα και εφαρμόζοντας στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.8}$ μια επαναληπτική μέθοδο που τείνει να συγκλίνει πρώτα στις ιδιοτιμές μεγάλης απόλυτης τιμής, οι ιδιοτιμές χαμηλής τάξης μπορούν να υπολογιστούν αποδοτικά κατά αύξουσα σειρά.

Η μέθοδος αυτή ονομάζεται μετατοπισμένη αντίστροφη επανάληψη.

Για αναλύσεις με δεσμεύσεις, το FrontISTR θέτει $\sigma = 0$, και η εξίσωση $\eqref{eq:2.3.8}$ γίνεται $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, δηλαδή αντίστροφη επανάληψη χωρίς μετατόπιση. Σε ανάλυση ελεύθερου–ελεύθερου συστήματος χωρίς δεσμεύσεις, το $K$ είναι ιδιάζον επειδή έχει μηδενικές ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε ιδιομορφές στερεού σώματος· η απόδοση θετικής τιμής στο $\sigma$ καθιστά το $K+\sigma M$ μη ιδιάζον. Η τιμή του $\sigma$ καθορίζεται με το SIGMA στο !EIGEN.

Μέθοδος Lanczos¶

Λόγος χρήσης (σύγκριση με τη μέθοδο Jacobi)¶

Η μέθοδος Jacobi είναι μια ευρέως γνωστή κλασική μέθοδος.

Είναι αποτελεσματική όταν το μητρώο είναι μικρό και πυκνό. Ωστόσο, επειδή τα μητρώα που χειρίζεται το HEC-MW είναι μεγάλα και αραιά, η μέθοδος Jacobi δεν χρησιμοποιείται· αντί αυτής χρησιμοποιείται η επαναληπτική μέθοδος Lanczos.

Αλγόριθμος και χαρακτηριστικά¶

Η μέθοδος αυτή, που προτάθηκε από τον C. Lanczos τη δεκαετία του 1950, είναι αλγόριθμος τριδιαγωνιοποίησης ενός μητρώου και έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά.

Είναι επαναληπτική μέθοδος και μπορεί να εκτελεί τον υπολογισμό διατηρώντας το μητρώο αραιό.
Οι πράξεις της αποτελούνται κυρίως από γινόμενα μητρώου-διανύσματος, γεγονός που την καθιστά ιδιαίτερα κατάλληλη για παραλληλοποίηση.
Είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για γεωμετρική διαμέριση περιοχής που συνδέεται με πλέγματα πεπερασμένων στοιχείων.
Μπορεί να εκτελεί αποδοτικούς υπολογισμούς περιορίζοντας τον αριθμό των ιδιοτιμών ή το εύρος των ιδιομορφών που ζητούνται.

Η μέθοδος Lanczos ξεκινά από ένα αρχικό διάνυσμα, κατασκευάζει διαδοχικά ορθογώνια διανύσματα και προσδιορίζει μια βάση για έναν υποχώρο Krylov.

Στην αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας, τα σφάλματα στρογγυλοποίησης μπορούν να προκαλέσουν απώλεια της ορθογωνιότητας των διανυσμάτων. Για τον περιορισμό αυτού του φαινομένου, η υλοποίηση του FrontISTR επαναορθογωνιοποιεί κάθε διάνυσμα ως προς τα διανύσματα βάσης Lanczos που έχουν ήδη προκύψει.

Γεωμετρική ερμηνεία (υποχώρος Krylov)¶

Εφαρμόζοντας τους ακόλουθους μετασχηματισμούς μεταβλητών στην εξίσωση $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

το πρόβλημα μπορεί να ξαναγραφτεί ως

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Έτσι προκύπτει η παραπάνω εξίσωση.

Για ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

ο χώρος που παράγεται από αυτά τα διανύσματα,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

ονομάζεται υποχώρος Krylov.

Η μέθοδος Lanczos κατασκευάζει διαδοχικά μια βάση για αυτόν τον υποχώρο Krylov.

Το FrontISTR χρησιμοποιεί το ακόλουθο εσωτερικό γινόμενο που συνδέεται με το μητρώο μάζας $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

για να ορθοκανονικοποιήσει τη βάση. Το εσωτερικό γινόμενο $\langle x,y\rangle$ και η νόρμα $\|x\|$ που εμφανίζονται στα ακόλουθα σχήματα ερμηνεύονται στους υπολογισμούς του FrontISTR ως αυτό το $M$-εσωτερικό γινόμενο και η αντίστοιχη $M$-νόρμα

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

αντίστοιχα.

Εφαρμόστε τον γραμμικό μετασχηματισμό που ορίζεται από το μητρώο $A$ σε ένα αυθαίρετο διάνυσμα $q_0$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.2.

$Γραμμικός μετασχηματισμός του $q_0$ από το μητρώο $A$$

Σχήμα 2.3.2 Γραμμικός μετασχηματισμός του $q_0$ από το μητρώο $A$

Το μετασχηματισμένο διάνυσμα ορθογωνιοποιείται μέσα στον χώρο που παράγεται από αυτό και το αρχικό διάνυσμα. Συγκεκριμένα, εκτελείται ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.3. Έστω $r_1$ το διάνυσμα που προκύπτει· με την κανονικοποίησή του προκύπτει το $q_1$.

$Διάνυσμα $q_1$ ορθογώνιο προς το $q_0$$

Σχήμα 2.3.3 Διάνυσμα $q_1$ ορθογώνιο προς το $q_0$

Με την ίδια διαδικασία προκύπτει το $q_2$ από το $q_1$. Εδώ, το $q_2$ είναι ορθογώνιο τόσο προς το $q_1$ όσο και προς το $q_0$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3.4.

$Διάνυσμα $q_2$ ορθογώνιο προς τα $q_1$ και $q_0$$

Σχήμα 2.3.4 Διάνυσμα $q_2$ ορθογώνιο προς τα $q_1$ και $q_0$

Με αυτόν τον τρόπο, η μέθοδος Lanczos κατασκευάζει διαδοχικά μια ορθοκανονική βάση για τον υποχώρο Krylov. Θεωρητικά, η συμμετρία του προβλήματος ιδιοτιμών επιτρέπει την έκφραση αυτής της επανάληψης ως αναδρομικής σχέσης τριών όρων που περιλαμβάνει τα πιο πρόσφατα διανύσματα βάσης.

Η υλοποίηση του FrontISTR, ωστόσο, επαναορθογωνιοποιεί κάθε διάνυσμα ως προς τα διανύσματα βάσης Lanczos που έχουν ήδη προκύψει, χρησιμοποιώντας το $M$-εσωτερικό γινόμενο, ώστε να περιορίσει την απώλεια ορθογωνιότητας που προκαλείται από την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας.

Τριδιαγωνιοποίηση¶

Στην επανάληψη Lanczos του FrontISTR, τα διανύσματα βάσης ορθοκανονικοποιούνται ως προς το $M$-εσωτερικό γινόμενο που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα, οπότε

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ισχύει η παραπάνω σχέση.

Χρησιμοποιώντας το μητρώο $A$ από την εξίσωση $\eqref{eq:2.3.10}$, η θεωρητική επανάληψη Lanczos γράφεται ως

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

Η παραπάνω εξίσωση είναι η αντίστοιχη αναδρομική σχέση τριών όρων.

Αρχικά, το $\alpha_i$ ορίζεται ως εξής.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Στη συνέχεια, το προσωρινό υπόλοιπο ορίζεται από

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

την παραπάνω σχέση.

Για τον περιορισμό της απώλειας ορθογωνιότητας που προκαλείται από την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας, η υλοποίηση του FrontISTR επαναορθογωνιοποιεί το $\tilde{r}_{i+1}$ ως προς τα διανύσματα βάσης Lanczos που έχουν ήδη προκύψει, χρησιμοποιώντας το $M$-εσωτερικό γινόμενο. Εάν $r_{i+1}$ είναι το υπόλοιπο μετά την επαναορθογωνιοποίηση, τότε

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις.

Συγκεντρώστε τα $m$ διανύσματα βάσης που προέκυψαν από την επανάληψη Lanczos στο

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Τότε, μετά από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων Lanczos,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ισχύει η παραπάνω σχέση.

Εδώ, το $e_m$ είναι το $m$-διάστατο μοναδιαίο διάνυσμα του οποίου η $m$-οστή συνιστώσα είναι 1 και όλες οι άλλες συνιστώσες είναι μηδέν, και

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

είναι ένα συμμετρικό τριδιαγώνιο μητρώο.

Επομένως, οι ιδιοτιμές του αρχικού προβλήματος ιδιοτιμών μεγάλης κλίμακας μπορούν να προσεγγιστούν υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές του τριδιαγώνιου μητρώου $T_m$.

Σχετικά θέματα¶

Ανάλυση απόκρισης συχνότητας — Απόκριση συχνότητας με χρήση αποτελεσμάτων ιδιομορφικής ανάλυσης
Τύποι ανάλυσης — Λειτουργική επισκόπηση της ιδιομορφικής ανάλυσης